Link tải luận văn miễn phí cho ae Kết Nối
A.Tóm tắt các kiến thức cơ bản :
I/ Định nghĩa: Cho m là số nguyên dương. Hai số nguyên a và b được gọi đồng
với nhau theo module m, nếu a - b chia hết cho m (a - b)| m hay m\(a - b)
Ký hiệu: a ≡ b (mod m) được gọi là một đồng dư thức.
Ví dụ: 3 ≡ - 1 (mod 4)
5 ≡ 17 (mod 6)
18 ≡ 0 (mod 6)
Điều kiện a ≡ 0 (mod m) có nghĩa là bội của a m (a | m) hay m là ước của a
(m\ a).
Nếu a - b không chia hết cho m, ta viết a ≡ b (mod m)
II/ Các tính chất cơ bản:
1) Với mọi số nguyên a, ta có a ≡ a (mod m)
2) a ≡ b (mod m) => b ≡ a (mod m)
3) a ≡ b (mod m) và b ≡ c (mod m) => a ≡ c (mod m)
*Chứng minh: Ta có : a ≡ b (mod m) => a - b m (m \ (a - b)
và b ≡ c (mod m) => b - c m (m \ (b - c)
Vì a - c = (a - b) + (b - c) => a - c m (tính chất chia hết của tổng) hay
a ≡ c (mod m).
4) ) a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) => a + c ≡ b + d (mod m)
*Chứng minh :
Ta có : a ≡ b (mod m) => a - b m => a - b = m.q1 (với q1 Z) (1)
c ≡ d (mod m) => c - d m => c - d = m.q2 (với q2 Z) (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được : (a - b) + (c - d) = m.(q1 + q2)
<=> (a + c) - (b + d) = m.(q1 + q2) => (a + c) - (b + d) m
Hay a + c ≡ b + d (mod m)
Hệ quả : a1 ≡ b1 (mod m) , a2 ≡ b2 (mod m) , ... , an ≡ bn (mod m)
=> a1 + a2 + a3 + ... + an ≡ b1 + b2 + b3 + ... + bn(mod m)
5) a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) => a.c ≡ b.d (mod m)
*Chứng minh :
Ta có : a - b = m.q1 = > a = b + m.q1 (với q1 Z) (1)
c - d = m.q2 => c = d + m.q2 (với q2 Z) (2)
Nhân (1) và (2) vế theo vế ta được : a.c = (b + m.q1)(d + m.q2)
ac = bd + bmq2 + dmq1 + m2q1q2 <=> ac - bd = m(bq2 + dq1 + mq1q2)
=> ac - bd m => ac ≡ bd (mod m).
Hệ quả : a) a1 ≡ b1 (mod m) , a2 ≡ b2 (mod m) , ... , an ≡ bn (mod m)
=> a1.a2.a3. ... .an ≡ b1.b2.b3. ... .bn(mod m)
b) a ≡ b (mod m) => an ≡ bn (mod m) - với mọi n N
d) 22009 = 22008.2 = (24)502.2 = 16502.2 = ( … 6).2 = … 2 có chữ số tận cùng là 2
Ví dụ 2 : Tìm chữ số tận cùng của các số sau :
a) 421 , b) 3103 , c) 84n + 1 (n N) d) 1423 + 2323 + 7023
Giải :
a) 430 = 42.15 = (42)15 = 1615 = …6 có chữ số tận cùng là 6
421 = 420 + 1 = (42)10.4 = 1610.4 = (…6).4 = … 4 có chữ số tận cùng là 4
Nhận xét : Số nào có số tận cùng là 4 thì khi nâng lên luỹ thừa với số mũ tự
nhiên chẵn thì có số tận cùng là 6, khi nâng lên với số mũ tự nhiên lẻ có số tận cùng là
4)
b) 3103 = 3102.3 = (32)51.3 = 951.3 = (… 9).3 = … 7 có chữ số tận cùng là 7
c) 84n + 1 = 84n.8 = (23)4n.8 = 212n.8 = (24)3n.8 = 163n.8 = (…6).8 = …. 8 có chữ số tận
cùng là 8
d) 1423 = 1422.14 = (… 6).14 = …. 4
2323 = 2322.23 = (232)11.23 = ( … 9).23 = …7
7023 = … 0
Vậy : 1423 + 2323 + 7023 = … 4 + … 7 + … 0 = … 1 có chữ số tận cùng là 1
b)Tìm hai số tận cùng của số an :
Ta có nhận xét sau :
220 ≡ 76 (mod 100)
320 ≡ 01 (mod 100)
65 ≡ 76 (mod 100)
74 ≡ 01 (mod 100)
Mà 76n ≡ 76 (mod 100) với n ≥ 1
5n ≡ 25 (mod 100) với n ≥ 2
Suy ra kết quả sau với k là số tự nhiên khác 0.
a20k ≡ 00 (mod 100) nếu a ≡ 0 (mod 10)
a20k ≡ 01 (mod 100) nếu a ≡ 1; 3; 7; 9 (mod 10)
a20k ≡ 25 (mod 100) nếu a ≡ 5 (mod 10)
a20k ≡ 76 (mod 100 nếu a ≡ 2; 4; 6; 8 (mod 10)
Vậy để tìm hai chữ số tận cùng của an, ta lấy số mũ n chia cho 20
Bài 1 : Tìm hai chữ số tân cùng của 22003
Giải :
Ta có : 220 ≡ 76 (mod 100) => 220k ≡ 76 (mod 100)
Do đó : 22003 = 23.(220)100 = 8.(220)100 = ( … 76).8 = …08
Vậy 22003 có hai chữ số tận cùng là 08.
Bài 2 : Tìm hai chữ số tận cùng của B =
9
9
79
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
A.Tóm tắt các kiến thức cơ bản :
I/ Định nghĩa: Cho m là số nguyên dương. Hai số nguyên a và b được gọi đồng
với nhau theo module m, nếu a - b chia hết cho m (a - b)| m hay m\(a - b)
Ký hiệu: a ≡ b (mod m) được gọi là một đồng dư thức.
Ví dụ: 3 ≡ - 1 (mod 4)
5 ≡ 17 (mod 6)
18 ≡ 0 (mod 6)
Điều kiện a ≡ 0 (mod m) có nghĩa là bội của a m (a | m) hay m là ước của a
(m\ a).
Nếu a - b không chia hết cho m, ta viết a ≡ b (mod m)
II/ Các tính chất cơ bản:
1) Với mọi số nguyên a, ta có a ≡ a (mod m)
2) a ≡ b (mod m) => b ≡ a (mod m)
3) a ≡ b (mod m) và b ≡ c (mod m) => a ≡ c (mod m)
*Chứng minh: Ta có : a ≡ b (mod m) => a - b m (m \ (a - b)
và b ≡ c (mod m) => b - c m (m \ (b - c)
Vì a - c = (a - b) + (b - c) => a - c m (tính chất chia hết của tổng) hay
a ≡ c (mod m).
4) ) a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) => a + c ≡ b + d (mod m)
*Chứng minh :
Ta có : a ≡ b (mod m) => a - b m => a - b = m.q1 (với q1 Z) (1)
c ≡ d (mod m) => c - d m => c - d = m.q2 (với q2 Z) (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được : (a - b) + (c - d) = m.(q1 + q2)
<=> (a + c) - (b + d) = m.(q1 + q2) => (a + c) - (b + d) m
Hay a + c ≡ b + d (mod m)
Hệ quả : a1 ≡ b1 (mod m) , a2 ≡ b2 (mod m) , ... , an ≡ bn (mod m)
=> a1 + a2 + a3 + ... + an ≡ b1 + b2 + b3 + ... + bn(mod m)
5) a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) => a.c ≡ b.d (mod m)
*Chứng minh :
Ta có : a - b = m.q1 = > a = b + m.q1 (với q1 Z) (1)
c - d = m.q2 => c = d + m.q2 (với q2 Z) (2)
Nhân (1) và (2) vế theo vế ta được : a.c = (b + m.q1)(d + m.q2)
ac = bd + bmq2 + dmq1 + m2q1q2 <=> ac - bd = m(bq2 + dq1 + mq1q2)
=> ac - bd m => ac ≡ bd (mod m).
Hệ quả : a) a1 ≡ b1 (mod m) , a2 ≡ b2 (mod m) , ... , an ≡ bn (mod m)
=> a1.a2.a3. ... .an ≡ b1.b2.b3. ... .bn(mod m)
b) a ≡ b (mod m) => an ≡ bn (mod m) - với mọi n N
d) 22009 = 22008.2 = (24)502.2 = 16502.2 = ( … 6).2 = … 2 có chữ số tận cùng là 2
Ví dụ 2 : Tìm chữ số tận cùng của các số sau :
a) 421 , b) 3103 , c) 84n + 1 (n N) d) 1423 + 2323 + 7023
Giải :
a) 430 = 42.15 = (42)15 = 1615 = …6 có chữ số tận cùng là 6
421 = 420 + 1 = (42)10.4 = 1610.4 = (…6).4 = … 4 có chữ số tận cùng là 4
Nhận xét : Số nào có số tận cùng là 4 thì khi nâng lên luỹ thừa với số mũ tự
nhiên chẵn thì có số tận cùng là 6, khi nâng lên với số mũ tự nhiên lẻ có số tận cùng là
4)
b) 3103 = 3102.3 = (32)51.3 = 951.3 = (… 9).3 = … 7 có chữ số tận cùng là 7
c) 84n + 1 = 84n.8 = (23)4n.8 = 212n.8 = (24)3n.8 = 163n.8 = (…6).8 = …. 8 có chữ số tận
cùng là 8
d) 1423 = 1422.14 = (… 6).14 = …. 4
2323 = 2322.23 = (232)11.23 = ( … 9).23 = …7
7023 = … 0
Vậy : 1423 + 2323 + 7023 = … 4 + … 7 + … 0 = … 1 có chữ số tận cùng là 1
b)Tìm hai số tận cùng của số an :
Ta có nhận xét sau :
220 ≡ 76 (mod 100)
320 ≡ 01 (mod 100)
65 ≡ 76 (mod 100)
74 ≡ 01 (mod 100)
Mà 76n ≡ 76 (mod 100) với n ≥ 1
5n ≡ 25 (mod 100) với n ≥ 2
Suy ra kết quả sau với k là số tự nhiên khác 0.
a20k ≡ 00 (mod 100) nếu a ≡ 0 (mod 10)
a20k ≡ 01 (mod 100) nếu a ≡ 1; 3; 7; 9 (mod 10)
a20k ≡ 25 (mod 100) nếu a ≡ 5 (mod 10)
a20k ≡ 76 (mod 100 nếu a ≡ 2; 4; 6; 8 (mod 10)
Vậy để tìm hai chữ số tận cùng của an, ta lấy số mũ n chia cho 20
Bài 1 : Tìm hai chữ số tân cùng của 22003
Giải :
Ta có : 220 ≡ 76 (mod 100) => 220k ≡ 76 (mod 100)
Do đó : 22003 = 23.(220)100 = 8.(220)100 = ( … 76).8 = …08
Vậy 22003 có hai chữ số tận cùng là 08.
Bài 2 : Tìm hai chữ số tận cùng của B =
9
9
79
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links