Mình xin hỏi là cái ds bình là dạng toán gì vậy?

[toanduong794]

ds bình phương là dạng toán gì vậy?

 

[adminxen]

ds² là bình phương khoảng cách vi phân trong không-thời gian bốn chiều

THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP PHẦN 2 | THỜI GIAN THÍCH HỢP (PROPER TIME)
Trong bài viết này, mình sẽ làm rõ một số khái niệm dễ gây hiểu nhầm trong thuyết tương đối hẹp cho các sinh viên đại học đang học về thuyết tương đối hẹp.
Trong đó, rất nhiều người thường nhầm lẫn giữa khái niệm "thời gian tọa độ" (Coordinate time) & thời gian thích hợp (Proper time).
Giả sử chúng ta có một phi thuyền đang di chuyển ở vận tốc bằng 87% vận tốc ánh sáng hay v = 0.87c
trong đó "c" là vận tốc ánh sáng trong chân không.
công thức nổi tiếng thể hiện mối quan hệ thời gian giữa hai hệ quy chiếu có dạng như sau :
Δ = Δt √(1-v²/c²)
Δ là thời gian của người trên phi thuyền
Δt là thời gian của người thấy phi thuyền di chuyển ở 0.87c
Giả sử trên phi thuyền có một bóng đèn, và nó nhấp nháy theo chu kỳ 5 giây.
dựa theo công thức này, chúng ta có thể tính ra
Δt = Δ/√(1-v²/c²)
Δt = 5/√(1-0.87²) = 10.14 giây.
điều này nghĩa là nếu người quan sát trên phi thuyền thấy chu kỳ nhấp nhấy là Δ = 5 giây
người quan sát ở trong hệ quy chiếu thấy phi thuyền di chuyển ở 0.87c sẽ thấy chu kỳ là Δt = 10.14 giây.
Tuy nhiên, giả sử phi thuyền của chúng ta không di chuyển ở vận tốc v = 0.87c
mà đang liên tục gia tốc, làm sao chúng ta tính được thời gian trên phi thuyền?
Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần phân biệt sự khác nhau giữa hai đại lượng vô cùng quan trọng trong thuyết tương đối hẹp.
Trước hết, hãy đến với phép biến đổi Lorentz.
I. Phép biến đổi Lorentz
Trước hết thì có một sự thật có thể khiến bạn sốc.
phương trình Δt = Δ/√(1-v²/c²)
thật ra là một phiên bản đặc biệt của một phương trình tổng quát hơn :
Δt = (Δt' +v Δx' /c²)/√(1-v²/c²)
Δt = thời gian giữa hai sự kiện trong hệ quy chiếu O
Δt' = thời gian giữa hai sự kiện trong hệ quy chiếu O'
Δx' = khoảng cách giữa hai sự kiện trong hệ quy chiếu O'
đây chính là phương trình thời gian trong phép biến đổi Lorentz.
đối với trường hợp này, hệ quy chiếu (O) chính là hệ quy chiếu của người quan sát thấy phi thuyền di chuyển.
hệ quy chiếu (O') là hệ quy chiếu của người bên trong phi thuyền.
chìa khóa ở đây là (Δx')
ví dụ có hai sự kiện xảy ra ở mũi của phi thuyền và đuôi của phi thuyền cách nhau Δx'
trong trường hợp này, Δt' chính là thời gian giữa hai sự kiện đó so với người trên phi thuyền.
Δt chính là thời gian giữa hai sự kiện đó đối với người thấy phi thuyền di chuyển.
Và đây là điều đáng ngạc nhiên!
hai sự kiện xảy ra đồng thời tại hệ quy chiếu (O') không xảy ra đồng thời tại hệ quy chiếu (O).
ví dụ bạn có hai quả lựu đạn phát nổ đồng thời tại đuôi tàu và mũi tàu, với khoảng cách là Δx' = D
thời gian giữa hai sự kiện sẽ là Δt' = 0
thì thời gian giữa hai sự kiện đối với người thấy phi thuyền di chuyển là Δt = (0 -vD/c²)/√(1-v²/c²) ≠ 0
do đó chúng ta có thể thấy rằng, cả (Δt , Δt') đều tương đối và phụ thuộc vào hệ quy chiếu.
|Δt| càng lớn khi |Δx'| càng lớn
|Δt| càng lớn khi |v| càng lớn
do đó tùy theo vận tốc và sự tách biệt giữa hai sự kiện trên hệ quy chiếu của phi thuyền, sẽ cho ra sự khác biệt trong Δt.
II. Thời gian thích hợp :
Quay trở lại phương trình
Δt = (Δt' +v Δx' /c²)/√(1-v²/c²)
giả sử chúng ta rút ngắn khoảng cách giữa hai sự kiện trong hệ quy chiếu của phi thuyền, tức là khiến Δx' tiến về 0.
chúng ta nhận ra rằng, khi Δx' = 0
Δt = (Δt' +v*0 /c²)/√(1-v²/c²)
Δt = Δt'/√(1-v²/c²)
Bạn có thấy điều gì quen thuộc không?
Đấy chính là phương trình giãn nở thời gian nổi tiếng mà các bạn hay thấy.
chúng ta định nghĩa lại cho (Δt') khi Δx' -> 0
chúng ta gọi Δt' = Δ
và t' = trong trường hợp này.
chúng ta gọi "" là proper time, là thời gian thích hợp.
Định nghĩa : Thời gian thích hợp của O' là thời gian giữa hai sự kiện xảy ra tại cùng vị trí trong hệ quy chiếu O'
Thời gian thích hợp của O là thời gian giữa hai sự kiện xảy ra tại cùng vị trí trong hệ quy chiếu O.
Thời gian thích hợp luôn bất biến do mang tính Lorentz Invariant.
Nguyên nhân là bởi vì nếu mọi hệ quy chiếu áp dụng công thức
= t √(1-v²/c²)
họ sẽ luôn đồng tình về giá trị của "", khá giống với khối lượng nghỉ.
III. Tính toán thời gian cho phi thuyền gia tốc.
Giả sử phi thuyền của chúng ta gia tốc ở 9.8 m/s² , làm sao chúng ta tính ra thời gian cho phi thuyền?
tất nhiên chúng ta không thể áp dụng
= t √(1-v²/c²)
vì "v" trong đây là hằng số, chúng ta phải làm sao đây?
vào năm 1907 Hermann Minkowski công bố một mô hình (hình học) cho thuyết tương đối hẹp.
Ông nhận ra rằng, khá giống với không gian 3 chiều, chúng ta có thể tính khoảng cách giữa hai điểm bằng cách sử dụng định lý Pytago :
ΔU² = Δx² + Δy² + Δz²
ông nhận ra rằng, chúng ta có thể định nghĩa (ΔS) thành khoảng cách giữa hai sự kiện trong không gian và thời gian, để hình thành một tam giác vuông kết nối cả bốn tọa độ (t,x,y,z)
Minkowski tìm ra :
ΔS² = c²Δt² - Δx² - Δy² - Δz²
trong đó (c) là vận tốc ánh sáng, xuất hiện ở đó để biến đổi thứ nguyên của thời gian sang thứ nguyên của không gian.
bạn nhận ra rằng thay vì cộng như định lý Pytago thì các biến lại trừ nhau ra đúng không?
đó là bởi vì trong hình học Hyperbolic, x² - y² = 1
trong hình học vòng tròn thì x² + y² = 1
Minkowski nhận ra rằng, không thời gian mang tính chất Hyperbolic, nghĩa là hình học của nó không tuân theo nguyên lý Euclid.
loại bỏ delta, chúng ta thu được
||S||² = s² = c²t² - x² - y² - z²
trong đó "s" là line element.
còn "S" (viết in) là một vector vị trí, mà mô-đun của nó, ||S|| gọi là khoảng không thời gian (Spacetime interval).
trong trường hợp vận tốc không đổi
s = ||S||
Lưu ý : s ≠ ||S|| khi chuyển động là phi tuyến tính.
điều này là bởi vector vị trí luôn nối khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm của đồ thị, trong khi đó "s" là độ dài arc length của đường đồ thị.
trường hợp đồ thị là không gian và thời gian trên giãn đồ Minkowski, đường đồ thị gọi là worldline.
trong đó worldline là con đường di chuyển qua không-thời gian của mọi vật trong vũ trụ.
Minkowski nhận ra rằng s = c
điều này có nghĩa là
s² = c²² = c²t² - x² - y² - z²
ds² = c²d² = c²dt² - dx² - dy² - dz²
bây giờ đây chúng ta có thể áp dụng vi tích phân để tính ra thời gian thích hợp "" rồi.
để đơn giản hóa vấn đề, hãy loại bỏ tọa độ y & z.
chúng ta thu được
c²d² = c²dt² - dx²
d² = dt² - dx²/c²
(d/dt)² = (1 - (dx/dt)²/c²)
(d/dt) = √(1 - (dx/dt)²/c²)
= ∫ √(1 - (dx/dt)²/c²) dt từ 0 đến t
và đây chính là công thức tính ra () cho một người quan sát đang gia tốc.
đạo hàm (dx/dt) sẽ tùy vào điều kiện bạn tạo ra và có thể tìm thấy bằng cách giải phương trình vi phân.
Trong bài viết (GIA TỐC THÍCH HỢP)

You must be registered for see links

mình đã tính ra được đối với gia tốc thích hợp (α) không đổi, chúng ta thu được v(t) = dx/dt = (αct)/√(c²+(αt)²)
đối với vận tốc ban đầu v(0) = 0
đưa vào trong tích phân chúng ta thu được
= ∫ √(1 - [(αct)/√(c²+(αt)²)]²/c²) dt từ 0 đến t
chúng ta thu được
= c/|α| arsinh(|α|t)/c)
trong đó |α| là trị tuyệt đối của α.
đối với phi thuyền mang gia tốc thích hợp α = 9.8 m/s²
trong suốt một năm
= 299792458/9.8*arsinh(9.8*86400*365.25/299792458)
= 2.76402 10⁷ giây
= 10.518 tháng.
điều này có nghĩa là phi thuyền gia tốc ở vận tốc ban đầu bằng 0 và giữ gia tốc thích hợp không đổi, thì sau 1 năm trôi qua cho người quan sát,
trên phi thuyền chỉ mới trôi qua 10 tháng rưỡi.
Như vậy trong bài viết này chúng ta rút ra được 4 điều quan trọng.

thời gian thích hợp () là một trường hợp đặc biệt của phép biến đổi Lorentz khi x' = 0
thời gian thích hợp () có tính invariance (bất biến), còn thời gian tọa độ (t') thì không như vậy.
Minkowski nhận ra rằng thời gian và không gian liên kết bởi công thức ||S||² = c²t² - x² - y² - z²
||S|| gọi là khoảng không-thời gian, trong đó S là một vector vị trí 4 chiều , còn (s) là line element bằng c

Nếu bạn thích bài viết này, đừng quên ấn like và follow trang cá nhân của mình để nhận thêm nhiều bài viết bổ ích nữa nhé.