Link tải luận văn miễn phí cho ae Kết Nối
Mở đƒu 8
0.1 Lý do chọn đ• tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.2 Mục đ‰ch nghi¶n cøu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
0.3 Phương ph¡p nghi¶n cøu . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
0.4 BŁ cục ý tưởng nghi¶n cøu cıa lu“n ¡n . . . . . . . . . 12
0.5 C¡c k‚t qu£ đ⁄t đưæc và ý nghĩa cıa đ• tài . . . . . . . 13
1 T‰nh ch§t địa phương cıa lớp Eχ;loc(Ω) 15
1.1 Giới thi»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Ki‚n thøc chu'n bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1 Lớp N (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2 Lớp Eχ;loc(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 T‰nh ch§t địa phương cıa lớp Eχ;loc . . . . . . . . . . . 20
2 Tô pô tr¶n không gian δEχ 30
2
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi3
2.1 Giới thi»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Ki‚n thøc chu'n bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 C¡c lớp Cegrell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 Không gian δEχ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.3 Kh¡i ni»m dung lưæng . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 C¡c k‚t qu£ tr¶n không gian δEχ . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.1 Tô pô tr¶n không gian δEχ . . . . . . . . . . . . 34
2.3.2 Sự hºi tụ trong không gian δEχ . . . . . . . . . 39
2.3.3 To¡n tß Monge-Amp–re tr¶n không gian δEχ . . 41
2.3.4 Mºt sŁ chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Hºi tụ theo dung lưæng tr¶n si¶u mặt phøc trơn cıa đa
t⁄p K¨ahler compact 48
3.1 Giới thi»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Ki‚n thøc chu'n bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 Sự hºi tụ theo dung lưæng tr¶n si¶u mặt phøc trơn . . 54
K‚t lu“n 65
C¡c công tr…nh đưæc sß dụng trong lu“n ¡n 67
Tài li»u tham kh£o 68
Phụ lục 74Lời c£m ơn
Lu“n ¡n này đưæc hoàn thành dưới sự hướng d¤n khoa học cıa
PGS. TS. Ph⁄m Hoàng Hi»p. Nh¥n dịp này, tui xin đưæc gßi đ‚n Thƒy
lời c£m ơn ch¥n thành và s¥u s›c nh§t. tui thực sự c£m th§y vô cùng
may m›n khi đưæc làm vi»c cùng Thƒy và nh“n đưæc nhi•u sự hướng
d¤n trong qu¡ tr…nh làm nghi¶n cøu sinh cıa m…nh.
Nh¥n đ¥y tui cũng xin đưæc gßi lời c£m ơn s¥u s›c tới GS. TSKH.
Nguy„n V«n Khu¶, GS. TSKH. L¶ M“u H£i và GS. TSKH. Nguy„n
Quang Di»u v… nhœng trao đŒi và nhœng lời góp ý vô cùng quý b¡u cıa
c¡c Thƒy. Đặc bi»t GS. TSKH. Nguy„n V«n Khu¶ đ¢ gæi mở vi»c so
s¡nh tô pô x¥y dựng đưæc tr¶n δEχ trong chương 3 với c¡c tô pô c£m
sinh tł c¡c tô pô đưæc x¥y dựng bởi c¡c t¡c gi£ kh¡c trước đó. Đi•u
này khi‚n cho vi»c nh“n thøc v• tô pô vła x¥y dựng đưæc th¶m s¥u
s›c và c¡c k‚t qu£ đ⁄t đưæc ở chương 3 th¶m hoàn ch¿nh. tui cũng
xin c£m ơn c¡c Gi£ng vi¶n, và c¡c thành vi¶n nhóm seminar Gi£i t‰ch
phøc Khoa To¡n - Tin, Trường Đ⁄i học Sư ph⁄m Hà Nºi đ¢ có nhœng
tranh lu“n, trao đŒi, góp ý r§t hœu ‰ch trong qu¡ tr…nh làm nghi¶n cøu
sinh cıa tui t⁄i TŒ bº môn Lý thuy‚t hàm. C¡c k‚t qu£ trong lu“n ¡n
đưæc vi‚t thành ba bài b¡o cụ th” như sau:
• [1] Vũ Vi»t Hùng, Hoàng Nh“t Quy (2012), "Convergence in ca-
4
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi5
pacity on smooth hypersurfaces of compact K¨ahler manifolds", Ann.
Polon. Math. 103, 175-187.
• [2] L¶ M“u H£i, Ph⁄m Hoàng Hi»p, Hoàng Nh“t Quy (2013), "Local property of the class Eχ;loc", J. Math. Anal. Appl., 402, 440–445.
• [3] Hoàng Nh“t Quy (2013), "The topology on the space δEχ",
Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica, 51, 61 - 73.
Nh¥n đ¥y tui cũng muŁn gßi lời c£m ơn tới GS. S. Kolodziej v…
nhœng trao đŒi, góp ý làm hoàn thi»n hơn mºt sŁ k‚t qu£ trong lu“n
¡n.
tui cũng r§t bi‚t ơn PhÆng sau đ⁄i học, Trường Đ⁄i học Sư ph⁄m
Hà Nºi v… nhœng hướng d¤n và t⁄o đi•u ki»n đ” tui thực hi»n đƒy đı
c¡c thı tục kịp thời và đúng quy ch‚ trong qu¡ tr…nh làm nghi¶n cøu
sinh cıa m…nh.
Nghi¶n cøu sinh
Hoàng Nh“t QuyB£ng thŁng k¶ c¡c ký hi»u
Ký hi»u Nºi dung
PSH−(Ω) T“p c¡c hàm đa đi•u hÆa dưới ¥m tr¶n Ω
PSH(X; !) T“p c¡c hàm tựa đa đi•u hÆa dưới tr¶n đa t⁄p X
E0 Xem định nghĩa mục 2.2.1
F Xem định nghĩa mục 2.2.1
E Xem định nghĩa mục 2.2.1
χ Xem định nghĩa mục 1.3
Eχ
Xem định nghĩa mục 1.1
N(Ω) Xem định nghĩa mục 1.2.1
δH Xem định nghĩa mục 2.1
Eχ;loc(Ω) Xem định nghĩa mục 1.2.2
δE
χ Xem định nghĩa mục 2.2.2
h’
D;Ω Xem định nghĩa mục 1.2.2
6
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi7
Ký hi»u Nºi dung
B(Ω) Xem định nghĩa mục 3.2.5
DMA(X; !) Xem định nghĩa mục 3.2.6
E(X; !) Xem định nghĩa mục 3.2.7
Ep
(X; !) Xem định nghĩa mục 3.2.7
F(X; !) Xem định nghĩa mục 3.2.8
Ka(X; !) Xem định nghĩa mục 3.2.8
D(S; a) Xem định nghĩa mục 3.2.9
cap(E) Xem định nghĩa mục 2.2.3
capX(E) Xem định nghĩa mục 3.2.2
e
χ(u) Xem định nghĩa mục 2.2.2Mở đƒu
0.1 Lý do chọn đ• tài
Lý thuy‚t hàm nhi•u bi‚n phøc nói chung và lý thuy‚t đa th‚ vị nói
ri¶ng đ¢ thu hút đưæc nhi•u sự quan t¥m và đƒu tư nghi¶n cøu cıa
c¡c nhà to¡n học lớn tr¶n th‚ giới b›t đƒu tł nßa sau cıa th‚ kỷ thø
XX. Sau hơn nßa th‚ kỷ ph¡t tri”n, đ‚n nay sự hi”u bi‚t v• lớp hàm
đa đi•u hÆa dưới - đŁi tưæng nghi¶n cøu ch‰nh trong lý thuy‚t đa th‚
vị, và c¡c cºng cụ thi‚t l“p đưæc là tương đŁi s¥u s›c và phong phú.
T⁄i TŒ bº môn Lý thuy‚t hàm, trường Đ⁄i học Sư ph⁄m Hà Nºi, lý
thuy‚t đa th‚ vị đ¢ b›t đƒu đưæc c¡c gi£ng vi¶n t“p trung nghi¶n cøu
trong vài th“p kỷ trở l⁄i đ¥y. Và đ‚n nay nhœng v§n đ• mà c¡c gi£ng
vi¶n trong bº môn t“p trung nghi¶n cøu ri¶ng cũng như c¡c v§n đ•
đưæc seminar chung đ¢ dƒn dƒn ti‚p c“n đưæc nhœng xu hướng nghi¶n
cøu mới cıa c¡c chuy¶n gia v• lý thuy‚t đa th‚ vị tr¶n th‚ giới.
Trong sŁ r§t nhi•u k‚t qu£ đ¢ đ⁄t đưæc v• lý thuy‚t đa th‚ vị, chúng
tui quan t¥m tới c¡c lớp con c¡c hàm đa đi•u hÆa dưới có n«ng lưæng
Monge - Amp–re hœu h⁄n. N«m 2004, U. Cegrell đ¢ đưa ra nhi•u lớp
n«ng lưæng hœu h⁄n tr¶n mi•n si¶u lồi trong Cn như E0(Ω); E(Ω); F(Ω),
trong đó E(Ω) là lớp con c¡c hàm đa đi•u hÆa dưới lớn nh§t mà tr¶n đó
8
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi9
to¡n tß Monge - Amp–re định nghĩa đưæc như mºt đº do Radon không
¥m và b£o tồn đưæc t‰nh li¶n tục theo d¢y gi£m c¡c hàm đa đi•u hÆa
dưới. N«m 2006, Z. Blocki đ¢ đưa ra đặc trưng cıa lớp Cegrell E(Ω)
tr¶n t“p mở trong Cn và đ• c“p tới t‰nh ch§t địa phương cıa lớp E(Ω).
N«m 2009, nhóm t¡c gi£ S. Benelkourchi, V. Guedj, A. Zeriahi đ¢ đưa
ra c¡c lớp n«ng lưæng với trọng Eχ(Ω). Quan s¡t t‰nh ch§t địa phương
cıa c¡c lớp này chúng tui nh“n th§y r‹ng, giœa c¡c lớp E(Ω) và F(Ω)
có mØi quan h» địa phương toàn cục, tøc là mØi hàm u 2 E(Ω) và mØi
t“p K b Ω tồn t⁄i v 2 F(Ω) sao cho u = v tr¶n K, và lớp E(Ω) có
t‰nh ch§t địa phương trong khi lớp F(Ω) không có. ĐŁi với lớp Eχ(Ω)
cũng không có t‰nh ch§t địa phương. V“y v§n đ• chúng tui quan t¥m
ở đ¥y là nghi¶n cøu x¥y dựng lớp mới tł lớp Eχ(Ω), có t‰nh ch§t địa
phương và có mØi quan h» địa phương toàn cục với lớp Eχ(Ω) tương
tự như cặp E(Ω) và F(Ω).
Ti‚p tục nghi¶n cøu s¥u hơn lớp hàm Eχ(Ω), chúng tui đ¢ d¤n đ‚n
giới thi»u và nghi¶n cøu trong lu“n ¡n này lớp hàm δEχ. V• lớp hàm δ
- đa đi•u hÆa dưới (δ - psh) đ¢ đưæc đ• c“p và nghi¶n cøu b›t đƒu tł
n«m 1977. Ta ký hi»u H = H(Ω) là lớp con b§t kỳ c¡c hàm thuºc lớp
PSH(Ω) và δH = H−H là t“p c¡c hàm u 2 L1 loc(Ω) sao cho u = v−w,
với v; w 2 H. Khi H = PSH(Ω) th… không gian δPSH(Ω) với tô pô
đưæc c£m sinh tł tô pô tr¶n không gian L1 loc(Ω) đ¢ đưæc nghi¶n cøu
bởi C. O. Kiselman 1977 [36] và U. Cegrell 1979 [13]. C¡c k‚t qu£ v•
sau tr¶n lớp δH đ•u đưæc nghi¶n cøu với tô pô c£m sinh tł chu'n
Monge - Amp–re. Với H = F(Ω), th… lớp hàm δF đ¢ đưæc đưa ra và
nghi¶n cøu bới U. Cegrell và J. Wiklund 2005 [19], ở đó c¡c t¡c gi£10
đ¢ chøng minh đưæc r‹ng lớp δF là không gian Banach không kh£ ly
và không gian đŁi ng¤u tô pô (δF)0 đưæc ph¥n t‰ch là (δF)0 = δF0.
Với H = E(Ω), th… lớp hàm δE đ¢ đưæc đưa ra và nghi¶n cøu bới L.
M. H£i và P. H. Hi»p 2006 [27], ở đó c¡c t¡c gi£ đ¢ ch¿ ra r‹ng δE là
không gian Fr†chet không kh£ ly và không ph£n x⁄ và to¡n tß Monge
- Amp–re có th” định nghĩa đưæc tr¶n δE. Với H = Ep(Ω), th… lớp hàm
δE
p đ¢ đưæc đưa ra và nghi¶n cøu bởi P. ˚ Ahag và R. Czyz 2010 [4]. _
B›t nguồn tł sự gæi mở cıa c¡c k‚t qu£ tr¶n đ¥y, trong lu“n ¡n này
chúng tui s‡ đưa ra và nghi¶n cøu lớp δEχ với tô pô đưæc sinh bởi mºt
họ c¡c t“p lồi, c¥n, h§p thụ. Và với tô pô này không gian δEχ là không
gian Fr†chet không kh£ ly và không ph£n x⁄.
Mºt v§n đ• kh¡c trong lý thuy‚t đa th‚ vị thu hút đưæc nhi•u sự
quan t¥m đó là nghi¶n cøu sự hºi tụ theo dung lưæng cıa d¢y c¡c hàm
đa đi•u hÆa dưới. Kh¡i ni»m dung lưæng đưæc giới thi»u và nghi¶n cøu
đƒu ti¶n bởi c¡c t¡c gi£ E. Bedford và B. A. Taylor n«m 1982 [6], và
ti‚p tục đưæc nghi¶n cøu bởi Y. Xing tł 1996 [43]. Và gƒn đ¥y hơn,
n«m 2003, S. Kolodziej đ¢ đưa ra và nghi¶n cøu kh¡i ni»m dung lưæng
tr¶n đa t⁄p K¨ahler compact [41]. Ti‚p tục nghi¶n cøu kh¡i ni»m này,
t¡c gi£ P. H. Hi»p đ¢ thu đưæc mºt sŁ k‚t qu£ đưæc công bŁ vào c¡c
n«m 2008 và 2010 trong [32], [31] và [34]. Đặc bi»t trong [24], c¡c t¡c
gi£ S. Dinew và P. H. Hi»p đ¢ đưa ra nhi•u h» đi•u ki»n đı đ” mºt
d¢y c¡c hàm tựa đa đi•u hÆa dưới là hºi tụ theo dung lưæng tr¶n đa
t⁄p K¨ahler compact. Mºt c¥u hỏi tự nhi¶n đưæc đặt ra là li»u c¡c h»
đi•u ki»n đó có đ£m b£o cho sự hºi tụ theo dung lưæng cıa c¡c hàm
tựa đa đi•u hÆa dưới khi chúng đưæc thu hẹp tr¶n mºt si¶u mặt trơn
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi11
cıa đa t⁄p K¨ahler compact. Đ¥y là mºt v§n đ• khó nhưng kh£ thi và
đ¢ đưæc chúng tui t“p trung nghi¶n cøu trong lu“n ¡n này.
0.2 Mục đ‰ch nghi¶n cøu
Lu“n ¡n này t“p trung nghi¶n cøu c¡c v§n đ• sau đ¥y:
• X¥y dựng lớp n«ng lưæng mới Eχ;loc(Ω) và chøng minh r‹ng lớp đó
có t‰nh ch§t địa phương;
• Đưa ra không gian δEχ. X¥y dựng và nghi¶n cøu mºt sŁ t‰nh ch§t
cıa tô pô tr¶n không gian đó;
• Nghi¶n cøu sự hºi tụ theo dung lưæng cıa c¡c hàm tựa đa đi•u hÆa
dưới khi chúng đưæc h⁄n ch‚ tr¶n si¶u mặt trơn cıa đa t⁄p K¨ahler
compact.
0.3 Phương ph¡p nghi¶n cøu
- X¡c định ph⁄m vi nghi¶n cøu là lĩnh vực lý thuy‚t đa th‚ vị
- Nghi¶n cøu tŒng quan trong lĩnh vực nói tr¶n đ” t…m ki‚m c¡c chı
đ• thời sự đưæc quan t¥m trong thời gian gƒn đ¥y hay nhœng c¥u hỏi
mở đưæc c¡c t¡c gi£ giới thi»u trong c¡c công tr…nh đ¢ công bŁ cıa họ,
cụ th” chúng tui th§y có mºt sŁ v§n đ• như sau:
+ Nghi¶n cøu v• to¡n tß Monge - Amp–re
+ Nghi¶n cøu c¡c lớp hàm đa đi•u hÆa dưới đưæc giới thi»u bởi Cegrell
+ Nghi¶n cøu c¡c lớp hàm đa đi•u hÆa dưới với n«ng lưæng Monge -
Amp–re với trọng hœu h⁄n
+ Nghi¶n cøu sự hºi tụ theo dung lưæng cıa d¢y c¡c hàm đa đi•u hÆa12
dưới và tựa đa đi•u hÆa dưới
- Ti‚n hành đặt v§n đ• hay c¡c c¥u hỏi cụ th” và ti‚n hành c¡c chøng
minh chi ti‚t. Trong qu¡ tr…nh này chúng tui chı y‚u sß dụng c¡c
phương ph¡p nghi¶n cøu và kỹ thu“t truy•n thŁng cıa Gi£i t‰ch phøc
nhi•u bi‚n.
0.4 BŁ cục ý tưởng nghi¶n cøu cıa lu“n ¡n
TŒng quan ý tưởng nghi¶n cøu cıa lu“n ¡n t“p trung vào vi»c øng
dụng to¡n tß Monge - Amp–re đ” nghi¶n cøu v• c¡c hàm đa đi•u hÆa
dưới và tựa đa đi•u hÆa dưới, cụ th” t“p trung vào hai hướng như sau:
- Nghi¶n cøu lớp hàm đa đi•u hÆa dưới với n«ng lưæng Monge -
Amp–re với trọng hœu h⁄n
- Nghi¶n cøu sự hºi tụ theo dung lưæng cıa d¢y c¡c hàm tựa đa
đi•u hÆa dưới tr¶n đa t⁄p K¨ahler compact
Qu¡ tr…nh t“p trung nghi¶n cøu vào hai hướng tr¶n đ¥y, chúng tôi
đ¢ đ⁄t đưæc ba k‚t qu£ ch‰nh cụ th” như sau:
• K‚t qu£ 1: Đưa ra lớp hàm mới Eχ;loc(Ω) và nghi¶n cøu t‰nh ch§t
địa phương tr¶n lớp hàm đó;
• K‚t qu£ 2: Đưa ra không gian vectơ mới δEχ, sau đó ti‚n hành
x¥y dựng tô pô và nghi¶n cøu c¡c t‰nh ch§t tô pô tr¶n không gian đó;
• K‚t qu£ 3: Thi‚t l“p c¡c h» đi•u ki»n đı cho sự hºi tụ theo dung
lưæng tr¶n si¶u mặt phøc trơn cıa đa t⁄p K¨ahler compact.
C¡c k‚t qu£ tr¶n đ¥y đưæc tr…nh bày chi ti‚t thành ba chương cıa
lu“n ¡n.
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi13
0.5 C¡c k‚t qu£ đ⁄t đưæc và ý nghĩa cıa đ• tài
Lu“n ¡n nghi¶n cøu v• phương tr…nh và to¡n tß Monge - Amp–re
cıa hàm đa đi•u hÆa dưới tr¶n mi•n si¶u lồi trong Cn và cıa hàm tựa
đa đi•u hÆa dưới tr¶n đa t⁄p K¨ahler compact. Mºt sŁ k‚t qu£ ch‰nh
chúng tui đ¢ đ⁄t đưæc trong lu“n ¡n có th” li»t k¶ như sau:
• Đưa ra định nghĩa đƒy đı t‰nh ch§t địa phương cıa c¡c hàm đa
đi•u hÆa dưới với n«ng lưæng Monge - Amp–re và n«ng lưæng Monge
- Amp–re với trọng hœu h⁄n;
• Chøng minh đưæc r‹ng lớp Eχ;loc(Ω) có t‰nh ch§t địa phương;
• Đưa ra lớp hàm δEχ và phương ph¡p x¥y dựng tô pô lồi địa phương
tr¶n đó;
• Ch¿ ra r‹ng không gian δEχ là không gian Fr†chet không kh£ ly
và không ph£n x⁄;
• Chøng minh r‹ng sự hºi tụ tr¶n không gian tô pô δEχ m⁄nh hơn
sự hºi tụ theo dung lưæng;
• Đưa ra định nghĩa t“p con c¡c hàm tựa đa đi•u hÆa dưới, li¶n tục
ngoài mºt si¶u mặt trơn trong đa t⁄p K¨ahler compact và bị chặn bởi
hàm log jfj (với f là hàm ch¿nh h…nh) ở gƒn si¶u mặt trơn nói tr¶n;
• Đưa ra đưæc c¡c h» đi•u ki»n và chøng minh đưæc r‹ng chúng là
đı đ” mºt d¢y hàm tựa đa đi•u hÆa dưới hºi tụ theo dung lưæng khi
thu hẹp l¶n mºt si¶u mặt trơn trong đa t⁄p K¨ahler compact v¤n cÆn
hºi tụ theo dung lưæng.
C¡c k‚t qu£ đ⁄t đưæc trong lu“n ¡n giúp chúng tui hi”u bi‚t s¥u
hơn v• c¡c lớp n«ng lưæng và sự hºi tụ theo dung lưæng cıa d¢y c¡c
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
Mở đƒu 8
0.1 Lý do chọn đ• tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.2 Mục đ‰ch nghi¶n cøu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
0.3 Phương ph¡p nghi¶n cøu . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
0.4 BŁ cục ý tưởng nghi¶n cøu cıa lu“n ¡n . . . . . . . . . 12
0.5 C¡c k‚t qu£ đ⁄t đưæc và ý nghĩa cıa đ• tài . . . . . . . 13
1 T‰nh ch§t địa phương cıa lớp Eχ;loc(Ω) 15
1.1 Giới thi»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Ki‚n thøc chu'n bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1 Lớp N (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2 Lớp Eχ;loc(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 T‰nh ch§t địa phương cıa lớp Eχ;loc . . . . . . . . . . . 20
2 Tô pô tr¶n không gian δEχ 30
2
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi3
2.1 Giới thi»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Ki‚n thøc chu'n bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 C¡c lớp Cegrell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 Không gian δEχ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.3 Kh¡i ni»m dung lưæng . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 C¡c k‚t qu£ tr¶n không gian δEχ . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.1 Tô pô tr¶n không gian δEχ . . . . . . . . . . . . 34
2.3.2 Sự hºi tụ trong không gian δEχ . . . . . . . . . 39
2.3.3 To¡n tß Monge-Amp–re tr¶n không gian δEχ . . 41
2.3.4 Mºt sŁ chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Hºi tụ theo dung lưæng tr¶n si¶u mặt phøc trơn cıa đa
t⁄p K¨ahler compact 48
3.1 Giới thi»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Ki‚n thøc chu'n bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 Sự hºi tụ theo dung lưæng tr¶n si¶u mặt phøc trơn . . 54
K‚t lu“n 65
C¡c công tr…nh đưæc sß dụng trong lu“n ¡n 67
Tài li»u tham kh£o 68
Phụ lục 74Lời c£m ơn
Lu“n ¡n này đưæc hoàn thành dưới sự hướng d¤n khoa học cıa
PGS. TS. Ph⁄m Hoàng Hi»p. Nh¥n dịp này, tui xin đưæc gßi đ‚n Thƒy
lời c£m ơn ch¥n thành và s¥u s›c nh§t. tui thực sự c£m th§y vô cùng
may m›n khi đưæc làm vi»c cùng Thƒy và nh“n đưæc nhi•u sự hướng
d¤n trong qu¡ tr…nh làm nghi¶n cøu sinh cıa m…nh.
Nh¥n đ¥y tui cũng xin đưæc gßi lời c£m ơn s¥u s›c tới GS. TSKH.
Nguy„n V«n Khu¶, GS. TSKH. L¶ M“u H£i và GS. TSKH. Nguy„n
Quang Di»u v… nhœng trao đŒi và nhœng lời góp ý vô cùng quý b¡u cıa
c¡c Thƒy. Đặc bi»t GS. TSKH. Nguy„n V«n Khu¶ đ¢ gæi mở vi»c so
s¡nh tô pô x¥y dựng đưæc tr¶n δEχ trong chương 3 với c¡c tô pô c£m
sinh tł c¡c tô pô đưæc x¥y dựng bởi c¡c t¡c gi£ kh¡c trước đó. Đi•u
này khi‚n cho vi»c nh“n thøc v• tô pô vła x¥y dựng đưæc th¶m s¥u
s›c và c¡c k‚t qu£ đ⁄t đưæc ở chương 3 th¶m hoàn ch¿nh. tui cũng
xin c£m ơn c¡c Gi£ng vi¶n, và c¡c thành vi¶n nhóm seminar Gi£i t‰ch
phøc Khoa To¡n - Tin, Trường Đ⁄i học Sư ph⁄m Hà Nºi đ¢ có nhœng
tranh lu“n, trao đŒi, góp ý r§t hœu ‰ch trong qu¡ tr…nh làm nghi¶n cøu
sinh cıa tui t⁄i TŒ bº môn Lý thuy‚t hàm. C¡c k‚t qu£ trong lu“n ¡n
đưæc vi‚t thành ba bài b¡o cụ th” như sau:
• [1] Vũ Vi»t Hùng, Hoàng Nh“t Quy (2012), "Convergence in ca-
4
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi5
pacity on smooth hypersurfaces of compact K¨ahler manifolds", Ann.
Polon. Math. 103, 175-187.
• [2] L¶ M“u H£i, Ph⁄m Hoàng Hi»p, Hoàng Nh“t Quy (2013), "Local property of the class Eχ;loc", J. Math. Anal. Appl., 402, 440–445.
• [3] Hoàng Nh“t Quy (2013), "The topology on the space δEχ",
Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica, 51, 61 - 73.
Nh¥n đ¥y tui cũng muŁn gßi lời c£m ơn tới GS. S. Kolodziej v…
nhœng trao đŒi, góp ý làm hoàn thi»n hơn mºt sŁ k‚t qu£ trong lu“n
¡n.
tui cũng r§t bi‚t ơn PhÆng sau đ⁄i học, Trường Đ⁄i học Sư ph⁄m
Hà Nºi v… nhœng hướng d¤n và t⁄o đi•u ki»n đ” tui thực hi»n đƒy đı
c¡c thı tục kịp thời và đúng quy ch‚ trong qu¡ tr…nh làm nghi¶n cøu
sinh cıa m…nh.
Nghi¶n cøu sinh
Hoàng Nh“t QuyB£ng thŁng k¶ c¡c ký hi»u
Ký hi»u Nºi dung
PSH−(Ω) T“p c¡c hàm đa đi•u hÆa dưới ¥m tr¶n Ω
PSH(X; !) T“p c¡c hàm tựa đa đi•u hÆa dưới tr¶n đa t⁄p X
E0 Xem định nghĩa mục 2.2.1
F Xem định nghĩa mục 2.2.1
E Xem định nghĩa mục 2.2.1
χ Xem định nghĩa mục 1.3
Eχ
Xem định nghĩa mục 1.1
N(Ω) Xem định nghĩa mục 1.2.1
δH Xem định nghĩa mục 2.1
Eχ;loc(Ω) Xem định nghĩa mục 1.2.2
δE
χ Xem định nghĩa mục 2.2.2
h’
D;Ω Xem định nghĩa mục 1.2.2
6
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi7
Ký hi»u Nºi dung
B(Ω) Xem định nghĩa mục 3.2.5
DMA(X; !) Xem định nghĩa mục 3.2.6
E(X; !) Xem định nghĩa mục 3.2.7
Ep
(X; !) Xem định nghĩa mục 3.2.7
F(X; !) Xem định nghĩa mục 3.2.8
Ka(X; !) Xem định nghĩa mục 3.2.8
D(S; a) Xem định nghĩa mục 3.2.9
cap(E) Xem định nghĩa mục 2.2.3
capX(E) Xem định nghĩa mục 3.2.2
e
χ(u) Xem định nghĩa mục 2.2.2Mở đƒu
0.1 Lý do chọn đ• tài
Lý thuy‚t hàm nhi•u bi‚n phøc nói chung và lý thuy‚t đa th‚ vị nói
ri¶ng đ¢ thu hút đưæc nhi•u sự quan t¥m và đƒu tư nghi¶n cøu cıa
c¡c nhà to¡n học lớn tr¶n th‚ giới b›t đƒu tł nßa sau cıa th‚ kỷ thø
XX. Sau hơn nßa th‚ kỷ ph¡t tri”n, đ‚n nay sự hi”u bi‚t v• lớp hàm
đa đi•u hÆa dưới - đŁi tưæng nghi¶n cøu ch‰nh trong lý thuy‚t đa th‚
vị, và c¡c cºng cụ thi‚t l“p đưæc là tương đŁi s¥u s›c và phong phú.
T⁄i TŒ bº môn Lý thuy‚t hàm, trường Đ⁄i học Sư ph⁄m Hà Nºi, lý
thuy‚t đa th‚ vị đ¢ b›t đƒu đưæc c¡c gi£ng vi¶n t“p trung nghi¶n cøu
trong vài th“p kỷ trở l⁄i đ¥y. Và đ‚n nay nhœng v§n đ• mà c¡c gi£ng
vi¶n trong bº môn t“p trung nghi¶n cøu ri¶ng cũng như c¡c v§n đ•
đưæc seminar chung đ¢ dƒn dƒn ti‚p c“n đưæc nhœng xu hướng nghi¶n
cøu mới cıa c¡c chuy¶n gia v• lý thuy‚t đa th‚ vị tr¶n th‚ giới.
Trong sŁ r§t nhi•u k‚t qu£ đ¢ đ⁄t đưæc v• lý thuy‚t đa th‚ vị, chúng
tui quan t¥m tới c¡c lớp con c¡c hàm đa đi•u hÆa dưới có n«ng lưæng
Monge - Amp–re hœu h⁄n. N«m 2004, U. Cegrell đ¢ đưa ra nhi•u lớp
n«ng lưæng hœu h⁄n tr¶n mi•n si¶u lồi trong Cn như E0(Ω); E(Ω); F(Ω),
trong đó E(Ω) là lớp con c¡c hàm đa đi•u hÆa dưới lớn nh§t mà tr¶n đó
8
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi9
to¡n tß Monge - Amp–re định nghĩa đưæc như mºt đº do Radon không
¥m và b£o tồn đưæc t‰nh li¶n tục theo d¢y gi£m c¡c hàm đa đi•u hÆa
dưới. N«m 2006, Z. Blocki đ¢ đưa ra đặc trưng cıa lớp Cegrell E(Ω)
tr¶n t“p mở trong Cn và đ• c“p tới t‰nh ch§t địa phương cıa lớp E(Ω).
N«m 2009, nhóm t¡c gi£ S. Benelkourchi, V. Guedj, A. Zeriahi đ¢ đưa
ra c¡c lớp n«ng lưæng với trọng Eχ(Ω). Quan s¡t t‰nh ch§t địa phương
cıa c¡c lớp này chúng tui nh“n th§y r‹ng, giœa c¡c lớp E(Ω) và F(Ω)
có mØi quan h» địa phương toàn cục, tøc là mØi hàm u 2 E(Ω) và mØi
t“p K b Ω tồn t⁄i v 2 F(Ω) sao cho u = v tr¶n K, và lớp E(Ω) có
t‰nh ch§t địa phương trong khi lớp F(Ω) không có. ĐŁi với lớp Eχ(Ω)
cũng không có t‰nh ch§t địa phương. V“y v§n đ• chúng tui quan t¥m
ở đ¥y là nghi¶n cøu x¥y dựng lớp mới tł lớp Eχ(Ω), có t‰nh ch§t địa
phương và có mØi quan h» địa phương toàn cục với lớp Eχ(Ω) tương
tự như cặp E(Ω) và F(Ω).
Ti‚p tục nghi¶n cøu s¥u hơn lớp hàm Eχ(Ω), chúng tui đ¢ d¤n đ‚n
giới thi»u và nghi¶n cøu trong lu“n ¡n này lớp hàm δEχ. V• lớp hàm δ
- đa đi•u hÆa dưới (δ - psh) đ¢ đưæc đ• c“p và nghi¶n cøu b›t đƒu tł
n«m 1977. Ta ký hi»u H = H(Ω) là lớp con b§t kỳ c¡c hàm thuºc lớp
PSH(Ω) và δH = H−H là t“p c¡c hàm u 2 L1 loc(Ω) sao cho u = v−w,
với v; w 2 H. Khi H = PSH(Ω) th… không gian δPSH(Ω) với tô pô
đưæc c£m sinh tł tô pô tr¶n không gian L1 loc(Ω) đ¢ đưæc nghi¶n cøu
bởi C. O. Kiselman 1977 [36] và U. Cegrell 1979 [13]. C¡c k‚t qu£ v•
sau tr¶n lớp δH đ•u đưæc nghi¶n cøu với tô pô c£m sinh tł chu'n
Monge - Amp–re. Với H = F(Ω), th… lớp hàm δF đ¢ đưæc đưa ra và
nghi¶n cøu bới U. Cegrell và J. Wiklund 2005 [19], ở đó c¡c t¡c gi£10
đ¢ chøng minh đưæc r‹ng lớp δF là không gian Banach không kh£ ly
và không gian đŁi ng¤u tô pô (δF)0 đưæc ph¥n t‰ch là (δF)0 = δF0.
Với H = E(Ω), th… lớp hàm δE đ¢ đưæc đưa ra và nghi¶n cøu bới L.
M. H£i và P. H. Hi»p 2006 [27], ở đó c¡c t¡c gi£ đ¢ ch¿ ra r‹ng δE là
không gian Fr†chet không kh£ ly và không ph£n x⁄ và to¡n tß Monge
- Amp–re có th” định nghĩa đưæc tr¶n δE. Với H = Ep(Ω), th… lớp hàm
δE
p đ¢ đưæc đưa ra và nghi¶n cøu bởi P. ˚ Ahag và R. Czyz 2010 [4]. _
B›t nguồn tł sự gæi mở cıa c¡c k‚t qu£ tr¶n đ¥y, trong lu“n ¡n này
chúng tui s‡ đưa ra và nghi¶n cøu lớp δEχ với tô pô đưæc sinh bởi mºt
họ c¡c t“p lồi, c¥n, h§p thụ. Và với tô pô này không gian δEχ là không
gian Fr†chet không kh£ ly và không ph£n x⁄.
Mºt v§n đ• kh¡c trong lý thuy‚t đa th‚ vị thu hút đưæc nhi•u sự
quan t¥m đó là nghi¶n cøu sự hºi tụ theo dung lưæng cıa d¢y c¡c hàm
đa đi•u hÆa dưới. Kh¡i ni»m dung lưæng đưæc giới thi»u và nghi¶n cøu
đƒu ti¶n bởi c¡c t¡c gi£ E. Bedford và B. A. Taylor n«m 1982 [6], và
ti‚p tục đưæc nghi¶n cøu bởi Y. Xing tł 1996 [43]. Và gƒn đ¥y hơn,
n«m 2003, S. Kolodziej đ¢ đưa ra và nghi¶n cøu kh¡i ni»m dung lưæng
tr¶n đa t⁄p K¨ahler compact [41]. Ti‚p tục nghi¶n cøu kh¡i ni»m này,
t¡c gi£ P. H. Hi»p đ¢ thu đưæc mºt sŁ k‚t qu£ đưæc công bŁ vào c¡c
n«m 2008 và 2010 trong [32], [31] và [34]. Đặc bi»t trong [24], c¡c t¡c
gi£ S. Dinew và P. H. Hi»p đ¢ đưa ra nhi•u h» đi•u ki»n đı đ” mºt
d¢y c¡c hàm tựa đa đi•u hÆa dưới là hºi tụ theo dung lưæng tr¶n đa
t⁄p K¨ahler compact. Mºt c¥u hỏi tự nhi¶n đưæc đặt ra là li»u c¡c h»
đi•u ki»n đó có đ£m b£o cho sự hºi tụ theo dung lưæng cıa c¡c hàm
tựa đa đi•u hÆa dưới khi chúng đưæc thu hẹp tr¶n mºt si¶u mặt trơn
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi11
cıa đa t⁄p K¨ahler compact. Đ¥y là mºt v§n đ• khó nhưng kh£ thi và
đ¢ đưæc chúng tui t“p trung nghi¶n cøu trong lu“n ¡n này.
0.2 Mục đ‰ch nghi¶n cøu
Lu“n ¡n này t“p trung nghi¶n cøu c¡c v§n đ• sau đ¥y:
• X¥y dựng lớp n«ng lưæng mới Eχ;loc(Ω) và chøng minh r‹ng lớp đó
có t‰nh ch§t địa phương;
• Đưa ra không gian δEχ. X¥y dựng và nghi¶n cøu mºt sŁ t‰nh ch§t
cıa tô pô tr¶n không gian đó;
• Nghi¶n cøu sự hºi tụ theo dung lưæng cıa c¡c hàm tựa đa đi•u hÆa
dưới khi chúng đưæc h⁄n ch‚ tr¶n si¶u mặt trơn cıa đa t⁄p K¨ahler
compact.
0.3 Phương ph¡p nghi¶n cøu
- X¡c định ph⁄m vi nghi¶n cøu là lĩnh vực lý thuy‚t đa th‚ vị
- Nghi¶n cøu tŒng quan trong lĩnh vực nói tr¶n đ” t…m ki‚m c¡c chı
đ• thời sự đưæc quan t¥m trong thời gian gƒn đ¥y hay nhœng c¥u hỏi
mở đưæc c¡c t¡c gi£ giới thi»u trong c¡c công tr…nh đ¢ công bŁ cıa họ,
cụ th” chúng tui th§y có mºt sŁ v§n đ• như sau:
+ Nghi¶n cøu v• to¡n tß Monge - Amp–re
+ Nghi¶n cøu c¡c lớp hàm đa đi•u hÆa dưới đưæc giới thi»u bởi Cegrell
+ Nghi¶n cøu c¡c lớp hàm đa đi•u hÆa dưới với n«ng lưæng Monge -
Amp–re với trọng hœu h⁄n
+ Nghi¶n cøu sự hºi tụ theo dung lưæng cıa d¢y c¡c hàm đa đi•u hÆa12
dưới và tựa đa đi•u hÆa dưới
- Ti‚n hành đặt v§n đ• hay c¡c c¥u hỏi cụ th” và ti‚n hành c¡c chøng
minh chi ti‚t. Trong qu¡ tr…nh này chúng tui chı y‚u sß dụng c¡c
phương ph¡p nghi¶n cøu và kỹ thu“t truy•n thŁng cıa Gi£i t‰ch phøc
nhi•u bi‚n.
0.4 BŁ cục ý tưởng nghi¶n cøu cıa lu“n ¡n
TŒng quan ý tưởng nghi¶n cøu cıa lu“n ¡n t“p trung vào vi»c øng
dụng to¡n tß Monge - Amp–re đ” nghi¶n cøu v• c¡c hàm đa đi•u hÆa
dưới và tựa đa đi•u hÆa dưới, cụ th” t“p trung vào hai hướng như sau:
- Nghi¶n cøu lớp hàm đa đi•u hÆa dưới với n«ng lưæng Monge -
Amp–re với trọng hœu h⁄n
- Nghi¶n cøu sự hºi tụ theo dung lưæng cıa d¢y c¡c hàm tựa đa
đi•u hÆa dưới tr¶n đa t⁄p K¨ahler compact
Qu¡ tr…nh t“p trung nghi¶n cøu vào hai hướng tr¶n đ¥y, chúng tôi
đ¢ đ⁄t đưæc ba k‚t qu£ ch‰nh cụ th” như sau:
• K‚t qu£ 1: Đưa ra lớp hàm mới Eχ;loc(Ω) và nghi¶n cøu t‰nh ch§t
địa phương tr¶n lớp hàm đó;
• K‚t qu£ 2: Đưa ra không gian vectơ mới δEχ, sau đó ti‚n hành
x¥y dựng tô pô và nghi¶n cøu c¡c t‰nh ch§t tô pô tr¶n không gian đó;
• K‚t qu£ 3: Thi‚t l“p c¡c h» đi•u ki»n đı cho sự hºi tụ theo dung
lưæng tr¶n si¶u mặt phøc trơn cıa đa t⁄p K¨ahler compact.
C¡c k‚t qu£ tr¶n đ¥y đưæc tr…nh bày chi ti‚t thành ba chương cıa
lu“n ¡n.
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi13
0.5 C¡c k‚t qu£ đ⁄t đưæc và ý nghĩa cıa đ• tài
Lu“n ¡n nghi¶n cøu v• phương tr…nh và to¡n tß Monge - Amp–re
cıa hàm đa đi•u hÆa dưới tr¶n mi•n si¶u lồi trong Cn và cıa hàm tựa
đa đi•u hÆa dưới tr¶n đa t⁄p K¨ahler compact. Mºt sŁ k‚t qu£ ch‰nh
chúng tui đ¢ đ⁄t đưæc trong lu“n ¡n có th” li»t k¶ như sau:
• Đưa ra định nghĩa đƒy đı t‰nh ch§t địa phương cıa c¡c hàm đa
đi•u hÆa dưới với n«ng lưæng Monge - Amp–re và n«ng lưæng Monge
- Amp–re với trọng hœu h⁄n;
• Chøng minh đưæc r‹ng lớp Eχ;loc(Ω) có t‰nh ch§t địa phương;
• Đưa ra lớp hàm δEχ và phương ph¡p x¥y dựng tô pô lồi địa phương
tr¶n đó;
• Ch¿ ra r‹ng không gian δEχ là không gian Fr†chet không kh£ ly
và không ph£n x⁄;
• Chøng minh r‹ng sự hºi tụ tr¶n không gian tô pô δEχ m⁄nh hơn
sự hºi tụ theo dung lưæng;
• Đưa ra định nghĩa t“p con c¡c hàm tựa đa đi•u hÆa dưới, li¶n tục
ngoài mºt si¶u mặt trơn trong đa t⁄p K¨ahler compact và bị chặn bởi
hàm log jfj (với f là hàm ch¿nh h…nh) ở gƒn si¶u mặt trơn nói tr¶n;
• Đưa ra đưæc c¡c h» đi•u ki»n và chøng minh đưæc r‹ng chúng là
đı đ” mºt d¢y hàm tựa đa đi•u hÆa dưới hºi tụ theo dung lưæng khi
thu hẹp l¶n mºt si¶u mặt trơn trong đa t⁄p K¨ahler compact v¤n cÆn
hºi tụ theo dung lưæng.
C¡c k‚t qu£ đ⁄t đưæc trong lu“n ¡n giúp chúng tui hi”u bi‚t s¥u
hơn v• c¡c lớp n«ng lưæng và sự hºi tụ theo dung lưæng cıa d¢y c¡c
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links