prince_of_qin_89
New Member
Link tải luận văn miễn phí cho ae Kết Nối
Chương 1 Hệ đếm …….......................................................................4
§1 Khái niệm hệ đếm với cơ số bất kỳ …….........................................................4
§2 Qui tắc đổi biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số này sang hệ cơ số khác..... 9
§3 Đổi biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số này sang hệ đếm cơ số khác........11
§4 Sử dụng máy tính đổi biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số k1 này sang hệ
đếm cơ số
k2 …………………...........................................…….......................22
§5 Tính toán số học trong hệ đếm cơ số bất kỳ...................................................30
§6 Thực hiện tính toán số học trên máy tính.......................................................38
§7 Sử dụng phép chia để đổi biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số k1 sang hệ
đếm cơ số
k2 …………………...........................................…….........................43
§8. Sơ lược về ứng dụng của hệ đếm trong máy tính điện tử .............................46
Chương 2 Ứng dụng của hệ đếm trong toán phổ thông….............52
§1 Tính chất chia hết ..........................................................................................52
§2 Sử dụng hệ đếm trong giải toán ....................................................................65
Kết luận...............................................................................................................94
Tài liệu tham khảo.............................................................................................95
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi2
LỜI NÓI ĐẦU
Có thể nói hệ đếm là lí thuyết toán học đầu tiên xuất hiện do nhu cầu thực
tiễn của cuộc sống, được hình thành và phát triển song hành với sự phát triển của
văn minh nhân loại. Trong cuộc sống ta luôn phải sử dụng hệ đếm (cơ số 10) để
tính toán. Hệ đếm cơ số 2, cùng với các hệ đếm cơ số 10, cơ số 8,... là cơ sở làm
việc của máy tính điện tử. Lí thuyết hệ đếm (cơ số bất kì) còn liên quan đến
nhiều lĩnh vực khác của toán học: lí thuyết chia hết, toán rời rạc, phương trình
nghiệm nguyên và phương trình hàm, qui nạp toán học, các bài toán trò chơi,...
Mặc dù hệ đếm đóng vai trò rất quan trọng trong cuộc sống hàng ngày
cũng như trong học tập, những kiến thức về hệ đếm còn ít được quan tâm giảng
dạy trong trường phổ thông. Vì vậy phần lớn học sinh có thể sử dụng thành thạo
những ứng dụng của hệ đếm (máy tính điện tử, máy ảnh số, máy nghe nhạc,...)
nhưng không có các kiến thức sơ đẳng về hệ đếm. Thí dụ, phần lớn học sinh biết
sử dụng máy tính điện tử khoa học để làm các phép toán, không chỉ các phép
toán số học, mà còn các phép toán cao cấp (lấy modulo, tính theo công thức truy
hồi...), nhưng không hiểu cơ chế thực hiện các tính toán trên máy.
Luận văn Hệ đếm và ứng dụng trong toán phổ thông có mục đích trình
bày các kiến thức cơ bản của hệ đếm và một số ứng dụng của hệ đếm trong giải
toán phổ thông (các tiêu chuẩn chia hết trong hệ đếm bất kì, phương pháp hệ
đếm giải một lớp các bài toán thi vô địch quốc gia và quốc tế).
Luận văn gồm hai chương.
Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản của hệ đếm và tính toán trên
máy: Khái niệm hệ đếm, đổi biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số này sang hệ
đếm cơ số khác, tính toán số học trong hệ đếm cơ số bất kì; Sử dụng máy tính
khoa học (Caculator, Vianacal Vn-570MS, Casio fx570MS, Casio fx-570ES,...)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
và phần mềm tính toán Maple để đổi biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số này
sang hệ đếm cơ số khác và tính toán số học trên hệ đếm cơ số bất kì. Cuối
chương trình bày sơ lược nguyên lí trao đổi thông tin trên máy tính điện tử.
Chương 2 trình bày hai ứng dụng của hệ đếm trong toán phổ thông. Một số
tính chất chia hết trong hệ đếm cơ số 10 được mở rộng sang cho hệ đếm cơ số
bất kì trong §1 của Chương. Điều này cho phép nhìn lại các qui tắc và tiêu chuẩn
chia hết trong hệ đếm cơ số 10 và ứng dụng để giải một số bài toán chia hết. Ứng
dụng của hệ đếm trong giải toán được minh họa bởi nhiều bài toán thi học sinh
giỏi Quốc gia và Quốc tế trong §2 của Chương, qua đây ta cũng thấy rõ mối
quan hệ giữa hệ đếm với các vấn đề khác của toán phổ thông (phương trình hàm,
phương trình nghiệm nguyên, dãy truy hồi,...). Những bài thi vô địch đã có trong
[7] và [8] không được trình bày ở đây. Vì vậy, kết hợp § này với [7] và [8], số
lượng bài toán là đủ nhiều để có thể coi Hệ đếm như một phương pháp giải các
bài toán gặp trong phương trình hàm, phương trình nghiệm nguyên,...
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Tạ
Duy Phượng. Xin được tỏ lòng Thank chân thành nhất tới Thầy.
Tác giả xin Thank chân thành tới Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên,
nơi tác giả đã nhận được một học vấn sau đại học căn bản.
Và cuối cùng, xin Thank gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã cảm thông, ủng
hộ và giúp đỡ trong suốt thời gian tác giả học Cao học và viết luận văn.
Hà Nội, ngày 18 tháng 9 năm 2009
Tác giả
Đỗ Thị Thảo
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi4
Chương 1
HỆ ĐẾM
§1. Khái niệm hệ đếm với cơ số bất kỳ
1.1. Mở đầu
Trong cuộc sống hàng ngày chúng ta thường sử dụng các số trong hệ đếm thập
phân. Tất cả các số của hệ thập phân được tạo nên từ các chữ số từ 0 đến 9. Hệ
đếm thập phân, hay còn gọi là hệ đếm cơ số 10 (decimal system, được viết tắt là
Dec trên các máy tính điện tử khoa học–Scientific Calculator, thường được dịch
là máy tính cầm tay họăc máy tính bỏ túi và máy tính Calculator được cài đặt
trên Window).
Hệ đếm thập phân xuất hiện đầu tiên ở Ấn độ vào thế kỷ 5 sau công nguyên.
Đến năm 1202 nhờ tác phẩm Liber Abaci của L. Fibonacci, một nhà toán học và
thương gia người Ý, thì khoa học Ả rập và hệ đếm cơ số 10 mới được truyền bá
vào châu Âu. Với sự phát minh ra nghề in vào thế kỉ 15 thì 10 chữ số mới có
hình dạng cố định như hiện nay.
Các số viết trong hệ thập phân gồm 2 phần: Phần nguyên và phần thập phân
được ngăn cách bởi dấu phẩy hay dấu chấm. Máy tính điện tử và các nước trên
thế giới sử dụng dấu chấm, nhưng ở Việt nam thì sử dụng dấu phẩy.
Hệ đếm thập phân chỉ sử dụng 10 ký tự lần lượt là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Hệ đếm thập phân là hệ đếm theo quy tắc vị trí. Giá trị các ký tự giống nhau
hoàn toàn khác nhau nếu nó đứng ở những vị trí khác nhau: gặp 10 thì thêm một
nấc (đủ 10 thì thêm 1 đơn vị vào hàng bên trái nó), hay còn gọi là hệ thập tiến.
Do tính thập tiến người ta biết rằng mỗi chữ số đứng bên trái bằng 10 lần chữ số
đứng bên phải nó nếu hai chữ số đó là như nhau. Điều này khác với hệ La Mã.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Người ta cũng cố lý giải tại sao hệ đếm thập phân lại được đa số các nước
trên thế giới sử dụng đến như vậy. Có nhiều lý giải đưa ra như do hai bàn tay có
10 ngón, do đó ta dễ dàng đếm trên 10 ngón tay. Và khi đứa trẻ đầu tiên tập đếm
thì chúng thường đếm trên đầu các ngón tay.
Ngoài hệ đếm thập phân liệu còn có các hệ đếm khác hay không? Chúng ta
cùng nhìn lại một chút về các hệ đếm với cơ số khác nhau mà các nước, các dân
tộc trên thế giới đã sử dụng.
Hệ đếm cơ số 60 của người Babilon xuất hiện sớm và cho đến ngày nay chúng
ta vẫn dùng để đo góc và thời gian: Một độ có 60 phút, một phút có 60 giây,…
Tại sao người Babilon lại thích sử dụng hệ đếm cơ số 60 đến như vậy? Cho đến
nay có nhiều giả thuyết khác nhau về vấn đề này. Một giải thích là do sự hiểu
biết của người Babilon về hệ mặt trời: Người Babilon đã quan sát thấy chu kì của
trái đất quay quanh mặt trời là 360 ngày. Có giả thuyết cho rằng vì 60 có nhiều
ước số: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 nên khi thực hiện phép chia thì sẽ thu
được nhiều số chẵn (nguyên). Còn số 10 chỉ có 2 ước là 2 và 5 nên khi thực hiện
phép chia thì sẽ thu được nhiều số lẻ (phân số). Để biểu diễn số trong hệ đếm cơ
số 60 thì ta phải sử dụng 60 ký tự. Và trong hệ đếm này thì mỗi chữ số đứng bên
trái bằng 60 lần chữ số đứng ngay bên phải nó nếu hai chữ số đó giống nhau.
Hệ đếm cơ số 5 Thời cổ đại các bộ tộc nguyên thủy thường dùng hệ đếm cơ số
5, nó tương ứng với việc đếm trên năm ngón tay. Ở hệ đếm này thì cứ được 5 thì
thêm một nấc (đủ 5 thì thêm một đơn vị vào hàng bên trái nó). Như vậy trong hệ
đếm cơ số 5 người ta phải sử dụng 5 ký tự 0, 1, 2, 3, 4. Và cũng giống ở các hệ
đếm khác, mỗi chữ số đứng bên trái bằng 5 lần chữ số đứng bên phải nó nếu hai
chữ số đó giống nhau. Hiện nay người Trung Quốc và người Nhật Bản vẫn còn
dùng các bàn tính gẩy dựa trên hệ đếm cơ số 5.
Hệ đếm cơ số 20 Có những dân tộc dùng cả 10 ngón chân và 10 ngón tay để
đếm và được 20 thì họ thêm một nấc (đủ 20 thì thêm một đơn vị vào hàng bên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi6
trái nó). Chính vì vậy mà có hệ đếm cơ số 20. Hệ đếm này được người Maia cổ
sử dụng. Cho đến ngày nay ở Đan Mạch và ở Pháp người ta vẫn sử dụng hệ đếm
cơ số 20. Với họ 60 được hiểu là 3 lần 20; 80 được hiểu là 4 lần 20 (quatre
vingts-quatre=bốn, vingt=20 tiếng Pháp); 90 được hiểu là 4 lần 20 rưỡi; 93 được
hiểu là thêm 3 vào 4 lần 20 rưỡi.
Cách nói đơn vị trước khi nói hàng chục trước thế kỷ 18 rất phổ biến ở châu Âu,
cho đến nay ở Đức vẫn còn sử dụng.
Ở hệ đếm cơ số 20 ta phải sử dụng 20 chữ số, ngoài các chữ số từ 0 đến 9 người
ta còn đưa vào các chữ cái thay cho các giá trị số từ 10 đến 19. Và cũng giống ở
các hệ đếm trên thì mỗi chữ số đứng bên trái bằng 20 lần chữ số đứng bên phải
nó nếu 2 chữ số đó giống nhau.
Trong đo lường người ta còn sử dụng nhiều hệ đếm khác nữa.
Hệ đếm cơ số 12 được sử dụng ở nhiều nước trên thế giới và cho đến ngày nay
vẫn được sử dụng nhiều ở Anh, và nhiều nơi trên thế giới cũng vẫn còn sử dụng
hệ đếm cơ số 12. Một thước Anh không phải là 10 tấc Anh mà là 12 tấc Anh.
Chúng ta vẫn hay dùng đơn vị inch, 18 inch không phải là một thước và 8 tấc mà
là một thước Anh và 6 tấc Anh. Ở Anh người ta còn dùng đơn vị “tá” gồm 12
chiếc, 12 “tá” gọi là một “rá”. Có lẽ người Trung Quốc cũng đã sử dụng hệ đếm
cơ số 12 và hệ đếm cơ số 60 (chu kì của 12 con giáp,…).
Tùy theo yêu cầu thực tế mà người ta lại dùng các hệ đếm với cơ số mới.
Hệ đếm cơ số 2 hay hệ đếm nhị phân (binary system, được viết tắt là Bin trên
các máy tính khoa học và máy tính Caculator được cài đặt trên Window). Khi
máy tính điện tử xuất hiện, người ta sử dụng hệ đếm nhị phân. Đó là hệ đếm chỉ
sử dụng hai ký tự 1 và 0. Mỗi ký tự đứng bên trái bằng hai lần ký tự đứng bên
phải nó nếu các ký tự đó là như nhau. Việc sử dụng hệ đếm nhị phân với hai ký
tự 0 và 1 rất gần với logic vì mệnh đề chỉ có thể nhận một trong hai giá trị đúng
hay sai tương ứng với giá trị 1 hay 0. Nó cũng tương ứng với việc một mạch
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
điện chỉ có thể ở một trong hai trạng thái đóng hay mở. Phép đếm nhị phân
cùng với phép toán logic là cơ sở hoạt động của máy tính.
Do chỉ có hai ký tự nên việc biểu diễn của một số trong hệ đếm cơ số 2 rất dài,
vì vậy trong máy tính còn sử dụng hệ đếm cơ số 8 và hệ đếm cơ số 16, rất thuận
tiện trong biểu diễn các số vì 2 là ước của 8 và 16.
Hệ đếm cơ số 8 hay hệ bát phân (octal system, được viết tắt là Oct trên các máy
tính khoa học và máy tính Caculator). Đây là hệ đếm sử dụng 8 ký tự 0, 1, 3, 4,
5, 6, 7. Mỗi ký tự đứng bên trái bằng 8 lần ký tự đứng bên phải nó nếu hai ký tự
đó giống nhau.
Hệ đếm cơ số 16 (hexadecimal system, được viết tắt là Hex trên các máy tính
khoa học và Caculator). Nếu chỉ sử dụng 10 ký tự từ 0 đến 9 như ở hệ đếm thập
phân thì chưa đủ để biểu diễn các số trong hệ đếm cơ số 16. Vì vậy người ta đưa
thêm vào các ký tự: A, B, C, D, E, F tương ứng với 10, 11, 12, 13, 14, 15. Như
vậy ở hệ đếm này ta sử dụng 16 ký tự: 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Mỗi ký tự đứng bên trái bằng 16 lần ký tự đứng bên phải nó nếu hai ký tự đó
giống nhau.
Thực ra thì hệ đếm cơ số 16 cũng đã có ở Trung Quốc từ xưa, vì thời trước 1 cân
của Trung Quốc có tới 16 lạng (bên tám lạng bên nửa cân, bằng nhau).
Hệ đếm cơ số 24 dùng đếm số giờ trong 1 ngày.
Hệ đếm cơ số 30 đếm số ngày trong tháng.
Hệ đếm cơ số 3 (hệ tam phân) gồm ba chữ số 0, 1, 2 hay 0, 1, 1 . Hệ đếm cơ số 3
dùng để đếm số tháng trong quí. Có dân tộc đã sử dụng hệ đếm cơ số 3 trong
thời gian dài. Với những số lớn hơn 3 thì họ dùng từ vài hay nhiều. Do tính chất
đối xứng nên hệ đếm cơ số 3 có nhiều tính chất thú vị và tiện dụng trong nghiên
cứu, vì vậy ở một số phòng thí nghiệm đặc biệt người ta sử dụng máy tính mà
thiết kế dựa trên cơ số 3. Tuy nhiên loại máy tính này ít được sử dụng rộng rãi.
Hệ đếm cơ số 7 đếm số ngày trong tuần,…
Mỗi ký tự được biểu diễn bằng các số liên tiếp hơn kém nhau một đơn vị
trong bảng ký tự ASCII. Lưu ý rằng số 32 là mã ASCII của ký tự trống (space).
Nếu đổi sang mã nhị phân thì ký tự trống này có giá trị 00100000. Với bộ ký tự
ASCII chuẩn, 32 giá trị đầu tiên (từ 0 đến 31) là các biến điều khiển, ký tự thứ
33 là trống, tiếp theo là các ký tự đặc biệt, chữ số, chữ cái hoa và chữ cái thường.
Các bội số của Byte là (tên gọi viết tắt độ lớn):
Kilo K 2^10 = 1024; Mega M 2^20 = 1048576; Giga G 2^30 = 1073741824;
Tera T 2^40 = 1099511627776;Peta P 2^50 = 1125899906842624
Exa E 2^60 = 1152921504606846976;
Zetta Z 2^70 = 1180591620717411303424;
Yotta Y 2^80 = 1208925819614629174706176.
KẾT LUẬN CHƯƠNG
Qua phần trình bày trong chương này ta thấy rằng nếu máy tính đã được cài đặt
phần mềm Maple thì việc chuyển đổi biểu diễn của một số trong các hệ đếm cơ
số khác nhau, và thực hiện các phép toán số học đối với các số ở các hệ đếm với
cơ số khác nhau hoàn toàn đơn giản và chính xác. Các máy tính khoa học và
Calculator cũng có thể làm được các công việc này với số nguyên nhỏ trong các
hệ đếm đã được cài đặt sẵn. Tuy nhiên nếu có cách nào đó để có thể thực hiện
các phép tính số học trên các hệ đếm với cơ số khác nhau mà không phải thông
qua hệ đếm thập phân thì sẽ tiện lợi hơn nhiều. Hơn nữa phần chuyển đổi hệ đếm
đối với số thập phân thì phần mềm Maple vẫn còn hạn chế chưa sử dụng được
như với số nguyên.
Việc nghiên cứu các nguyên tắc, các cách chuyển đổi số giữa các hệ đếm,
cách thực hiện các phép toán số học là cần thiết, mặc dù có máy tính và các phần
mềm hỗ trợ tính toán.
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
Chương 1 Hệ đếm …….......................................................................4
§1 Khái niệm hệ đếm với cơ số bất kỳ …….........................................................4
§2 Qui tắc đổi biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số này sang hệ cơ số khác..... 9
§3 Đổi biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số này sang hệ đếm cơ số khác........11
§4 Sử dụng máy tính đổi biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số k1 này sang hệ
đếm cơ số
k2 …………………...........................................…….......................22
§5 Tính toán số học trong hệ đếm cơ số bất kỳ...................................................30
§6 Thực hiện tính toán số học trên máy tính.......................................................38
§7 Sử dụng phép chia để đổi biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số k1 sang hệ
đếm cơ số
k2 …………………...........................................…….........................43
§8. Sơ lược về ứng dụng của hệ đếm trong máy tính điện tử .............................46
Chương 2 Ứng dụng của hệ đếm trong toán phổ thông….............52
§1 Tính chất chia hết ..........................................................................................52
§2 Sử dụng hệ đếm trong giải toán ....................................................................65
Kết luận...............................................................................................................94
Tài liệu tham khảo.............................................................................................95
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
You must be registered for see links
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi2
LỜI NÓI ĐẦU
Có thể nói hệ đếm là lí thuyết toán học đầu tiên xuất hiện do nhu cầu thực
tiễn của cuộc sống, được hình thành và phát triển song hành với sự phát triển của
văn minh nhân loại. Trong cuộc sống ta luôn phải sử dụng hệ đếm (cơ số 10) để
tính toán. Hệ đếm cơ số 2, cùng với các hệ đếm cơ số 10, cơ số 8,... là cơ sở làm
việc của máy tính điện tử. Lí thuyết hệ đếm (cơ số bất kì) còn liên quan đến
nhiều lĩnh vực khác của toán học: lí thuyết chia hết, toán rời rạc, phương trình
nghiệm nguyên và phương trình hàm, qui nạp toán học, các bài toán trò chơi,...
Mặc dù hệ đếm đóng vai trò rất quan trọng trong cuộc sống hàng ngày
cũng như trong học tập, những kiến thức về hệ đếm còn ít được quan tâm giảng
dạy trong trường phổ thông. Vì vậy phần lớn học sinh có thể sử dụng thành thạo
những ứng dụng của hệ đếm (máy tính điện tử, máy ảnh số, máy nghe nhạc,...)
nhưng không có các kiến thức sơ đẳng về hệ đếm. Thí dụ, phần lớn học sinh biết
sử dụng máy tính điện tử khoa học để làm các phép toán, không chỉ các phép
toán số học, mà còn các phép toán cao cấp (lấy modulo, tính theo công thức truy
hồi...), nhưng không hiểu cơ chế thực hiện các tính toán trên máy.
Luận văn Hệ đếm và ứng dụng trong toán phổ thông có mục đích trình
bày các kiến thức cơ bản của hệ đếm và một số ứng dụng của hệ đếm trong giải
toán phổ thông (các tiêu chuẩn chia hết trong hệ đếm bất kì, phương pháp hệ
đếm giải một lớp các bài toán thi vô địch quốc gia và quốc tế).
Luận văn gồm hai chương.
Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản của hệ đếm và tính toán trên
máy: Khái niệm hệ đếm, đổi biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số này sang hệ
đếm cơ số khác, tính toán số học trong hệ đếm cơ số bất kì; Sử dụng máy tính
khoa học (Caculator, Vianacal Vn-570MS, Casio fx570MS, Casio fx-570ES,...)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
You must be registered for see links
và phần mềm tính toán Maple để đổi biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số này
sang hệ đếm cơ số khác và tính toán số học trên hệ đếm cơ số bất kì. Cuối
chương trình bày sơ lược nguyên lí trao đổi thông tin trên máy tính điện tử.
Chương 2 trình bày hai ứng dụng của hệ đếm trong toán phổ thông. Một số
tính chất chia hết trong hệ đếm cơ số 10 được mở rộng sang cho hệ đếm cơ số
bất kì trong §1 của Chương. Điều này cho phép nhìn lại các qui tắc và tiêu chuẩn
chia hết trong hệ đếm cơ số 10 và ứng dụng để giải một số bài toán chia hết. Ứng
dụng của hệ đếm trong giải toán được minh họa bởi nhiều bài toán thi học sinh
giỏi Quốc gia và Quốc tế trong §2 của Chương, qua đây ta cũng thấy rõ mối
quan hệ giữa hệ đếm với các vấn đề khác của toán phổ thông (phương trình hàm,
phương trình nghiệm nguyên, dãy truy hồi,...). Những bài thi vô địch đã có trong
[7] và [8] không được trình bày ở đây. Vì vậy, kết hợp § này với [7] và [8], số
lượng bài toán là đủ nhiều để có thể coi Hệ đếm như một phương pháp giải các
bài toán gặp trong phương trình hàm, phương trình nghiệm nguyên,...
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Tạ
Duy Phượng. Xin được tỏ lòng Thank chân thành nhất tới Thầy.
Tác giả xin Thank chân thành tới Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên,
nơi tác giả đã nhận được một học vấn sau đại học căn bản.
Và cuối cùng, xin Thank gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã cảm thông, ủng
hộ và giúp đỡ trong suốt thời gian tác giả học Cao học và viết luận văn.
Hà Nội, ngày 18 tháng 9 năm 2009
Tác giả
Đỗ Thị Thảo
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
You must be registered for see links
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi4
Chương 1
HỆ ĐẾM
§1. Khái niệm hệ đếm với cơ số bất kỳ
1.1. Mở đầu
Trong cuộc sống hàng ngày chúng ta thường sử dụng các số trong hệ đếm thập
phân. Tất cả các số của hệ thập phân được tạo nên từ các chữ số từ 0 đến 9. Hệ
đếm thập phân, hay còn gọi là hệ đếm cơ số 10 (decimal system, được viết tắt là
Dec trên các máy tính điện tử khoa học–Scientific Calculator, thường được dịch
là máy tính cầm tay họăc máy tính bỏ túi và máy tính Calculator được cài đặt
trên Window).
Hệ đếm thập phân xuất hiện đầu tiên ở Ấn độ vào thế kỷ 5 sau công nguyên.
Đến năm 1202 nhờ tác phẩm Liber Abaci của L. Fibonacci, một nhà toán học và
thương gia người Ý, thì khoa học Ả rập và hệ đếm cơ số 10 mới được truyền bá
vào châu Âu. Với sự phát minh ra nghề in vào thế kỉ 15 thì 10 chữ số mới có
hình dạng cố định như hiện nay.
Các số viết trong hệ thập phân gồm 2 phần: Phần nguyên và phần thập phân
được ngăn cách bởi dấu phẩy hay dấu chấm. Máy tính điện tử và các nước trên
thế giới sử dụng dấu chấm, nhưng ở Việt nam thì sử dụng dấu phẩy.
Hệ đếm thập phân chỉ sử dụng 10 ký tự lần lượt là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Hệ đếm thập phân là hệ đếm theo quy tắc vị trí. Giá trị các ký tự giống nhau
hoàn toàn khác nhau nếu nó đứng ở những vị trí khác nhau: gặp 10 thì thêm một
nấc (đủ 10 thì thêm 1 đơn vị vào hàng bên trái nó), hay còn gọi là hệ thập tiến.
Do tính thập tiến người ta biết rằng mỗi chữ số đứng bên trái bằng 10 lần chữ số
đứng bên phải nó nếu hai chữ số đó là như nhau. Điều này khác với hệ La Mã.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
You must be registered for see links
Người ta cũng cố lý giải tại sao hệ đếm thập phân lại được đa số các nước
trên thế giới sử dụng đến như vậy. Có nhiều lý giải đưa ra như do hai bàn tay có
10 ngón, do đó ta dễ dàng đếm trên 10 ngón tay. Và khi đứa trẻ đầu tiên tập đếm
thì chúng thường đếm trên đầu các ngón tay.
Ngoài hệ đếm thập phân liệu còn có các hệ đếm khác hay không? Chúng ta
cùng nhìn lại một chút về các hệ đếm với cơ số khác nhau mà các nước, các dân
tộc trên thế giới đã sử dụng.
Hệ đếm cơ số 60 của người Babilon xuất hiện sớm và cho đến ngày nay chúng
ta vẫn dùng để đo góc và thời gian: Một độ có 60 phút, một phút có 60 giây,…
Tại sao người Babilon lại thích sử dụng hệ đếm cơ số 60 đến như vậy? Cho đến
nay có nhiều giả thuyết khác nhau về vấn đề này. Một giải thích là do sự hiểu
biết của người Babilon về hệ mặt trời: Người Babilon đã quan sát thấy chu kì của
trái đất quay quanh mặt trời là 360 ngày. Có giả thuyết cho rằng vì 60 có nhiều
ước số: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 nên khi thực hiện phép chia thì sẽ thu
được nhiều số chẵn (nguyên). Còn số 10 chỉ có 2 ước là 2 và 5 nên khi thực hiện
phép chia thì sẽ thu được nhiều số lẻ (phân số). Để biểu diễn số trong hệ đếm cơ
số 60 thì ta phải sử dụng 60 ký tự. Và trong hệ đếm này thì mỗi chữ số đứng bên
trái bằng 60 lần chữ số đứng ngay bên phải nó nếu hai chữ số đó giống nhau.
Hệ đếm cơ số 5 Thời cổ đại các bộ tộc nguyên thủy thường dùng hệ đếm cơ số
5, nó tương ứng với việc đếm trên năm ngón tay. Ở hệ đếm này thì cứ được 5 thì
thêm một nấc (đủ 5 thì thêm một đơn vị vào hàng bên trái nó). Như vậy trong hệ
đếm cơ số 5 người ta phải sử dụng 5 ký tự 0, 1, 2, 3, 4. Và cũng giống ở các hệ
đếm khác, mỗi chữ số đứng bên trái bằng 5 lần chữ số đứng bên phải nó nếu hai
chữ số đó giống nhau. Hiện nay người Trung Quốc và người Nhật Bản vẫn còn
dùng các bàn tính gẩy dựa trên hệ đếm cơ số 5.
Hệ đếm cơ số 20 Có những dân tộc dùng cả 10 ngón chân và 10 ngón tay để
đếm và được 20 thì họ thêm một nấc (đủ 20 thì thêm một đơn vị vào hàng bên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
You must be registered for see links
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi6
trái nó). Chính vì vậy mà có hệ đếm cơ số 20. Hệ đếm này được người Maia cổ
sử dụng. Cho đến ngày nay ở Đan Mạch và ở Pháp người ta vẫn sử dụng hệ đếm
cơ số 20. Với họ 60 được hiểu là 3 lần 20; 80 được hiểu là 4 lần 20 (quatre
vingts-quatre=bốn, vingt=20 tiếng Pháp); 90 được hiểu là 4 lần 20 rưỡi; 93 được
hiểu là thêm 3 vào 4 lần 20 rưỡi.
Cách nói đơn vị trước khi nói hàng chục trước thế kỷ 18 rất phổ biến ở châu Âu,
cho đến nay ở Đức vẫn còn sử dụng.
Ở hệ đếm cơ số 20 ta phải sử dụng 20 chữ số, ngoài các chữ số từ 0 đến 9 người
ta còn đưa vào các chữ cái thay cho các giá trị số từ 10 đến 19. Và cũng giống ở
các hệ đếm trên thì mỗi chữ số đứng bên trái bằng 20 lần chữ số đứng bên phải
nó nếu 2 chữ số đó giống nhau.
Trong đo lường người ta còn sử dụng nhiều hệ đếm khác nữa.
Hệ đếm cơ số 12 được sử dụng ở nhiều nước trên thế giới và cho đến ngày nay
vẫn được sử dụng nhiều ở Anh, và nhiều nơi trên thế giới cũng vẫn còn sử dụng
hệ đếm cơ số 12. Một thước Anh không phải là 10 tấc Anh mà là 12 tấc Anh.
Chúng ta vẫn hay dùng đơn vị inch, 18 inch không phải là một thước và 8 tấc mà
là một thước Anh và 6 tấc Anh. Ở Anh người ta còn dùng đơn vị “tá” gồm 12
chiếc, 12 “tá” gọi là một “rá”. Có lẽ người Trung Quốc cũng đã sử dụng hệ đếm
cơ số 12 và hệ đếm cơ số 60 (chu kì của 12 con giáp,…).
Tùy theo yêu cầu thực tế mà người ta lại dùng các hệ đếm với cơ số mới.
Hệ đếm cơ số 2 hay hệ đếm nhị phân (binary system, được viết tắt là Bin trên
các máy tính khoa học và máy tính Caculator được cài đặt trên Window). Khi
máy tính điện tử xuất hiện, người ta sử dụng hệ đếm nhị phân. Đó là hệ đếm chỉ
sử dụng hai ký tự 1 và 0. Mỗi ký tự đứng bên trái bằng hai lần ký tự đứng bên
phải nó nếu các ký tự đó là như nhau. Việc sử dụng hệ đếm nhị phân với hai ký
tự 0 và 1 rất gần với logic vì mệnh đề chỉ có thể nhận một trong hai giá trị đúng
hay sai tương ứng với giá trị 1 hay 0. Nó cũng tương ứng với việc một mạch
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
You must be registered for see links
điện chỉ có thể ở một trong hai trạng thái đóng hay mở. Phép đếm nhị phân
cùng với phép toán logic là cơ sở hoạt động của máy tính.
Do chỉ có hai ký tự nên việc biểu diễn của một số trong hệ đếm cơ số 2 rất dài,
vì vậy trong máy tính còn sử dụng hệ đếm cơ số 8 và hệ đếm cơ số 16, rất thuận
tiện trong biểu diễn các số vì 2 là ước của 8 và 16.
Hệ đếm cơ số 8 hay hệ bát phân (octal system, được viết tắt là Oct trên các máy
tính khoa học và máy tính Caculator). Đây là hệ đếm sử dụng 8 ký tự 0, 1, 3, 4,
5, 6, 7. Mỗi ký tự đứng bên trái bằng 8 lần ký tự đứng bên phải nó nếu hai ký tự
đó giống nhau.
Hệ đếm cơ số 16 (hexadecimal system, được viết tắt là Hex trên các máy tính
khoa học và Caculator). Nếu chỉ sử dụng 10 ký tự từ 0 đến 9 như ở hệ đếm thập
phân thì chưa đủ để biểu diễn các số trong hệ đếm cơ số 16. Vì vậy người ta đưa
thêm vào các ký tự: A, B, C, D, E, F tương ứng với 10, 11, 12, 13, 14, 15. Như
vậy ở hệ đếm này ta sử dụng 16 ký tự: 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Mỗi ký tự đứng bên trái bằng 16 lần ký tự đứng bên phải nó nếu hai ký tự đó
giống nhau.
Thực ra thì hệ đếm cơ số 16 cũng đã có ở Trung Quốc từ xưa, vì thời trước 1 cân
của Trung Quốc có tới 16 lạng (bên tám lạng bên nửa cân, bằng nhau).
Hệ đếm cơ số 24 dùng đếm số giờ trong 1 ngày.
Hệ đếm cơ số 30 đếm số ngày trong tháng.
Hệ đếm cơ số 3 (hệ tam phân) gồm ba chữ số 0, 1, 2 hay 0, 1, 1 . Hệ đếm cơ số 3
dùng để đếm số tháng trong quí. Có dân tộc đã sử dụng hệ đếm cơ số 3 trong
thời gian dài. Với những số lớn hơn 3 thì họ dùng từ vài hay nhiều. Do tính chất
đối xứng nên hệ đếm cơ số 3 có nhiều tính chất thú vị và tiện dụng trong nghiên
cứu, vì vậy ở một số phòng thí nghiệm đặc biệt người ta sử dụng máy tính mà
thiết kế dựa trên cơ số 3. Tuy nhiên loại máy tính này ít được sử dụng rộng rãi.
Hệ đếm cơ số 7 đếm số ngày trong tuần,…
Mỗi ký tự được biểu diễn bằng các số liên tiếp hơn kém nhau một đơn vị
trong bảng ký tự ASCII. Lưu ý rằng số 32 là mã ASCII của ký tự trống (space).
Nếu đổi sang mã nhị phân thì ký tự trống này có giá trị 00100000. Với bộ ký tự
ASCII chuẩn, 32 giá trị đầu tiên (từ 0 đến 31) là các biến điều khiển, ký tự thứ
33 là trống, tiếp theo là các ký tự đặc biệt, chữ số, chữ cái hoa và chữ cái thường.
Các bội số của Byte là (tên gọi viết tắt độ lớn):
Kilo K 2^10 = 1024; Mega M 2^20 = 1048576; Giga G 2^30 = 1073741824;
Tera T 2^40 = 1099511627776;Peta P 2^50 = 1125899906842624
Exa E 2^60 = 1152921504606846976;
Zetta Z 2^70 = 1180591620717411303424;
Yotta Y 2^80 = 1208925819614629174706176.
KẾT LUẬN CHƯƠNG
Qua phần trình bày trong chương này ta thấy rằng nếu máy tính đã được cài đặt
phần mềm Maple thì việc chuyển đổi biểu diễn của một số trong các hệ đếm cơ
số khác nhau, và thực hiện các phép toán số học đối với các số ở các hệ đếm với
cơ số khác nhau hoàn toàn đơn giản và chính xác. Các máy tính khoa học và
Calculator cũng có thể làm được các công việc này với số nguyên nhỏ trong các
hệ đếm đã được cài đặt sẵn. Tuy nhiên nếu có cách nào đó để có thể thực hiện
các phép tính số học trên các hệ đếm với cơ số khác nhau mà không phải thông
qua hệ đếm thập phân thì sẽ tiện lợi hơn nhiều. Hơn nữa phần chuyển đổi hệ đếm
đối với số thập phân thì phần mềm Maple vẫn còn hạn chế chưa sử dụng được
như với số nguyên.
Việc nghiên cứu các nguyên tắc, các cách chuyển đổi số giữa các hệ đếm,
cách thực hiện các phép toán số học là cần thiết, mặc dù có máy tính và các phần
mềm hỗ trợ tính toán.
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links
Last edited by a moderator: