Link tải luận văn miễn phí cho ae Kết Nối
Lời nói đầu 5
Chương 1 Tập lồi trên không gian vec-tơ 7
1.1 Tập affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Nón và Quan hệ thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Định lí Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Định lí Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Điểm bọc, điểm dính tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Hàm cỡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 Định lí tách trong không gian vec-tơ . . . . . . . . . . . . 25
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Chương 2 Không gian tôpô lồi địa phương 31
2.1 Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Không gian vec-tơ tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Không gian tôpô lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Tôpô lồi địa phương phát triển nhất . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 Không gian tích - Phần bù tôpô . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.6 Sự liên tục của hàm cỡ - Nửa chuẩn . . . . . . . . . . . . . 50
Mục lục 3
2.7 Các tính chất tôpô của tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.8 Nón lùi xa của tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Chương 3 Không gian liên hợp 61
3.1 Phiếm hàm tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Định lí Tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3 Tôpô yếu trên X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4 Tôpô yếu* trên X
∗
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5 Cặp đối ngẫu tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.6 Trường hợp không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . 76
3.7 Nón liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Chương 4 Hàm lồi 87
4.1 Định nghĩa hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2 Các phép toán trên hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3 Hàm nửa liên tục dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4 Hàm lồi liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5 Biểu diễn hàm lồi theo hàm affine . . . . . . . . . . . . . . 101
4.6 Hàm tựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.7 Hàm liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.8 Hàm K−lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4 Mục lục
Chương 5 Dưới vi phân 115
5.1 Định nghĩa dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2 Mối liên hệ với khái niệm đạo hàm . . . . . . . . . . . . . 117
5.3 Các phép toán qua dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.4 Các định lí giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.5 Tính đơn điệu của dưới vi phân và gradient . . . . . . . . 135
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Chương 6 Các điều kiện tối ưu 139
6.1 Sự tồn tại nghiệm của hệ bất đẳng thức lồi . . . . . . . . . 139
6.2 Bài toán tối ưu - Các định lí tồn tại cơ bản . . . . . . . . . 145
6.3 Nón tiếp xúc và nón pháp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.4 Hướng chấp nhận được và hướng giảm . . . . . . . . . . . 158
6.5 Điều kiện tối ưu cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.6 Các điều kiện tối ưu điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . 163
6.7 Các điều kiện tối ưu dạng điểm dừng . . . . . . . . . . . . 168
6.8 Điều kiện tối ưu dạng điểm dừng suy rộng . . . . . . . . . 175
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Tài liệu tham khảo 179
Danh mục kí hiệu 179
Danh mục từ khoá 182
LỜI NÓI ĐẦU
Từ những công trình đầu tiên trên tập lồi của Minkowski, Helly
đến nay giải tích lồi đã trải qua gần tròn một thế kỷ hình thành và
phát triển, và hiện đã trở thành một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng
của toán học hiện đại, ở đó xuất hiện ngày càng nhiều các kết quả
đẹp mà có thể được sử dụng như các công cụ sắc bén trong việc khảo
cứu các lĩnh vực khác của toán học như phép tính biến phân, phương
trình đạo hàm riêng, lí thuyết xác suất và đặc biệt là lí thuyết tối ưu.
Những nhà toán học có nhiều đóng góp quan trọng vào lĩnh vực này
có thể kể đến F. Berstein, A. Brønsted, F. Browder, C. Carathéodory,
Ky Fan, W. Fenchel, D. Gale, E.G. Goldstein, B. Gr¨umbaum, P.C. Ham-
mer, E. Helly, R. Holmes, B. Jensen, P.J. Kelly, V.L. Klee, Đ.T. Lục,
H. Minkowski, J.J. Moreau, T.S. Motzkin, J P. Penot, B. Pshenichnyi,
R.T. Rockafellar, S.N. Robinson, E.G. Strauss, H. Tietze, A.W. Tucker,
Hoàng Tụy, F.A. Valentine, D.E. Varberg . . . Một điều thú vị là, mặc dù
rất gần gũi với một lĩnh vực khá trừu tượng là giải tích hàm, hầu hết các
kết quả sâu sắc trong giải tích lồi đều có liên quan hay phụ thuộc vào
đặc điểm hình học của tập lồi, nên thường được giải thích, minh họa một
cách sáng sủa. Cũng nhờ vậy, qua giải tích lồi, nhiều kết quả quan trọng
trong giải tích hàm đã được làm sáng tỏ một cách không ngờ. Giáo trình
này nhằm cung cấp cho độc giả những kết quả cơ bản nhất của giải tích
lồi, mà đã trở thành kinh điển của giải tích hiện đại, thông qua sự sắp xếp
của tác giả dựa trên kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm cho sinh viên và
học viên cao học ngành toán. Mặc dù phần lớn các kết quả vẫn còn đúng
cho các không gian trên trường số phức, toàn bộ giáo trình này chỉ khảo
sát trên không gian vec-tơ và không gian lồi địa phương thực. Nội dung
6 Lời nói đầu
giáo trình gồm 6 chương. Chương Một trình bày các khái niệm và tính
chất của tập lồi trên không gian vec-tơ (không có tôpô) cùng các định lí
quan trọng như Định lí Carathéodory, Định lí Hanh-Banach và Định lí
Tách cơ bản. Chương Hai khảo sát các tính chất tôpô của tập lồi trong
không gian lồi địa phương. Chương Ba giới thiệu không gian liên hợp và
các định lí tách tập lồi. Các tôpô yếu và cặp đối ngẫu cũng được khảo
sát tỉ mỉ trong chương này. Chương Bốn trình bày khái niệm hàm lồi, các
kết quả cơ bản về tính liên tục, hàm liên hợp, hàm tựa và các phép toán
trên hàm lồi. Khái niệm dưới vi phân của hàm lồi cùng các phép toán
trên dưới vi phân được trình bày trong Chương Năm. Các định lí giá trị
trung bình và tính đơn điệu của dưới vi phân cũng được thiết lập trong
chương này. Chương cuối cùng dành để khảo sát các điều kiện tối ưu sử
dụng công cụ giải tích lồi. Tài liệu này được viết dành cho sinh viên, học
viên cao học ngành toán và cả những nhà nghiên cứu có sử dụng công
cụ giải tích lồi. Người đọc cần có các kiến thức đại số tuyến tính, tôpô
đại cương và một ít kiến thức giải tích hàm trước khi đọc giáo trình này.
Tuy vậy, để tài liệu mang tính độc lập tương đối, ngoại trừ các kết quả
cơ bản của tôpô đại cương ở đầu Chương Hai, hầu hết các kết quả nêu
trong giáo trình đều được chứng minh chi tiết. Để tạo điều kiện cho người
đọc củng cố kiến thức và tự mình khám phá sâu hơn, rãi rác trong từng
chương và cuối mỗi chương chúng tui có đưa thêm các bài tập, mà một số
trong chúng có thể được sử dụng lại như những bổ đề để chứng minh các
kết quả khác. Vì tính sư phạm, phần lớn các bài tập cho không gian vô
hạn chiều chỉ sử dụng các không gian l
p
. Người đọc có kiến thức tốt về lí
thuyết độ đo có thể dễ dàng phát biểu lại các bài tập này trên các không
gian L
p
(Ω) tương ứng và giải. Một số hình vẽ minh hoạ trong tài liệu cũng
nằm trong nỗ lực của chúng tui nhằm làm cho người đọc trực nhận vấn
đề nhanh hơn. Mặc dù đã cố gắng hết sức, tài liệu vẫn khó tránh khỏi các
thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được các ý kiến đóng góp từ quý đồng
nghiệp và các bạn.
Chương 1
Tập lồi
trên không gian vec-tơ
1.1 Tập affine
Cho X là một không gian vec-tơ trên trường số thực và x, y ∈ X, ta
kí hiệu L(x, y), [x, y], (x, y) và [x, y ) lần lượt là đường thẳng đi qua x, y,
đoạn thẳng, khoảng mở và nửa khoảng nối hai điểm x và y. Tức là
L(x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ R},
[x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]},
(x, y) = [x, y] \{x, y},
[x, y) = [x, y] \{y}.
Vậy, nếu x = y thì [x, y] = L(x, y) = {x}, còn [x, y) = (x, y] = (x, y) = ∅.
x
y
xx
x
y
x
y
L(x, y) [x, y] [x, y)
Hình 1.1. Đường thẳng, đoạn thẳng và nửa khoảng
8 1.1. Tập affine
Một tập con M của X được gọi là đa tạp affine, hay đơn giản là tập
affine, nếu với mọi cặp điểm x, y ∈ M ta có L(x, y) ⊆ M. Chẳng hạn
trong không gian ba chiều, tập hợp một điểm, đường thẳng, mặt phẳng
là các tập affine. Trong khi đó, hình cầu, hình đa giác nói chung không
phải là tập affine.
M
x
y
Hình 1.2. M là tập affine
Từ định nghĩa này ta có ngay tính chất sau:
Mệnh đề 1.1. Giao của một họ bất kì các tập affine là một tập affine.
Cho A ⊆ X là một tập con của X. Ta gọi bao affine của A, kí hiệu
aff A, là giao của tất cả các tập affine chứa A. Từ Mệnh đề 1.1, aff A là
tập affine và là tập affine bé nhất chứa A. Thật ra tập aff A có thể được
biểu diễn một cách tường minh hơn. Ta gọi vec-tơ có dạng
x =
m
i=1
λ
i
a
i
, với λ
i
∈ R, 1 ≤ i ≤ m, thoả mãn
m
i=1
λ
i
= 1,
là một tổ hợp affine của các vec-tơ {a
1
, . . . , a
m
}. Ta có kết quả cơ bản sau:
Mệnh đề 1.2.
a) Một tập affine thì chứa mọi tổ hợp affine của các vec-tơ của nó,
b) aff A = {x | x là tổ hợp affine của các vec-tơ thuộc A},
c) A là tập affine khi và chỉ khi A = aff A,
d) A là tập affine khi và chỉ khi với mọi a ∈ A, A − a là một không
gian con của X. Nói cách khác, A = a + V với V là một không gian con
của X. Hơn nữa, không gian V được xác định duy nhất bởi A.
Chương 1. Tập lồi trên không gian vec-tơ 9
Chứng minh. (c) được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của bao affine.
a) Giả sử A là tập affine. Với mọi a
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
Lời nói đầu 5
Chương 1 Tập lồi trên không gian vec-tơ 7
1.1 Tập affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Nón và Quan hệ thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Định lí Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Định lí Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Điểm bọc, điểm dính tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Hàm cỡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 Định lí tách trong không gian vec-tơ . . . . . . . . . . . . 25
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Chương 2 Không gian tôpô lồi địa phương 31
2.1 Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Không gian vec-tơ tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Không gian tôpô lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Tôpô lồi địa phương phát triển nhất . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 Không gian tích - Phần bù tôpô . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.6 Sự liên tục của hàm cỡ - Nửa chuẩn . . . . . . . . . . . . . 50
Mục lục 3
2.7 Các tính chất tôpô của tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.8 Nón lùi xa của tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Chương 3 Không gian liên hợp 61
3.1 Phiếm hàm tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Định lí Tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3 Tôpô yếu trên X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4 Tôpô yếu* trên X
∗
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5 Cặp đối ngẫu tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.6 Trường hợp không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . 76
3.7 Nón liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Chương 4 Hàm lồi 87
4.1 Định nghĩa hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2 Các phép toán trên hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3 Hàm nửa liên tục dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4 Hàm lồi liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5 Biểu diễn hàm lồi theo hàm affine . . . . . . . . . . . . . . 101
4.6 Hàm tựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.7 Hàm liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.8 Hàm K−lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4 Mục lục
Chương 5 Dưới vi phân 115
5.1 Định nghĩa dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2 Mối liên hệ với khái niệm đạo hàm . . . . . . . . . . . . . 117
5.3 Các phép toán qua dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.4 Các định lí giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.5 Tính đơn điệu của dưới vi phân và gradient . . . . . . . . 135
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Chương 6 Các điều kiện tối ưu 139
6.1 Sự tồn tại nghiệm của hệ bất đẳng thức lồi . . . . . . . . . 139
6.2 Bài toán tối ưu - Các định lí tồn tại cơ bản . . . . . . . . . 145
6.3 Nón tiếp xúc và nón pháp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.4 Hướng chấp nhận được và hướng giảm . . . . . . . . . . . 158
6.5 Điều kiện tối ưu cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.6 Các điều kiện tối ưu điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . 163
6.7 Các điều kiện tối ưu dạng điểm dừng . . . . . . . . . . . . 168
6.8 Điều kiện tối ưu dạng điểm dừng suy rộng . . . . . . . . . 175
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Tài liệu tham khảo 179
Danh mục kí hiệu 179
Danh mục từ khoá 182
LỜI NÓI ĐẦU
Từ những công trình đầu tiên trên tập lồi của Minkowski, Helly
đến nay giải tích lồi đã trải qua gần tròn một thế kỷ hình thành và
phát triển, và hiện đã trở thành một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng
của toán học hiện đại, ở đó xuất hiện ngày càng nhiều các kết quả
đẹp mà có thể được sử dụng như các công cụ sắc bén trong việc khảo
cứu các lĩnh vực khác của toán học như phép tính biến phân, phương
trình đạo hàm riêng, lí thuyết xác suất và đặc biệt là lí thuyết tối ưu.
Những nhà toán học có nhiều đóng góp quan trọng vào lĩnh vực này
có thể kể đến F. Berstein, A. Brønsted, F. Browder, C. Carathéodory,
Ky Fan, W. Fenchel, D. Gale, E.G. Goldstein, B. Gr¨umbaum, P.C. Ham-
mer, E. Helly, R. Holmes, B. Jensen, P.J. Kelly, V.L. Klee, Đ.T. Lục,
H. Minkowski, J.J. Moreau, T.S. Motzkin, J P. Penot, B. Pshenichnyi,
R.T. Rockafellar, S.N. Robinson, E.G. Strauss, H. Tietze, A.W. Tucker,
Hoàng Tụy, F.A. Valentine, D.E. Varberg . . . Một điều thú vị là, mặc dù
rất gần gũi với một lĩnh vực khá trừu tượng là giải tích hàm, hầu hết các
kết quả sâu sắc trong giải tích lồi đều có liên quan hay phụ thuộc vào
đặc điểm hình học của tập lồi, nên thường được giải thích, minh họa một
cách sáng sủa. Cũng nhờ vậy, qua giải tích lồi, nhiều kết quả quan trọng
trong giải tích hàm đã được làm sáng tỏ một cách không ngờ. Giáo trình
này nhằm cung cấp cho độc giả những kết quả cơ bản nhất của giải tích
lồi, mà đã trở thành kinh điển của giải tích hiện đại, thông qua sự sắp xếp
của tác giả dựa trên kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm cho sinh viên và
học viên cao học ngành toán. Mặc dù phần lớn các kết quả vẫn còn đúng
cho các không gian trên trường số phức, toàn bộ giáo trình này chỉ khảo
sát trên không gian vec-tơ và không gian lồi địa phương thực. Nội dung
6 Lời nói đầu
giáo trình gồm 6 chương. Chương Một trình bày các khái niệm và tính
chất của tập lồi trên không gian vec-tơ (không có tôpô) cùng các định lí
quan trọng như Định lí Carathéodory, Định lí Hanh-Banach và Định lí
Tách cơ bản. Chương Hai khảo sát các tính chất tôpô của tập lồi trong
không gian lồi địa phương. Chương Ba giới thiệu không gian liên hợp và
các định lí tách tập lồi. Các tôpô yếu và cặp đối ngẫu cũng được khảo
sát tỉ mỉ trong chương này. Chương Bốn trình bày khái niệm hàm lồi, các
kết quả cơ bản về tính liên tục, hàm liên hợp, hàm tựa và các phép toán
trên hàm lồi. Khái niệm dưới vi phân của hàm lồi cùng các phép toán
trên dưới vi phân được trình bày trong Chương Năm. Các định lí giá trị
trung bình và tính đơn điệu của dưới vi phân cũng được thiết lập trong
chương này. Chương cuối cùng dành để khảo sát các điều kiện tối ưu sử
dụng công cụ giải tích lồi. Tài liệu này được viết dành cho sinh viên, học
viên cao học ngành toán và cả những nhà nghiên cứu có sử dụng công
cụ giải tích lồi. Người đọc cần có các kiến thức đại số tuyến tính, tôpô
đại cương và một ít kiến thức giải tích hàm trước khi đọc giáo trình này.
Tuy vậy, để tài liệu mang tính độc lập tương đối, ngoại trừ các kết quả
cơ bản của tôpô đại cương ở đầu Chương Hai, hầu hết các kết quả nêu
trong giáo trình đều được chứng minh chi tiết. Để tạo điều kiện cho người
đọc củng cố kiến thức và tự mình khám phá sâu hơn, rãi rác trong từng
chương và cuối mỗi chương chúng tui có đưa thêm các bài tập, mà một số
trong chúng có thể được sử dụng lại như những bổ đề để chứng minh các
kết quả khác. Vì tính sư phạm, phần lớn các bài tập cho không gian vô
hạn chiều chỉ sử dụng các không gian l
p
. Người đọc có kiến thức tốt về lí
thuyết độ đo có thể dễ dàng phát biểu lại các bài tập này trên các không
gian L
p
(Ω) tương ứng và giải. Một số hình vẽ minh hoạ trong tài liệu cũng
nằm trong nỗ lực của chúng tui nhằm làm cho người đọc trực nhận vấn
đề nhanh hơn. Mặc dù đã cố gắng hết sức, tài liệu vẫn khó tránh khỏi các
thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được các ý kiến đóng góp từ quý đồng
nghiệp và các bạn.
Chương 1
Tập lồi
trên không gian vec-tơ
1.1 Tập affine
Cho X là một không gian vec-tơ trên trường số thực và x, y ∈ X, ta
kí hiệu L(x, y), [x, y], (x, y) và [x, y ) lần lượt là đường thẳng đi qua x, y,
đoạn thẳng, khoảng mở và nửa khoảng nối hai điểm x và y. Tức là
L(x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ R},
[x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]},
(x, y) = [x, y] \{x, y},
[x, y) = [x, y] \{y}.
Vậy, nếu x = y thì [x, y] = L(x, y) = {x}, còn [x, y) = (x, y] = (x, y) = ∅.
x
y
xx
x
y
x
y
L(x, y) [x, y] [x, y)
Hình 1.1. Đường thẳng, đoạn thẳng và nửa khoảng
8 1.1. Tập affine
Một tập con M của X được gọi là đa tạp affine, hay đơn giản là tập
affine, nếu với mọi cặp điểm x, y ∈ M ta có L(x, y) ⊆ M. Chẳng hạn
trong không gian ba chiều, tập hợp một điểm, đường thẳng, mặt phẳng
là các tập affine. Trong khi đó, hình cầu, hình đa giác nói chung không
phải là tập affine.
M
x
y
Hình 1.2. M là tập affine
Từ định nghĩa này ta có ngay tính chất sau:
Mệnh đề 1.1. Giao của một họ bất kì các tập affine là một tập affine.
Cho A ⊆ X là một tập con của X. Ta gọi bao affine của A, kí hiệu
aff A, là giao của tất cả các tập affine chứa A. Từ Mệnh đề 1.1, aff A là
tập affine và là tập affine bé nhất chứa A. Thật ra tập aff A có thể được
biểu diễn một cách tường minh hơn. Ta gọi vec-tơ có dạng
x =
m
i=1
λ
i
a
i
, với λ
i
∈ R, 1 ≤ i ≤ m, thoả mãn
m
i=1
λ
i
= 1,
là một tổ hợp affine của các vec-tơ {a
1
, . . . , a
m
}. Ta có kết quả cơ bản sau:
Mệnh đề 1.2.
a) Một tập affine thì chứa mọi tổ hợp affine của các vec-tơ của nó,
b) aff A = {x | x là tổ hợp affine của các vec-tơ thuộc A},
c) A là tập affine khi và chỉ khi A = aff A,
d) A là tập affine khi và chỉ khi với mọi a ∈ A, A − a là một không
gian con của X. Nói cách khác, A = a + V với V là một không gian con
của X. Hơn nữa, không gian V được xác định duy nhất bởi A.
Chương 1. Tập lồi trên không gian vec-tơ 9
Chứng minh. (c) được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của bao affine.
a) Giả sử A là tập affine. Với mọi a
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links
Tags: cơ sở giải tích lồi