Download miễn phí Luận văn Đặc trưng của môđun cohen – macaulay dãy qua tính chất phân tích tham số
Mục lục
Mục lục 1
Lời Thank 2
Phần mở đầu 3
Chương I. Kiến thức chuẩn bị 5
1.1. Hệ tham số 5
1.2. Dãy chính quy và môđun Cohen-Macaulay 7
1.3. Môđun Cohen-Macaulay dãy 10
Chương II. Phân tích tham số và môđun Cohen-Macaulay dãy 14
2.1. Đặc trưng của môđun Cohen-Macalay dãy 14
2.2. Đa thức Hilbert-Samuel của môđun Cohen-Macaulay dãy 27
2.3. Ví dụ 31
Tài liệu tham khảo 38
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
số của M là dãy M− chính quy.1.2.11 Bổ đề. [3, Bổ đề 2.2] Cho N là môđun con của M thoả mãn
dimN < dimM và M/N là môđun Cohen-Macaulay. Cho x1, . . . , xi là
một phần của hệ tham số củaM khi đó (x1, . . . , xi)M∩N = (x1, . . . , xi)N .
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo i.
Với i = 1 ta phải chứng minh x1M ∩ N = x1N . Ta luôn có x1N ⊆
x1M ∩N ta chứng minh x1M ∩N ⊆ x1N . Thật vậy, lấy y ∈ x1M ∩N
khi đó y ∈ x1M và y = x1m với m ∈ M suy ra y = x1m ∈ N hay
x1m + N = 0 + N trong M/N tức x1(m + N) = 0 suy ra m + N = 0
hay m ∈ N . Do đó y = x1m ∈ x1N
Giả sử i > 1. Ta luôn có (x1, . . . , xi)N ⊆ (x1, . . . , xi)M ∩ N (1).
Lấy a ∈ (x1, . . . , xi)M ∩N khi đó a = x1a1 + ã ã ã+xiai trong đó aj ∈M
với mọi j = 1, . . . , i vì a ∈ N nên ai ∈ (N + (x1, . . . , xi−1)M) : xi. Mặt
khác, vì dãy x1, . . . , xi là M/N− chính quy và
(N + (x1, . . . , xi−1)M) :M xi = N + (x1, . . . , xi−1)M
10
nên ta có ai ∈ N + (x1, . . . , xi−1)M , ai = x1b1 + ã ã ã+ xi−1bi−1 + c trong
đó bj ∈M , j = 1, ã ã ã , i− 1 và c ∈ N . Suy ra theo giả thiết quy nạp ta có
a− xic ∈ (x1, . . . , xi−1)M ∩N = (x1, . . . , xi−1)N
Do đó a ∈ (x1, ã ã ã , xi)N . Vậy (x1, . . . , xi)M∩N ⊆ (x1, . . . , xi)N (2).
Từ (1) và (2) ta có (x1, . . . , xi)M ∩N = (x1, . . . , xi)N
1.3 Môđun Cohen-Macaulay dãy
Trong phần này ta đưa ra định nghĩa và một số tính chất cơ bản về lọc
chiều và môđun Cohen-Macaulay dãy, trước tiên ta nhắc lại khái niệm lọc
chiều của môđun.
1.3.1 Định nghĩa. (1) Một lọc các môđun con của M là một họ
F : M0 ⊂M1 ⊂ . . . ⊂Mt = M
trong đó Mi là các môđun con của M . Lọc các môđun con F của M
được gọi là thoả mãn điều kiện chiều nếu dimMi−1 < dimMi với mọi
i = 1, 2, . . . , t.
(2) Một lọc thoả mãn điều kiện chiều
D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M
được gọi là lọc chiều của M nếu nó thoả mãn 2 điều kiện sau
(a) D0 = H
0
m(M) là môđun đối đồng điều địa phương thứ 0 của M ứng
với iđêan tối đại m.
(b) Di−1 là môđun con lớn nhất của Di sao cho dimDi−1 < dimDi với
mọi i = 1, 2, . . . , t.
11
Mệnh đề sau sẽ cho ta thấy sự tồn tại của lọc chiều.
1.3.2 Mệnh đề. [2, Chú ý 2.3] Lọc chiều của môđun M luôn tồn tại và
duy nhất. Hơn nữa nếu D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M là lọc chiều của
M với dimDi = di thì ta có
Di =
⋂
dim(R/pj)≥di+1
Nj
với mọi i = 1, 2, . . . , t− 1 trong đó
0 =
n⋂
j=1
Nj
là phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun 0 củaM và Nj là pj− nguyên
sơ với mọi j = 1, 2, . . . , n.
Nhận xét. Cho N là môđun con của M và dimN < dimM . Từ định
nghĩa lọc chiều, tồn tại môđun Di sao cho N ⊆ Di và dimN = dimDi.
Do đó nếu F : M0 ⊂M1 ⊂ . . . ⊂Mt = M là lọc thoả mãn điều kiện chiều
thì với mỗi Mj luôn tồn tại Di sao cho Mj ⊆ Di và dimMj = dimDi.
Hệ tham số tốt là một khái niệm quan trọng được sử dụng trong luận
văn này, từ định nghĩa về lọc chiều nêu trên ta có định nghĩa về hệ tham
số tốt như sau.
1.3.3 Định nghĩa. Cho F : M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M là lọc thoả mãn
điều kiện chiều và dimMi = di. Một hệ tham số x = {x1, x2, . . . , xd} của
M được gọi là hệ tham số tốt tương ứng với lọc F nếu
Mi ∩ (xdi+1, xdi+2, . . . , xd)M = 0
với mọi i = 1, 2, . . . , t− 1.
12
Mọi hệ tham số tốt tương ứng với lọc chiều được gọi là hệ tham số tốt
của M .
Nhận xét
(1) Nếu hệ tham số x = {x1, x2, . . . , xd} là hệ tham số tốt tương ứng với
lọc F thì xα11 , . . . , x
αd
d cũng là hệ tham số tốt tương ứng với lọc F với mọi
số nguyên dương α1, . . . , αd.
(2) Một hệ tham số tốt của M cũng là hệ tham số tốt tương ứng với bất
kỳ lọc thoả mãn thoả mãn điều kiện chiều nào của M .
1.3.4 Bổ đề. [2, Bổ đề 2.5] Luôn tồn tại hệ tham số tốt của M .
Chứng minh. Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M là lọc chiều củaM với
dimDi = di. Theo mệnh đề 1.3.2 ta có Di =
⋂
dim(R/pj)≥di+1
Nj trong đó
0 =
n⋂
j=1
Nj là sự phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun 0 của M . Đặt
Ni =
⋂
dim(R/pj)≤di
Nj khi đó Di ∩Ni = 0 và dimM/Ni = di. Theo định lý
Tránh nguyên tố sẽ tồn tại một hệ tham số x = {x1, x2, . . . , xd} thoả mãn
xdi+1, xdi+2, . . . , xd ∈ AnnM/Ni. Suy ra Di ∩ (xdi+1, xdi+2, . . . , xd)M ⊆
Di ∩Ni = 0.
1.3.5 Bổ đề. [3, Bổ đề 2.1] Cho x = {x1, x2, . . . , xd} là hệ tham số tốt của
M khi đó Di = 0 :M xj với mọi j = di + 1, . . . , di+1, i = 0, 1, . . . , t − 1
và do đó 0 :M x1 ⊆ 0 :M x2 ⊆ . . . ⊆ 0 :M xd.
Chứng minh. Ta có Di ⊆ 0 :M xj với mọi j ≥ di. Thật vậy, lấy x ∈ Di
vì Di là môđun con của M nên x ∈ M . Suy ra xjx ∈ (xdi+1, . . . , xd)M ,
∀j = di+1, . . . , d hơn nữa xjx ∈ Di. Nên suy ra xjx = 0 hay x ∈ 0 :M xj.
Ta còn phải chứng minh rằng 0 :M xj ⊆ Di với mọi di < j < di+1.
13
Giả sử 0 :M xj 6⊆ Di và s là số nguyên lớn nhất sao cho 0 :M xj 6⊆ Ds−1
khi đó t ≥ s > i và 0 :M xj = 0
s xj. Vì ds ≥ di+1 ≥ j, xj là phần tửtham số của Ds và dim 0 :M xj < ds do đó 0 :M xj ⊆ Ds−1 điều này vô
lý với việc chọn s. Do vậy 0 :M xj = Di.
Trong phần tiếp theo ta sẽ trình bày khái niệm và một vài tính chất đặc
trưng của môđun Cohen-Macaulay dãy được sử dụng trong luận văn này.
Trước hết ta có định nghĩa sau.
1.3.6 Định nghĩa. Môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay dãy
nếu với lọc chiều D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M mỗi môđun Di/Di−1 là
Cohen-Macaulay với i = 1, 2, . . . , t.
Mệnh đề tiếp theo coi như điều kiện tương đương với định nghĩa môđun
Cohen-Macaulay dãy.
1.3.7 Mệnh đề. [2, Định lý 3,9] Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M là
lọc chiều của M với dimDi = di và x = (x1, x2, . . . , xd) là hệ tham số
tốt của M . Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
(1) M là môđun Cohen-Macaulay dãy.
(2) (x1, . . . , xdi) là dãy chính quy trên M/Di−1 với i = 1, . . . , t.
(3) depthM/Di−1 = di với i = 1, . . . , t.
1.3.8 Bổ đề. [3, Hệ quả 2.3] Cho x = {x1, x2, . . . , xd} là hệ tham số
tốt của môđun Cohen-Macaulay dãy M . Khi đó (x1, . . . , xd)M ∩ Di =
(x1, . . . , xdi)Di với mọi i = 1, . . . , t− 1.
Chứng minh. Ta cóDi là môđun con củaM , dimDi < M vàM là môđun
14
Cohen-Macaulay dãy nên
(x1, . . . , xd)M ∩Di = (x1, . . . , xdi, xdi+1, . . . , xd)M ∩Di
= (x1, . . . , xdi)M ∩Di + (xdi+1, . . . , xd)M ∩Di
= (x1, . . . , xdi)M ∩Di
mà (x1, . . . , xdi) là một phần của hệ tham số củaM nên theo bổ đề 1.2.11
ta có (x1, . . . , xdi)M ∩Di = (x1, . . . , xdi)Di.
Chương 2
Phân tích tham số của luỹ thừa iđêan
tham số và môđun Cohen-Macaulay
dãy
Trong chương này ta sẽ trình bày nội dung chính của luận văn. Nội dung
chình được chia làm ba tiết. Tiết một trình bày về đặc trưng của môđun
Cohen-Macaulay dãy qua phân tích tham số. Tiết hai sẽ trình bày về đa
thức Hilbert-samuel của môđun Cohen-Macaulay dãy và trong tiết ba sẽ
đưa ra một số ví dụ nhằm làm sáng tỏ các kết quả đã nêu ở trên.
2.1 Đặc trưng củamôđun Cohen-Macaulay dãy qua phân
tích tham số
Cho (R,m) là vành địa phương Noether, M là R− môđun hữa hạn sinh
với dimM = d. Cho x = {x1, x2, . . . , xd} là hệ tham số của môđun M
và q là iđêan sinh bởi x1, x2, . . . , xd. Với số nguyên dương n, s ta có tập
Λd,n = {(α1, . . . , αd) ∈ Zd | αi ≥ 1,∀1 ≤ i ≤ d,
d∑
i=1
αi = d+ n− 1}
với α = (α1, . . . , αd) ∈ Λd,n. Ký hiệu q(α) = (xα11 , . . . , xαdd ).
15
16
2.1.1 Bổ đề. Với các ký hiệu trên ta có qnM ⊆ ⋂
α∈Λd,n
q(α)M
Chứng minh. Vì q(α)M = (xα11 , . . . , x
αd
d ) nên q
nM được sinh bởi các
phần tử có dạng xβ11 . . . x
βd
d m trong đó βi ∈ N,∀i = 1, . . . , d và...