cohangxen_sunflower
New Member
Download Chuyên đề Bất đẳng thức hình học
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU . 1
PHẦN I:BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG . 3
BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP KÉO THEO. 3
BÀI 2: SỬDỤNG HỆTHỨC LƯỢNG . 16
BÀI 3: SỬDỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG . 28
BÀI 4: PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐHÓA. 32
BÀI 5: SỬ DỤNG CÁC ĐỊNH LÍ, ĐỊNH NGHĨA VỀ CÁC ĐƯỜNG THẲNG,
ĐƯỜNG TRÒN . 36
PHẦN II:BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN. 56
CHƯƠNG I:TỨDIỆN . 56
BÀI 1: ƯỚC LƯỢNG HÌNH HỌC .56
BÀI 2: CÁC ĐỊNH LÍ VÀ CÁC BÀI TOÁN VỀGÓC TAM DIỆN, BẤT ĐẲNG THỨC VỀ
TỨDIỆN .62
CHƯƠNG II:THIẾT DIỆN . 80
CHƯƠNG III
HƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHUNG TRONG CÁC BÀI BẤT
ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN. 84
BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC.84
BÀI 2: PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VÀ MẶT .90
BÀI 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ .92
BÀI 4: CỰC TRỊHÌNH HỌC . 99
BÀI 5: PHƯƠNG PHÁP VECTO . 108
PHẦN III: CÁC VẤN ĐỀNGOÀI LỀ . 110
HÌNH HỌC HÓA CÁC BÀI BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ .110
BÀI TOÁN ĐẲNG CHU . 114
POLYTOPE 4 CHIỀU . 120
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SƯU TẦM.127
HÌNH HỌC HAY ĐẠI SỐ?.137
TÀI LIỆU THAM KHẢO. 145
++ Ai muốn tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho!
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2T a h a x b h b y c h c z= + + + + +
Đạt giá trị nhỏ nhất.
Sử dụng bất đẳng thức Minkowski, ta được
2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 4 4 2T ah bh ch ax by cz p h s p h s≥ + + + + + = + = +
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5
61
ax by cz
ah bh ch
= =
Tức là x = y = z; khi đó T đạt giá trị nhỏ nhất
( ) ( )2 22 2 2 2min 2T a b c h ax by cz p h s= + + + + + = +
Với p là nửa chu vi tam giác ABC.
Tóm lại ta có kết luận:
Trong tất cả các tứ diện OABC có cùng thể tích V, và có cùng đáy ABC cho trước tứ diện
có diện tích toàn phần nhỏ nhất là tứ diện có chân H là đường cao OH trùng với tâm nội
tiếp của tam giác ABC. Diện tích toàn phần nhỏ nhất ấy bằng 2 2 20S s p h s= + + trong
đó s, p là diện tích và nửa chu vi của tam giác ABC và
3
.
V
h OH
s
= =
Từ bài toán 2, ta chuyển sang
Bài toán 3: Trong các tứ diện có cùng thể tích V, và có cùng diện tích đáy s cho trước,
hãy xác định tứ diện có diện tích toàn phần nhỏ nhất.
Giải:
Bài toán 3 chỉ khác bài toán 2 ở chỗ: không đòi hỏi đáy ABC là cố định mà chỉ đòi hỏi
diện tích s của đáy ấy là cố định.
Với các kí hiệu của bài toán 7, ta có, như đã biết 3 3 .S s≥
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đáy ABC là một tam giác đều, và tứ diện là một hình
chóp tam giác đều.
Cuối cùng, ta hãy giải thích vì sao ta lại có bất đẳng thức (9), chúng ta có một bất đẳng
thức quen thuộc trong tam giác là 2 3 3p s≥ và từ bài toán 2, ta có
2 2 2 2 20 3 3tpS S s p h s s sh s= = + + ≥ + +
Nên ta chỉ cần chứng minh được
( ) 232 2 2 2 2
3
2 2
1
3 3 216 3 216 3 24 3
3
3 3 24 3
1 1
s sh s V hs s h
h h
s s
+ + ≥ = =
⇔ + + ≥
Đặt
2 3h
t
s
= thì ta cần chứng minh
( )31 3 1 24t t+ + ≥
Lại đặt một lần nữa 23 1 3 1u t t u= + ⇒ = − và ta chuyển bất đẳng thức thành
3 2 2(1 ) 8( 1) ( 3) ( 1) 0.u u u u+ ≥ − ⇔ − + ≥
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng nên ta có đpcm.
Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5
62
BÀI 2: CAÙC ÑÒNH LÍ VAØ BAØI TOAÙN VEÀ GOÙC TAM DIEÄN
BAÁT ÑAÚNG THÖÙC VEÀ TÖÙ DIEÄN
A- GOÙC TAM DIEÄN:
I-Caùc ñònh lí:
Ñònh lí 1:
Moãi goùc phaúng cuûa moät goùc tam dieän beù hôn toång hai goùc phaúng kia.
Chöùng minh:
Neáu taát caû caùc goùc phaú ng cuûa goùc tam dieän SABC ñeàu baèng nhau thì roõ raøng ñònh lí
ñuùng.
Giaû söû ASC BSC>
Trong nöûa maët phaúng ( ),CS A (töùc laø nöûa maët phaúng xaùc ñònh bôûi ñöôøng thaúng CS vaø
ñieåm A) döïng goùc CSD , baèng goùc CSB . Nhö vaäy, tia SD ôû giöõa goùc CSA . Giaû söû
ñöôøng thaúng AC caét tia SD ôû ñieåm D vaø giaû söû SB SD= . Deã daøng thaáy raèng nh ö vaäy
BC CD= . Vì AC AB BC< + , neân AD AB< .
So saùnh 2 tam giaùc ASD vaø ASB, ta nhaän thaáy ASD ASB<
Theâm vaøo hai veá cuûa baát ñaúng thöùc ñoù caùc goùc töông öùng baèng nhau CSD vaø CSD, ta
ñöôïc
ASC ASB CSB< +
ñoù laø ñieàu phaûi chöùng m inh.
Chuù yù: Ñònh lí veà goùc c uûa tam dieän t reân ñöô ïc tö ông töï töø baát ñaúng thöùc t rong tam giaùc.
Nhöng khoâng neân nghó raèng söïø töông töï giöõa caùc ña giaùc phaúng vaø goùc ña dieän laø hoaøn
toaøn: coù theå chæ ra nhöõng tính chaát cuûa ña giaùc phaúng khoâng chuyeån ñöôïc sang cho goùc
ña dieän; maët khaùc, coù th eå nhaän thaáy nhöõng t ính chaát cuûa goùc ña die än maø khoâng coù tính
chaát töông töï trong ña g iaùc phaúng. Coù theå xaùc n haän ñieàu ñoù baèng ví duï ñôn giaûn sau
ñaây:
Nhö ñaõ bieát, toång caùc g oùc cuûa moät ña giaùc phaú ng n caïnh baèng ( 2)npi − , cho neâ n toång
aáy chæ phuï thuoäc vaøo n, coøn toång cuûa caùc goùc ng oaøi cuûa ña giaùc thì kho ân g phuï thuoäc n
vaø baèng 2pi ( )( 2) 2n npi pi pi− − = . Coù nhöõng ví duï cho ta thaáy raèng nhöõng söï kieän ñoù
khoâng theå chuyeån sang caùc goùc ña dieän ñöôïc. Chaúng haïn, haõy xeùt goùc tam dieän Oxyz
taïo bôûi caùc tia α döông cuûa heä toïa ñoï ñeà-caùc vuoâng goùc trong khoâng gian. Caùc goùc nhò
dieän ñeàu vuoâng vaø coù toång baèng 3pi . Coâng thöùc veà toång caùc goùc trong maët phaúng
( 2)npi − khoâng coøn hieäu löïc nöõa.
Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5
63
Vd 1: Tia SC′ naèm beân tro ng goùc tam dieän SABC ñænh S. Chöùng minh raèn g toång caùc
goùc phaúng cuûa goùc tam dieän SABC lôùn hôn toång caùc goùc phaúng cuûa goùc tam
dieän SABC′ .
Giaûi:
Giaû söû K laø giao ñieåm cuûa maët SCB vaø ñöôøng th aúng AC′ . Xeùt hai goùc tam dieän SKBC′
vaø SACK, theo ñònh lí 2 ta coù:
( ) 1C SK KSB C SB′ ′+ >
vaø ( ) 2CSA CSK ASK ASC C SK′ ′+ > = +
Coäng (1) vaø (2) ta ñöôïc ( ) 3CSA CSK KSB ASC C SB′ ′+ + > +
Maø CSK KSB CSB+ = neân suy ra
CSA CSB ASB ASC C SB ASB′ ′+ + > + + (ñpcm)
Vd 2: Moät ñieåm O naèm treân ñaùy cuûa hình choùp t am giaùc SABC. Chöùng minh raèng toång
caùc goùc giöõ t ia SO vaø ca ùc caïnh beân nhoû hôn to ån g caùc goùc phaúng taï i ñæn h S vaø lôùn hôn
moät nöõa toång ñoù.
Giaûi:
Theo ñònh lí 2 vôùi go ùc t am dieän SABO ta coù ASB ASO BSO< + xaây döïng theâm hai baát
ñaúng thöùc töông töï ta ñö ôïc ( )1
2
ASO BSO CSO CSA BSA BSC+ + > + + .
Laïi vì tia SO naèm beân trong goùc tam dieän SA BC, neân ASO BSO CSA BSC+ < + (söû
duïng keát quaû (3) cuûa baøi toaùn ví duï 1). Töông töï ta ñöôïc
ASO BSO CSO CSA BSA BSC+ + < + +
Hay ( )1
2
CSA BSA BSC ASO BSO CSO CSA BSA BSC+ + > + + > + + . (ñpcm)
Ñònh lí 2:
Toång caùc goùc phaúng cuûa moät goùc ña dieän loài luoân beù hôn 2pi .
Chöùng minh: Tröôùc tie ân ta haõy xeùt goùc tam dieä n SABC. Giaû söû SA′ laø tia buø cuûa tia
SA. Theo ñònh lí 1 (aùp d uïng vaøo goùc tam dieän SA BC′ ):
BSC BSA A SC′ ′< +
töùc laø:
( ) ( )BSC BSA ASCpi pi< − + −
töø ñoù suy ra ngay:
2BSC CSA ASB pi+ + <
Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5
64
Ta xeùt goùc ña dieän loà i 1 2... nSA A A . Choïn hai maët caùch nhau moät cuûa goùc ña dieän laø
1i iSA A + vaø 2 3i iSA A+ + . Giaû söû SP laø giao t uyeán cuûa 2 maët ñoù, khi ñoù , tia naøy vaø goùc ña
dieän ñaõ cho naèm veà hai phía khaùc nhau cuûa maët phaúng 1i iSA A + .
Vì 1 2 1 1 i i i iA SA A SP A SP+ + + +< +
neân toång caùc goùc phaúng cuûa n-dieän ñaõ cho beù hôn toång caùc goùc phaúng trong
( 1)-n − dieän: 1 2 3i i nSA A A PA A+… … . Neáu 1 3n − = thì ñònh lí ñaõ ñöôïc chöùng minh. N eáu
4n > thì coù theå aùp duïng pheùp döïng t reân ña ây ñoái vôùi g oùc ( 1)-n − dieän coù ñöôïc, nhö vaä y,
soá maët cuûa noù g iaûm moät ñôn vò, ñoàng thôøi toång caùc goùc phaúng cuûa noù laïi taêng leân. Sau
höõu haïn pheùp döïng nhö theá, chuùng ta seõ ñöôïc moät goùc tam dieän, maø ñ oái vôùi moät goùc
tam dieän thì ñònh lí ñaõ ñ öôïc chöùng minh.
Chuù yù raèng: yeâu caàu goùc ña dieän phaûi loài laø quan troïng ñoái vôùi meänh ñeà noùi treân. Ta coù
theå thaáy raèng toång caùc goùc phaúng cuûa moät goùc ña dieän khoâng loài coù theå lôùn tuøy yù.
Ví duï 3: Moät ñöôøng cheù o cuûa hình hoäp chöõ nhaät taïo vôùi caùc caïnh cuûa noù caùc
goùc , ,α β γ . Chöùng minh raèng α β γ pi+ + < .
Giaûi:
Giaû söû O laø taâm hình hoäp chöõ nhaät 1 1 1 1.ABCD A B C D . Ñöôøng cao OH cuûa tam giaùc caân
AOC song song vôùi caïnh 1AA , vì vaäy 2AOC a= , ôû ñoù α laø goùc giöõ caïnh 1AA vaø ñöôøng
cheùo 1AC ...
Download Chuyên đề Bất đẳng thức hình học miễn phí
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU . 1
PHẦN I:BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG . 3
BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP KÉO THEO. 3
BÀI 2: SỬDỤNG HỆTHỨC LƯỢNG . 16
BÀI 3: SỬDỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG . 28
BÀI 4: PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐHÓA. 32
BÀI 5: SỬ DỤNG CÁC ĐỊNH LÍ, ĐỊNH NGHĨA VỀ CÁC ĐƯỜNG THẲNG,
ĐƯỜNG TRÒN . 36
PHẦN II:BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN. 56
CHƯƠNG I:TỨDIỆN . 56
BÀI 1: ƯỚC LƯỢNG HÌNH HỌC .56
BÀI 2: CÁC ĐỊNH LÍ VÀ CÁC BÀI TOÁN VỀGÓC TAM DIỆN, BẤT ĐẲNG THỨC VỀ
TỨDIỆN .62
CHƯƠNG II:THIẾT DIỆN . 80
CHƯƠNG III
HƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHUNG TRONG CÁC BÀI BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN. 84
BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC.84
BÀI 2: PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VÀ MẶT .90
BÀI 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ .92
BÀI 4: CỰC TRỊHÌNH HỌC . 99
BÀI 5: PHƯƠNG PHÁP VECTO . 108
PHẦN III: CÁC VẤN ĐỀNGOÀI LỀ . 110
HÌNH HỌC HÓA CÁC BÀI BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ .110
BÀI TOÁN ĐẲNG CHU . 114
POLYTOPE 4 CHIỀU . 120
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SƯU TẦM.127
HÌNH HỌC HAY ĐẠI SỐ?.137
TÀI LIỆU THAM KHẢO. 145
++ Ai muốn tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho!
Tóm tắt nội dung:
xác định x, y, z thoả điều kiện (10), sao cho biểu thức2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2T a h a x b h b y c h c z= + + + + +
Đạt giá trị nhỏ nhất.
Sử dụng bất đẳng thức Minkowski, ta được
2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 4 4 2T ah bh ch ax by cz p h s p h s≥ + + + + + = + = +
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5
61
ax by cz
ah bh ch
= =
Tức là x = y = z; khi đó T đạt giá trị nhỏ nhất
( ) ( )2 22 2 2 2min 2T a b c h ax by cz p h s= + + + + + = +
Với p là nửa chu vi tam giác ABC.
Tóm lại ta có kết luận:
Trong tất cả các tứ diện OABC có cùng thể tích V, và có cùng đáy ABC cho trước tứ diện
có diện tích toàn phần nhỏ nhất là tứ diện có chân H là đường cao OH trùng với tâm nội
tiếp của tam giác ABC. Diện tích toàn phần nhỏ nhất ấy bằng 2 2 20S s p h s= + + trong
đó s, p là diện tích và nửa chu vi của tam giác ABC và
3
.
V
h OH
s
= =
Từ bài toán 2, ta chuyển sang
Bài toán 3: Trong các tứ diện có cùng thể tích V, và có cùng diện tích đáy s cho trước,
hãy xác định tứ diện có diện tích toàn phần nhỏ nhất.
Giải:
Bài toán 3 chỉ khác bài toán 2 ở chỗ: không đòi hỏi đáy ABC là cố định mà chỉ đòi hỏi
diện tích s của đáy ấy là cố định.
Với các kí hiệu của bài toán 7, ta có, như đã biết 3 3 .S s≥
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đáy ABC là một tam giác đều, và tứ diện là một hình
chóp tam giác đều.
Cuối cùng, ta hãy giải thích vì sao ta lại có bất đẳng thức (9), chúng ta có một bất đẳng
thức quen thuộc trong tam giác là 2 3 3p s≥ và từ bài toán 2, ta có
2 2 2 2 20 3 3tpS S s p h s s sh s= = + + ≥ + +
Nên ta chỉ cần chứng minh được
( ) 232 2 2 2 2
3
2 2
1
3 3 216 3 216 3 24 3
3
3 3 24 3
1 1
s sh s V hs s h
h h
s s
+ + ≥ = =
⇔ + + ≥
Đặt
2 3h
t
s
= thì ta cần chứng minh
( )31 3 1 24t t+ + ≥
Lại đặt một lần nữa 23 1 3 1u t t u= + ⇒ = − và ta chuyển bất đẳng thức thành
3 2 2(1 ) 8( 1) ( 3) ( 1) 0.u u u u+ ≥ − ⇔ − + ≥
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng nên ta có đpcm.
Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5
62
BÀI 2: CAÙC ÑÒNH LÍ VAØ BAØI TOAÙN VEÀ GOÙC TAM DIEÄN
BAÁT ÑAÚNG THÖÙC VEÀ TÖÙ DIEÄN
A- GOÙC TAM DIEÄN:
I-Caùc ñònh lí:
Ñònh lí 1:
Moãi goùc phaúng cuûa moät goùc tam dieän beù hôn toång hai goùc phaúng kia.
Chöùng minh:
Neáu taát caû caùc goùc phaú ng cuûa goùc tam dieän SABC ñeàu baèng nhau thì roõ raøng ñònh lí
ñuùng.
Giaû söû ASC BSC>
Trong nöûa maët phaúng ( ),CS A (töùc laø nöûa maët phaúng xaùc ñònh bôûi ñöôøng thaúng CS vaø
ñieåm A) döïng goùc CSD , baèng goùc CSB . Nhö vaäy, tia SD ôû giöõa goùc CSA . Giaû söû
ñöôøng thaúng AC caét tia SD ôû ñieåm D vaø giaû söû SB SD= . Deã daøng thaáy raèng nh ö vaäy
BC CD= . Vì AC AB BC< + , neân AD AB< .
So saùnh 2 tam giaùc ASD vaø ASB, ta nhaän thaáy ASD ASB<
Theâm vaøo hai veá cuûa baát ñaúng thöùc ñoù caùc goùc töông öùng baèng nhau CSD vaø CSD, ta
ñöôïc
ASC ASB CSB< +
ñoù laø ñieàu phaûi chöùng m inh.
Chuù yù: Ñònh lí veà goùc c uûa tam dieän t reân ñöô ïc tö ông töï töø baát ñaúng thöùc t rong tam giaùc.
Nhöng khoâng neân nghó raèng söïø töông töï giöõa caùc ña giaùc phaúng vaø goùc ña dieän laø hoaøn
toaøn: coù theå chæ ra nhöõng tính chaát cuûa ña giaùc phaúng khoâng chuyeån ñöôïc sang cho goùc
ña dieän; maët khaùc, coù th eå nhaän thaáy nhöõng t ính chaát cuûa goùc ña die än maø khoâng coù tính
chaát töông töï trong ña g iaùc phaúng. Coù theå xaùc n haän ñieàu ñoù baèng ví duï ñôn giaûn sau
ñaây:
Nhö ñaõ bieát, toång caùc g oùc cuûa moät ña giaùc phaú ng n caïnh baèng ( 2)npi − , cho neâ n toång
aáy chæ phuï thuoäc vaøo n, coøn toång cuûa caùc goùc ng oaøi cuûa ña giaùc thì kho ân g phuï thuoäc n
vaø baèng 2pi ( )( 2) 2n npi pi pi− − = . Coù nhöõng ví duï cho ta thaáy raèng nhöõng söï kieän ñoù
khoâng theå chuyeån sang caùc goùc ña dieän ñöôïc. Chaúng haïn, haõy xeùt goùc tam dieän Oxyz
taïo bôûi caùc tia α döông cuûa heä toïa ñoï ñeà-caùc vuoâng goùc trong khoâng gian. Caùc goùc nhò
dieän ñeàu vuoâng vaø coù toång baèng 3pi . Coâng thöùc veà toång caùc goùc trong maët phaúng
( 2)npi − khoâng coøn hieäu löïc nöõa.
Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5
63
Vd 1: Tia SC′ naèm beân tro ng goùc tam dieän SABC ñænh S. Chöùng minh raèn g toång caùc
goùc phaúng cuûa goùc tam dieän SABC lôùn hôn toång caùc goùc phaúng cuûa goùc tam
dieän SABC′ .
Giaûi:
Giaû söû K laø giao ñieåm cuûa maët SCB vaø ñöôøng th aúng AC′ . Xeùt hai goùc tam dieän SKBC′
vaø SACK, theo ñònh lí 2 ta coù:
( ) 1C SK KSB C SB′ ′+ >
vaø ( ) 2CSA CSK ASK ASC C SK′ ′+ > = +
Coäng (1) vaø (2) ta ñöôïc ( ) 3CSA CSK KSB ASC C SB′ ′+ + > +
Maø CSK KSB CSB+ = neân suy ra
CSA CSB ASB ASC C SB ASB′ ′+ + > + + (ñpcm)
Vd 2: Moät ñieåm O naèm treân ñaùy cuûa hình choùp t am giaùc SABC. Chöùng minh raèng toång
caùc goùc giöõ t ia SO vaø ca ùc caïnh beân nhoû hôn to ån g caùc goùc phaúng taï i ñæn h S vaø lôùn hôn
moät nöõa toång ñoù.
Giaûi:
Theo ñònh lí 2 vôùi go ùc t am dieän SABO ta coù ASB ASO BSO< + xaây döïng theâm hai baát
ñaúng thöùc töông töï ta ñö ôïc ( )1
2
ASO BSO CSO CSA BSA BSC+ + > + + .
Laïi vì tia SO naèm beân trong goùc tam dieän SA BC, neân ASO BSO CSA BSC+ < + (söû
duïng keát quaû (3) cuûa baøi toaùn ví duï 1). Töông töï ta ñöôïc
ASO BSO CSO CSA BSA BSC+ + < + +
Hay ( )1
2
CSA BSA BSC ASO BSO CSO CSA BSA BSC+ + > + + > + + . (ñpcm)
Ñònh lí 2:
Toång caùc goùc phaúng cuûa moät goùc ña dieän loài luoân beù hôn 2pi .
Chöùng minh: Tröôùc tie ân ta haõy xeùt goùc tam dieä n SABC. Giaû söû SA′ laø tia buø cuûa tia
SA. Theo ñònh lí 1 (aùp d uïng vaøo goùc tam dieän SA BC′ ):
BSC BSA A SC′ ′< +
töùc laø:
( ) ( )BSC BSA ASCpi pi< − + −
töø ñoù suy ra ngay:
2BSC CSA ASB pi+ + <
Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5
64
Ta xeùt goùc ña dieän loà i 1 2... nSA A A . Choïn hai maët caùch nhau moät cuûa goùc ña dieän laø
1i iSA A + vaø 2 3i iSA A+ + . Giaû söû SP laø giao t uyeán cuûa 2 maët ñoù, khi ñoù , tia naøy vaø goùc ña
dieän ñaõ cho naèm veà hai phía khaùc nhau cuûa maët phaúng 1i iSA A + .
Vì 1 2 1 1 i i i iA SA A SP A SP+ + + +< +
neân toång caùc goùc phaúng cuûa n-dieän ñaõ cho beù hôn toång caùc goùc phaúng trong
( 1)-n − dieän: 1 2 3i i nSA A A PA A+… … . Neáu 1 3n − = thì ñònh lí ñaõ ñöôïc chöùng minh. N eáu
4n > thì coù theå aùp duïng pheùp döïng t reân ña ây ñoái vôùi g oùc ( 1)-n − dieän coù ñöôïc, nhö vaä y,
soá maët cuûa noù g iaûm moät ñôn vò, ñoàng thôøi toång caùc goùc phaúng cuûa noù laïi taêng leân. Sau
höõu haïn pheùp döïng nhö theá, chuùng ta seõ ñöôïc moät goùc tam dieän, maø ñ oái vôùi moät goùc
tam dieän thì ñònh lí ñaõ ñ öôïc chöùng minh.
Chuù yù raèng: yeâu caàu goùc ña dieän phaûi loài laø quan troïng ñoái vôùi meänh ñeà noùi treân. Ta coù
theå thaáy raèng toång caùc goùc phaúng cuûa moät goùc ña dieän khoâng loài coù theå lôùn tuøy yù.
Ví duï 3: Moät ñöôøng cheù o cuûa hình hoäp chöõ nhaät taïo vôùi caùc caïnh cuûa noù caùc
goùc , ,α β γ . Chöùng minh raèng α β γ pi+ + < .
Giaûi:
Giaû söû O laø taâm hình hoäp chöõ nhaät 1 1 1 1.ABCD A B C D . Ñöôøng cao OH cuûa tam giaùc caân
AOC song song vôùi caïnh 1AA , vì vaäy 2AOC a= , ôû ñoù α laø goùc giöõ caïnh 1AA vaø ñöôøng
cheùo 1AC ...