Download miễn phí Luận văn Ánh xạ đơn điệu và áp dụng vào các bài toán cân bằng kinh tế
MỤC LỤC
Mở đ ầu . . . .1
Chƣơng 1: TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
1.1. Không gian Hilb ert th ực . . .3
1.2. Tập l ồi và hàm l ồi . . .7
1.3. Toán tử đơn điệu . . .14
1.3.1. Các địn h nghĩa về to án tử đơn đi ệu . .15
13.2. Toán tử đơn đi ệu tuần hoàn . .19
1.3.3. Toán tử đơn điệu cực đại . . .21
Chƣơng 2: BẤT ĐẲNG THỨC BI ẾN PHÂN VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU
2.1. Bất đẳng thức bi ến phân . . .33
2.2. Bất đẳng th ức bi ến phân với toán tử đơn điệu . .39
2.3. Bất đẳng th ức bi ến phân với ánh xạ đa tr ị. .46
2.4. Bất đẳng th ức bi ến phân và các bài toán li ên quan .49
Chƣơng 3: MÔ HÌNH NASH – COURNOT VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU
3.1. Phát bi ểu mô hình . . .55
3.2. M ô hình Nash – Cournot với bài toán cân bằng . .56
3.3. M ô hình Nash – Cournot với bài toán bất đẳng th ức bi ến phân.57
3.4. M ô hình Nash – Cournot với toán tử đơn đi ệu . .58
KẾT LUẬN . . .65
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . .66
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
ực đại mà( )b T a
. Ta mở rộng toán tử T
thành toán tử
T
bằng cách:
( ) ( )T a T a b
.
Từ đây suy ra:
( ) ( ); ( ) ( )G T G T G T G T
là mâu thuẫn với giả thiết.
Ngược lại, giả sử
( )b T a
. Xét với mọi toán tử đơn điệu Tˆ có:
ˆ( ) ( )G T G T
.
Hiển nhiên nếu
ˆ( , ) ( )a b G T
thì:
, 0b u a x
,
, ( )x u G T
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23
và suy ra
( ) ( , ) ( )b T a a b G T
. Nghĩa là
ˆ( ) ( )G T G T
. Điều này chứng tỏ T là
toán tử đơn điệu cực đại. Mệnh đề được chứng minh.
Định nghĩa 1.32. Toán tử đa trị
: 2HS H
được gọi là toán tử tràn khi và chỉ
khi với mỗi
v H
tồn tại
x H
thoả mãn
v S x
.
Mệnh đề 1.13. Toán tử đa trị
: 2HT H
là đơn điệu cực đại khi và chỉ khi
T
là
toán tử đơn điệu cực đại (
0
).
Chứng minh.
Giả sử
T
là toán tử đơn điệu cực đại và
0
. Do Mệnh đề 1.10,
T
là
toán tử đơn điệu. Để chứng minh rằng
T
là toán tử đơn điệu cực đại, ta sử dụng
Mệnh đề 1.12. Giả sử
,a b H H
thoả mãn:
, 0b u a x
,
,x u G T
.
Vì:
,x u G T
1,u T x x u G T
,
điều kiện đó kéo theo:
1 1 , 0b u a x
,
1,x u G T
.
Do
T
là toán tử đơn điệu cực đại, từ đó ta có
1b T a
. Suy ra
b T a
.
Vậy
T
là toán tử đơn điệu cực đại.
Ngược lại, giả sử
T
là toán tử đơn điệu cực đại và
0
. Đặt
T T ,
khi đó 1T T sẽ là toán tử đơn điệu cực đại. Mệnh đề được chứng minh.
Định nghĩa 1.33. Miền ảnh của một toán tử đa trị
: 2HT H
là tập hợp được kí
hiệu là
rgeT
và được cho bởi công thức:
( ) : ,rge T u H x H u T x
.
Định lý 1.4 (Xem [5],[13]). Giả sử
C H
là một tập khác rỗng, lồi, đóng và
: 2HT H
là toán tử đơn điệu. Khi đó, với mọi
z H
, tồn tại
x C
thoả mãn
, ,x v y x z y x
,
, ,y v G T y C
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24
Định lý 1.5 ( Định lý Minty). Cho
: 2HT H
là toán tử đơn điệu và
0
. Khi
đó,
T
là toán tử đơn điệu cực đại khi và chỉ khi
I T
là toán tử tràn, hay
rge I T H
.
Chứng minh.
Theo Mệnh đề 1.13, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
1
.
Điều kiện cần: Giả sử
T
là toán tử đơn điệu cực đại. áp dụng Định lý 1.4 cho
C H
, ta thấy rằng với mỗi
z H
, tồn tại
x H
sao cho:
, ,x v y x z y x
,
, ,y v G T y H
.
Tức là với mỗi
z H
, tồn tại
x H
sao cho:
, 0v z x y x
,
, ,y v G T y H
.
Do tính đơn điệu cực đại của T và theo Mệnh đề 1.12 ta có:
z x T x
, hay
z x T x
.
Từ đó suy ra:
z I T x
.
Vậy
I T
là toán tử tràn, hay
rge I T H
.
Điều kiện đủ: Giả sử
rge I T H
và
,x u H H
thoả mãn:
, 0, , ( ).u v x y y v G T
(1.10)
Ta khẳng định rằng :
u T x
. Thật vậy, vì
rge I T H
nên tồn tại
H
sao
cho:
u x I T
.
Từ đó suy ra:
.u x T
(1.11)
Lấy
y
và
v u x
ta được
v T
hay
,y v G T
. Kết hợp với (1.10)
ta được :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25
, 0u u x x
.
Từ đó suy ra
x
. Mặt khác, do (1.11) ta có:
( )u x x T x
hay
u T x
. Vậy,
T
là toán tử đơn điệu cực đại. Định lý được chứng minh.
Định lý 1.6. Cho hàm số
:f H R
là lồi, chính thường, nửa liên tục
dưới. Khi đó ánh xạ đa trị
: 2HT H
cho bởi công thức:
T x f x
là toán tử đơn điệu cực đại .
Chứng minh.
Giả sử
:f H R
là hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới. Ta đã chứng
minh
T f
là toán tử đơn điệu (Ví dụ 1.4). Theo Định lý 1.5, ta chỉ cần chứng
minh rằng
I T
là toán tử tràn. Thật vậy, với mỗi
d H
và
F
ta đặt:
21
,
2
dh x f x x d x
.
Ta có
.dh
là tổng của một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới, một hàm lồi
mạnh, liên tục, và một hàm tuyến tính liên tục. Vì vậy
.dh
là hàm lồi mạnh, chính
thường, nửa liên tục dưới. Nếu
y domf
và
c f y
, thì với mọi
x H
ta có:
,f x f y c x y
.
Do đó ta thu được:
21( ) ( ) || || , ,
2
dh x f y x d x c x y
21
, ,
2
dh x f y c y x c d x
.
Mặt khác, vì:
2 21 1
,
2 2
x c d x x c d x
khi
x
,
nên:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26
dh x
khi
x
.
Vậy
.dh
thoả mãn điều kiện bức, theo nghĩa
dh x
khi
x
.
Do
.dh
là bức và lồi mạnh nên bài toán bài toán:
min : ndh x x R
có duy nhất nghiệm. Gọi *x là nghiệm này, khi đó
*0 dh x
. Sử dụng Định lý
Moreau-Rockafellar, ta có:
* * *0 dh x f x x d
.
Từ đó suy ra:
* *( )d x f x
.
Do
d
là phần tử bất kỳ nên:
I T I f
là toán tử tràn. Vậy, T là toán tử đơn điệu cực đại. Định lý được chứng minh.
Ví dụ 1.5. Xét hàm số
: nf R R
cho bởi công thức:
f x x
.
Đặt
T x f x
. Khi đó:
: || || 1 0;
( )
: || || 1 0.
khi
khi
n
n
p R p x
T x
p R p x
Vì
f
là hàm lồi chính thường, nửa liên tục dưới, ta có
T
là toán tử đơn điệu cực
đại (xem Định lý 1.6 ).
Đặc biệt, với n=1 ta có:
1 0
1,1 0
1 0
khi
khi
khi
x
T x x
x
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27
Định nghĩa 1.34. Toán tử đa trị
: 2HT H
được gọi là bị chặn địa phương tại
một điểm
x D T
, nếu tồn tại một lân cận
U
của
x
sao cho tập hợp:
:T U T u u U
là một tập con bị chặn của H.
Để phục vụ cho các kết quả dưới đây, theo [12], ta ký hiệu
J
là gradient của
hàm
21( ) || ||
2
h x x
hay
J
còn được gọi là ánh xạ đối ngẫu gán mỗi
x H
thành
một phần tử duy nhất
J x H
sao cho:
22
,x J x x J x
.
Như vậy, J là ánh xạ một - một từ
H
vào
H
và liên tục từ tôpô mạnh vào tôpô
* yếu. Hơn thế nữa,
J
còn là toán tử đơn điệu chặt.
Từ kết quả ở trên ta có: nếu toán tử đa trị
: 2HT H
là toán tử đơn điệu cực
đại thì khi đó toán tử 1T là đơn điệu. Ta ký hiệu khoảng biến thiên của T là
R T
và được xác định:
1 ( ) :R T D T T x x H
.
Mặt khác, nếu
1 2,T T
là hai toán tử đơn điệu thì toán t