o0perhapslove0o
New Member
Download miễn phí Luận văn Bài toán moment Hausdorff và biến đổi Laplace ngược
MỤC LỤC
Trang
Mục lục . 0
Mở đầu . 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . 5
1.1.Không gian Hilbert . 5
1.1.1. định nghĩa . 5
1.1.2. Không gianpL . 6
1.1.4. Quá trình trực giao hóa Hilbert-Schmidt. 9
1.2. Các hệtrực chuẩn đặc biệt trong
1.2.1. đa thức Legendre . 10
1.2.1.1. Dạng đa thức và dạng vi phân . 10
1.2.1.2. Dạng tích phân. 11
1.2.2. đa thức Muntz . 14
1.3. Tính trù mật . 18
1.4. Bài toán không chỉnh . 22
1.5. Biến đổi Laplace . 23
Chương 2. Bài toán moment Hausdorff và phương pháp moment hữu hạn . 24
2.1. Tính không chỉnh của bài toán 2.1 . 24
2.1.1. Ví dụ1 . 24
2.1.2. Ví dụ2 . 26
2.2. Chỉnh hóa bằng phương pháp moment hữu hạn. 27
Chương 3. Bài toán moment từbiến đổi Laplace . 43
Chương 4. Ví dụsố. 46
Chương 5. Kết Luận . 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO . 55
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
− ∫12
( ) ( ) ( ) ( ) ( )" '0 1 21 1 ( ) 02 p t p t p t x t v t dt
µµ µ µ + − + + − =
.
Thu gọn
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
'
0 0 12 1C
x t x t
p t p t p t v t dt
t t
µ µ
µ
∂ − ∂ − − − + ∂ ∂
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )" '0 1 21 1 ( ) 02C p t p t p t x t v t dt
µµ µ µ + − + + − = ∫
. (1.5)
Trong (1.5) ta tìm µ thỏa
( ) ( ) ( ) ( )" '0 1 21 1 02 p t p t p tµ µ µ− + + =
( ) ( )1 2 1 0n nµ µ µ− − − + + =
( )2 1 0n nµ µ− − + + = . (1.6)
( )1
n
n
µ
µ
=
= − +
Khi ñó (1.5) tương ñương
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 '0 0 12 1 0C x t x tp t v t p t p t v t dtt t
µ µ
µ
∂ − ∂ − − − + = ∂ ∂
∫ (1.7)
Tích phân từng phần (1.7) ta ñược
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 '0 0 11
C
p t v tx t
p t v t p t p t v t x t
t t
µ
µµ
∂∂ −
− + − + − ∂ ∂
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )'2 0 10 2 1 0
C
p t p t v tp t v t
x t dt
t t
µµ ∂ − +∂ + + − = ∂ ∂
∫ . (1.8)
Trong (1.8) ta tìm ( )v t thỏa
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 '0 11 0p t v t p t p t v tt µ
∂
+ − + = ∂
. (1.9)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )' '0 0 1 0p t v t p t p t v tµ + + =
13
( ) ( ) ( )( ) ( )
'
' 0 1
0
p t p t
v t v t
p t
µ +
= −
.
( ) ( )( )
( )
( )
'
0 1
0 0
exp
p t p t
v t A dt
p t p t
µ
= ⋅ − +
∫
( ) ( )210 2
0
( ) 2( ) exp 1 exp( ) 1
p t tA p t dt A t
p t t
µµ −−
= ⋅ − = ⋅ −
−
∫ ∫
( ) ( )( ) ( ) 12 2 21 exp ln 1 1A t t A tµ µ− − −= ⋅ − − − = ⋅ − .
Vậy
( ) ( ) 121v t A t µ− −= ⋅ − . (1.10)
Nếu µ thỏa (1.6), ( )v t thỏa (1.9) và chọn C sao cho
( ) ( ) ( )0 0
C
x t
p t v t
t
µ ∂ −
= ∂
và 1nµ = − − , thì
( ) ( ) ( )1 21 nn
C
y x A x t t dt− −= ⋅ − −∫ .
là nghiệm của phương trình (1.1).
Bây giờ chọn C là ñường tròn tâm x , bán kính
1
2 21x − ,
[ ){ }2: 1 , ,iC t t x x e ϕ ϕ pi pi= = + − ∈ − .
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2
1
1 12 2
1 1 2 1
1
1 1
n
i i
i
n
n i n
x x e x x e
y x A x e id
x e
ϕ ϕ
pi ϕ
pi ϕ
ϕ+
− + +
− − − − −
= −
− −
∫
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 2 2
1 2 cos 2cos 2 1
1 1
n
n in
n
n in
e x x x
A id
x e
ϕ
pi
pi ϕ
ϕ ϕ
ϕ
− +
− − + −
=
− −
∫
( )
( )
2 22
2 2
2 1 1cos
1
n n
n
n
x x x
A id
x
pi
pi
ϕ
ϕ
−
− + −
=
− −
∫
14
22 1cos
n
n iA x x d
pi
pi
ϕ ϕ
−
= − + −
∫ . (1.11)
Mặt khác
( ) ( )( )
( ) ( )12 2
1
1 11
2 .lim
!
n nn n
n nC t x
t d t
y x A dt A i
n dtx t
pi
+
+ →
− −
−
= =
−
∫
( )2 12
!
n
n
n
d xiA
n dx
pi −
= − (1.12)
( ) ( ) ( )2 11
2 !
n
n
n n n
d x
y x P x
n dx
−
= = ⋅ (1.13)
Từ (1.12)- (1.13) suy ra
1
2 2n
A
ipi
−
= .
Thế vào (1.11) thì nghiệm của phương trình là
( ) 2 2
0
1 11cos 1cos
2
n n
y x x x d x x d
pi pi
pi
ϕ ϕ ϕ ϕ
pi pi−
= + − = + −
∫ ∫ .
Vậy dạng tích phân của ( )nP x là
( ) 2
0
1 1cos , .
n
nP x x x d n
pi ϕ ϕ
pi
= + − ∈
∫ ℕ
1.2.2. ða thức Muntz .
Cho ( )i iα ∈ℕ là một dãy các số thực rời nhau từng ñôi một. Ta ñịnh nghĩa ña thức
Muntz (hệ số thực) thứ m xác ñịnh trên ( )0,∞ như sau
1
0
1 2 1( )
2
tm
m k
m C k k m
t x
x dt
i t t
α α
pi α α
−
=
+ + +
= ⋅
− −
∏∫L .
Trong ñó C là một ñường cong ñóng, ñơn, ñịnh hướng dương và bao các cực
ñiểm.
Mệnh ñề 1.6
Giả sử ( )i iα ∈ℕ rời nhau từng ñôi một thì
15
( )
0
( ) ; 0,k
m
m mk
k
x x x
α
=
= ∈ ∞∑L C , (1.14)
với
1
0
0,
( 1)
1 2
( )
m
k rr
mk m m
k rr r k
α α
α
α α
−
=
= ≠
+ +
= +
−
∏
∏C .
Chứng minh
Nhắc lại
Thặng dư: Giả sử a là một ñiểm bất thường cô lập của hàm giải tích ( )f z và C
là một ñường cong Jordan kín trơn từng khúc xác ñịnh dương, giới hạn một miền D
chứa a . ( )f z giải tích trong D trừ a . Khi ñó thặng dư của ( )f z tại a là
[ ] 1Re ( ), ( )
2 C
s f z a f z dz
ipi
= ∫ .
ðịnh lý thặng dư: Nếu ( )f z giải tích trong miền kín D giới hạn bởi ñường cong
C trừ một số ñiểm bất thường cô lập 1 2, ,..., na a a nằm trong D thì
[ ]
1
( ) 2 Re ( ),
n
kC k
f z dz i s f z api
=
= ∑∫ (1.15)
Áp dụng (1.15) với
1
0
1 2 1( )
2
tm
m r
r r m
t xf z
i t t
α α
pi α α
−
=
+ + +
= ⋅
− −
∏ và n ñiểm bất thường 1 2, ,..., ma a a .
ta suy ra ñược (1.14).
ðịnh lý 1.7. (về tính trực chuẩn)
Cho ( )i iα ∈ℕ là một dãy các số thực rời nhau từng ñôi một và 1 ,2i iα > − ∀ ∈ℕ thì
1
0
( ) ( )m n mnx x dx δ=∫L L ,
trong ñó ,m n ∈ℕ , và 1 ,
0,mn
m n
m n
δ ==
≠
là hằng số Kroneker.
16
Chứng minh
Từ giả thiết 1
2i
α > − ta có thể chọn ñược một ñường cong ñơn, ñóng C nằm
trong nửa mặt phẳng có phần thực lớn hơn 1
2
− , tiếp xúc với ñường thẳng
1Re( )
2
z = − và bao 1n + cực ñiểm.
Khi t C∈ thì Re( ) 1kt α+ > − nên
1
0
1
,
1
nt
n
x dx n
t
α
α
+
= ∀ ∈
+ +∫ ℕ .
Theo ñịnh lý Fubini ta có
11 1
0 0
0
1 2 1( )
2
n n
tm
m k
m C
k k m
t x
x x dx x dt dx
i t t
α α α α
pi α α
−
=
+ + +
= ⋅
− −
∏∫ ∫ ∫L
1 1
0
0
1 2 1 1
2
n
m
tm k
C
k k m
t dt x dx
i t t
αα α
pi α α
−
+
=
+ + +
= ⋅
− −
∏∫ ∫
( ) ( )
1
0
1 2 1 1
2 1
m
m k
C k k m n
t dt
i t t t
α α
pi α α α
−
=
+ + +
= ⋅
− − + +
∏∫
Tích phân sau cùng có thêm cực ñiểm mới ( )1mt α= − + nếu n m= . Còn nếu
n m< thì không có thêm cực ñiểm mới, do tử số chứa thừa số ( )1nt α+ + .
Xét { } 0,max 1i i mt R α == > + .Thì ñường tròn này bao tất cả các cực ñiểm kể cả
cực ñiểm mới . Khi ñó
( ) ( )
11
0
0
1 2 1 1( )
2 1
n
m
m k
m
k k m nt R
t
x x dx dt
i t t t
α α α
pi α α α
−
==
+ + +
= ⋅
− − + +
∏∫ ∫L
1
0 11 2
m
mn m k
k m km
δ α α
α αα
−
=
−
+
+ ++
∏
ðổi biến [ ), 0,2it Re ϕ ϕ pi= ∈ . Ta ñược
17
( ) ( )
2 11
0
00
1 2 1( )
2 1
n
i im
m k mn
m i i i
k k mmm n
R Re e d
x x dx
Re Re Re
pi ϕ ϕ
α
ϕ ϕ ϕ
α α ϕ δ
pi α α α
−
=
+ + +
= ⋅ +
− − + +
∏∫ ∫L C .
ðặt
( ) ( )( )
1
0
1 21
1
iim
mk
i i i
k k m n
ReReF
Re Re Re
ϕϕ
ϕ ϕ ϕ
ααϕ
α α α
−
=
++ +
= ⋅
− − + +
∏
Do R trên tử số có bậc nhỏ hơn mẫu số, nên
0RF →∞→
Áp dụng bất ñẳng thức tam giác
( )
( ) ( )
3 1
2 2
20
0
2 2 2
11 1 1
m mm
m
mm n kn kk
k
R R R RF
R R R
R R R
α αα α
+ +
+
=
=
≤ ≤
+ − − + − −
∏ ∏
1
2
0
2
1 1
1 1
m
mn k
k
n k
R
α α
α α
+
=
≤
− −
+ +
∏
1
2
0
2
1 1
1 1
m
m
k
n k
R
α α
+
=
≤
+ +
∏
( ) ( )
1
2
2
0
2 0,2
1 1
1 1
m
m
k
n k
g Lϕ pi
α α
+
=
≤ = ∈
+ +
∏
Theo ñịnh lý hội tụ bị chặn Lebesgue
( )( )
2 1
00
1 2 1 0
2 1
i im
Rm k
i i i
k k m n
R Re e d
Re Re Re
pi ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
α α ϕ
pi α α α
−
→∞
=
+ + +
⋅ →
− − + +
∏∫
Suy ra
1
0
( ) n mn
m
mm
x x dxα δ=∫ L C (1.16)
Trong phần chứng minh trên ta luôn...