Download Khóa luận Phát triển tư duy toán thông qua tìm kiếm quy luật khi giải toán miễn phí
MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục cc ký hiệu viết tắt
MỞ ĐẦU 4
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN 7
1. Tư duy toán học 7
1.1. Các mức độ của tư duy toán học 7
1.2. Nhiệm vụ của dạy học môn Toán 10
2. Phương pháp giải quyết vấn đề 11
2.1. Giới thiệu về phương pháp GQVĐ 11
2.2. Các phương án GQVĐ cơ bản 13
3. Sử dụng phương án tìm kiếm quy luật khi giải tốn 14
3.1.Tìm quy luật bằng cch xt cc trường hợp riêng, đặc biệt, dễ thấy nhất 16
3.2. Phân loại mẫu để tìm ra quy luật khi giải toán 19
3.3. Nhìn một bi tốn với nhiều khía cạnh khc nhau của toán học, ta có nhiều cách để tìm ra quy luật của một bi tốn 21
3.4. Sử dụng cc mơ hình tốn để tìm kiếm quy luật 25
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG ÁN TÌM KIẾM QUY LUẬT TRONG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 33
1. Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết cc vấn đề từ cc tình huống thực tế hng ngy 33
2. Áp dụng phương án tìm kiếm quy luật trong giải tốn 36
2.1. Tìm quy luật của một dy số 36
2.2. Sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật để giải bài toán hình học 43
2.3. Giải hệ phương trình bằng phương án tìm kiếm một quy luật 52
2.4. Bài toán tính tổng 54
2.5. Một số bài toán khác 56
CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 58
1. Mục đích và ý nghĩa thực nghiệm 58
1.1. Mục đích 58
1.2. Ý nghĩa 58
2. Qu trình thực nghiệm 58
2.1. Phương pháp thực nghiệm 58
2.2. Nội dung thực nghiệm 59
2.3. Thu thập dữ liệu 59
2.4. Phân tích dữ liệu .60
3. Kết quả phiếu thăm dị ý kiến gio vin v học sinh 62
4. Kết luận sư phạm 69
KẾT LUẬN 70
TÀI LIỆU THAM KHẢO 72
PHỤ LỤC
Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho
Tóm tắt nội dung:
không âm nhỏ hơn 2n. Như vậy, mỗi số nguyên không âm nhỏ hơn 2n tương ứng đúng với một tập con của S và do đó S có 2n tập con.Thông thường chúng ta chỉ tìm một lời giải cho một bài toán sau khi đã cân nhắc. Tuy nhiên, trong ví dụ vừa rồi khẳng định cho chúng ta thấy rằng, với một bài toán ta có thể linh hoạt sử dụng nhiều cách để làm. Chúng ta cần linh hoạt trong giai đoạn đầu khám phá bài toán. Nếu một cách tiếp cận mà không dẫn đến đâu, đừng thất vọng, hãy tìm một ý tưởng mới. Hãy nhìn lại bài toán theo nhiều khía cạnh sẽ có phong phú ý tưởng thay thế. Mỗi cách tiếp cận là một ý tưởng để khám phá bài toán. Tư duy sáng tạo được đánh dấu bởi những tiếp cận để giải quyết bài toán mang tính tưởng tượng và phân kỳ. Ở thời điểm đầu thì số lượng, sự phong phú của tư duy là quan trọng và tri giác khởi đầu cũng là một nguồn kiến thức hữu ích.
3.4. Sử dụng các mô hình toán để tìm kiếm quy luật
Trước hết chúng ta hãy làm quen với các dãy số tạm đặt tên là “dãy số đa giác” thông qua các hình vẽ được sắp xếp theo mô hình được cho trong bảng dưới đây. Số hạng thứ r của mỗi dãy số đa giác chính là số các điểm nằm trên đa giác
thứ r tương ứng của dãy.
Sau khi cho học sinh quan sát mô hình về các “dãy số đa giác”. Giáo viên đặt ra một số câu hỏi như sau:
Tìm quy luật cho số hạng thứ n của các dãy số đa giác (tính số hạng tổng quát của các dãy số đa giác);
Tính tổng n số hạng đầu tiên của các dãy số đa giác.
Học sinh sẽ sử dụng nhiều phương án khác nhau để giải quyết các câu hỏi này và phương án tìm kiếm một quy luật được sử dụng ra sao, chúng ta sẽ bắt đầu với dãy số tam giác.
Số hạng thứ r
1
2
3
4
5
Tam giác
Tứ giác
Ngũ giác
Lục giác
Thất giác
Dãy số tam giác
Thông thường học sinh sẽ đếm số các điểm nằm trên các tam giác thứ nhất, thứ 2, thứ 3, thứ 4, thứ 5, … và sẽ tìm một quy luật trong các số liệu này. Gọi là số các điểm nằm trên tam giác thứ n. Ta có:
= 1, = 3, = 6, = 10, = 15, …
Một số học sinh sẽ phát hiện ra quy luật như sau:
= 1
= + 2 = 1 + 2;
= + 3 = 1 + 2 + 3; (Thay bởi 1 + 2)
= + 4 = 1 + 2 + 3 + 4;
= + 5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5;
…
Từ đó học sinh sẽ đoán số hạng thứ n của dãy được biễu diễn như sau:
= 1 + 2 + … + n.
Một số học sinh quan sát mô hình của dãy số này cũng có thể dễ dàng nhận ra quy luật như sau: tam giác thứ nhất được tạo ra bởi một điểm nằm trên một hàng. Tam giác thứ hai được tạo ra bởi 3 điểm nằm trên 2 hàng, hàng thứ nhất có một điểm, hàng thứ hai có 2 điểm … Tương tự, tam giác thứ năm được tạo ra bằng cách ghép 5 hàng điểm, theo thứ tự trên xuống có 1 điểm, 2 điểm, 3 điểm, 4 điểm, 5 điểm (hình bên).
Với quy luật đó, tam giác thứ n được tạo ra bởi n hàng điểm theo thứ tự trên xuống hàng thứ n có n điểm.
Như vậy, tổng số điểm trong tam giác thứ n là: 1 + 2 + … + n điểm, tức số hạng thứ n trong dãy số tam giác là:
= 1 + 2 + … + n.
Để tìm quy luật và tính số hạng tổng quát của dãy số tam giác ta sẽ biểu diễn dãy số này theo một cách khác bằng mô hình sau:
Từ những tam giác trên, nếu hoán đổi các dòng thành cột, ta được một mảng mới mà khi ghép với mảng tam giác ban đầu ta được một mảng hình chữ nhật. Trong trường hợp tổng quát, dễ thấy mảng chữ nhật tạo thành có các cạnh lần lượt chứa n và n + 1 điểm, nên số các điểm có trong mảng này là n(n + 1) điểm.
Suy ra: 2 = n(n + 1) =
Vậy ta có công thức sau:
1 + 2 + … + n = .
Tính tổng của n số hạng đầu tiên của dãy số tam giác:
= 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + … + (1 + 2 + … + n).
được biểu diễn là tổng của tất cả các số có trong mảng trên.
Do tổng các số có trên cột thứ i (i = 1; 2; … ; n) là . Áp dụng công thức ở trên ta có:
= .
Suy ra:
2 = 1 2 + 2 3 + 3 4 + n (n + 1).
Biểu diễn đẳng thức trên bằng mô hình sau:
Kết hợp 2 mảng và 2 để trở thành mảng 3 như sau:
Sử dụng công thức của dãy số tam giác, ta có kết quả:
Suy ra: = .
Chú ý: Sau đây là một cách khác để tiếp cận bài toán trên. Ta sẽ tiến hành ghép mảng điểm và , và , và như sau:
+ + +
Từ đây chúng ta sẽ phát hiện ra quy luật: nếu ghép 2 mảng điểm và ta được mảng điểm hình vuông mà số các điểm trong mảng này là n2 điểm.
Vậy:
+ = n2.
Viết lại:
= + + … + +
+ = 22
+ = 32
…
+ = (n – 1)2
+ = n2 .
Cộng những đẳng thức này với nhau theo từng vế, ta có:
+ 2(+ … + ) + = 22 + 32 + … + (n – 1)2 + n2
2 ( + + … + + ) = 22 + 32 + … + (n – 1)2 + n2 + +
2 = 12 + 22 + 32 + … + (n – 1)2 + n2 +
= + (*) (với = 12 + 22 + 32 + … + (n – 1)2 + n2).
có thể biểu diễn thành tổng các số có trong mảng như sau:
Từ đây, ta có thể nghĩ đến việc kết hợp với mảng để được mảng + như hình bên.
Từ cách sắp xếp này, ta nhận thấy tổng các số hạng trên mỗi hàng của mảng + chính là tổng của n số tự nhiên đầu tiên.
Mảng có n + 1 hàng nên:
+ = (n + 1)
Từ (*) ta có: 3 = + + = (n + 2) .
Áp dụng công thức tính ta có:
= .
Tương tự như đối với dãy số tam giác, ta có thể phát hiện ra quy luật và giải quyết các câu hỏi được đặt ra ở trên đối với các dãy số đa giác khác và nhiều dãy số khác. Phần này được trình bày trong tài liệu “Khám phá đại số và giải tích 11” của tác giả Trần Vui (chủ biên).
Từ ví dụ trên, chúng ta nhận thấy rằng việc thiết kế và sử dụng các mô hình hình học là một phương tiện hỗ trợ đắc lực cho việc tiến hành giải quyết vấn đề bằng phương án tìm kiếm một quy luật. Chúng ta cũng lưu ý rằng, đối với mỗi bài toán có thể sử dụng nhiều mô hình tương ứng với nhiều cách giải khác nhau. Do đó, chúng ta cần tìm kiếm những mô hình mới, không nên gò bó theo một khuôn mẫu đã định sẵn.
CHƯƠNG 2
PHƯƠNG ÁN TÌM KIẾM QUY LUẬT TRONG
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết các vấn đề từ các tình huống thực tế hàng ngày
Để nhớ các con số như số xêri, mã khoá, số điện thoại, vv… chúng ta thường tìm kiếm một quy luật có trong các tập số này. Khi phát hiện ra các quy luật nằm trong các tập số này thì chúng ta có thể nhớ chúng dễ dàng hơn và nhớ lâu hơn. Ví dụ, nhiều số điện thoại có quy luật rất đặc biệt mà người ta thường gọi bằng các cái tên như: “số tiến”, “số lùi”, “số soi gương”… Các số này rất dễ nhớ. Khám phá ra các quy luật khác nhau của các tập số như thế, đó sẽ là công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc nhớ các con số của chúng ta.
Khám phá các quy luật cũng được dùng trong vấn đề thực tiễn “đi tới một địa điểm bằng xe hơi”. Giả sử khi lái xe qua một thành phố, ở đây hầu hết các con đường nằm trong một mạng lưới hình chữ nhật, một người lái xe giỏi sẽ xem xét các vấn đề như đèn đỏ trong bao nhiêu giây, đèn xanh trong bao nhiêu giây, đèn vàng trong bao nhiêu giây, khoảng cách từ các địa điểm có đèn giao thông là bao nhiêu, … để tìm kiếm một quy luật. Dựa vào quy luật này người lái xe sẽ điều chỉnh tốc độ, chọn đường đi thích hợp để tránh các đèn đỏ nhiều nhất có thể và để giảm tối thiểu thời gian chờ đợi.
Một vấn đề thực tiễn khác là “tìm đến một số nhà nằm trên một con đường tron...