pretty_angel_9x
New Member
Download Hệ thống kiến thức lượng giác với bài tập đi kèm miễn phí
Các bước giải một phương trình lượng giác
Bước 1:Tìm điều kiện (nếu có
của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa Bước 2:Sử dụng các phép biến đổi tương đươngđể biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải
Bước 3:Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có
Bước 4:Kết luận
Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho
Tóm tắt nội dung:
33Chuyên đề 8: LƯỢNG GIÁC
TÓM TẮTGIÁO KHOA
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Đơn vị đo góc và cung:
1. Độ:
bẹtgóc 01 Góc 180
1=
2. Radian: (rad)
rad 0180 π=
3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:
Độ 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600
Radian 0
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2π
4
3π
6
5π π π2
II. Góc lượng giác & cung lượng giác:
1. Định nghĩa:
2. Đường tròn lượng giác:
Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:
ππ
π
ππ
ππ
ππ
π
k
CA
k
C
k
A
+→
→
+→
+→
+→
→
2 DB,
k ,
22- D
2k
22 B
2k
x
y
(tia gốc)
Z)(k 2),( ∈+= πα kOyOx
+
t
(tia ngọn)
O
α
.
y x
o180
O
+
−
x
y
OC A
B
D
x
y
B
α M
α
(điểm gốc)
+
t
O A
(điểm ngọn)
πα 2kAB +=
34
III. Định nghĩa hàm số lượng giác:
1. Đường tròn lượng giác:
• A: điểm gốc
• x'Ox : trục côsin ( trục hoành )
• y'Oy : trục sin ( trục tung )
• t'At : trục tang
• u'Bu : trục cotang
2. Định nghĩa các hàm số lượng giác:
a. Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=α .
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox vàø y'Oy
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu
Ta định nghĩa:
cos
sin
tg
cot
OP
OQ
AT
g BU
α
α
α
α
=
=
=
=
b. Các tính chất :
• Với mọi α ta có :
1 sin 1 hay sin 1α α− ≤ ≤ ≤
1 cos 1 hay cos 1α α− ≤ ≤ ≤
• tg xác định
2
kπα α π∀ ≠ +
• cotg xác định kα α π∀ ≠
c. Tính tuần hoàn
sin( 2 ) sin
cos( 2 ) cos
( )
cot ( ) cot
k
k
tg k tg
g k g
α π α
α π α
α π α
α π α
+ =
+ =
+ =
+ =
)( Zk ∈
+
−
x
y
OC A
B
D
1
1
1=R1−
1−
'x
'u
u
t
't
'y
y t
'u
't
t
x
u
'y
'x O
t
1−
Q
B
T
α
M
α
AP
U
Trục cosin
Trục tang
Trục sin Trục cotang
+
−
35
IV. Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt
- 3
-1
- 3 /3
(Điểm gốc)
t
t'
y
y'
xx'
uu'
- 3 -1 - 3 /3
1
1
-1
-1
-π/2
π
5π/6
3π/4
2π/3
-π/6
-π/4
-π/3
-1/2
- 2 /2
- 3 /2
-1/2- 2 /2- 3 /2 3 /22 /21/2
3 /2
2 /2
1/2
A
π/3
π/4
π/6
3 /3
3
B π/2 3 /3 1 3
O
00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 Góc
Hslg
0
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2π
4
3π
6
5π π π2
sinα 0
2
1
2
2
2
3 1
2
3
2
2 2
1 0 0
cosα 1
2
3
2
2
2
1 0
2
1−
2
2−
2
3− -1 1
tgα 0
3
3
1 3 kxđ 3− -1
3
3− 0 0
cotgα kxđ 3 1
3
3 0
3
3− -1 3− kxđ kxđ
+
−
36
V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
Đó là các cung :
1. Cung đối nhau : và -α α (tổng bằng 0) (Vd:
6
&
6
ππ − ,…)
2. Cung bù nhau : và -α π α ( tổng bằng π ) (Vd:
6
5&
6
ππ ,…)
3. Cung phụ nhau : và
2
πα α− ( tổng bằng
2
π ) (Vd:
3
&
6
ππ ,…)
4. Cung hơn kém
2
π : và
2
πα α+ (Vd:
3
2&
6
ππ ,…)
5. Cung hơn kém π : và α π α+ (Vd:
6
7&
6
ππ ,…)
1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau :
cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
α α
α α
α α
α α
− =
− = −
− = −
− = −
cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
− = −
− =
− = −
− = −
3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém
2
π
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
− =
− =
− =
− =
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
+ = −
+ =
+ = −
+ = −
5. Cung hơn kém π :
cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
+ = −
+ = −
+ =
+ =
Đối cos Bù sin
Phụ chéo
Hơn kém
2
π
sin bằng cos
cos bằng trừ sin
Hơn kém π
tang , cotang
37
Ví dụ 1: Tính )
4
11cos( π− ,
4
21πtg
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: )3cos()2cos()
2
cos( xxxA ++−++= πππ
VI. Công thức lượng giác:
1. Các hệ thức cơ bản:
2 2cos sin 1
sintg =
cos
coscotg =
sin
α α
αα α
αα α
+ =
2
2
2
2
11 tg =
cos
11 cotg =
sin
tg . cotg = 1
α α
α α
α α
+
+
Ví dụ: Chứng minh rằng:
1. 4 4 2 2cos sin 1 2sin cosx x x x+ = −
2. xxxx 2266 cossin31sincos −=+
2. Công thức cộng :
cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
tg +tgtg( + ) =
1 .
tg tgtg( ) =
1 .
tg tg
tg tg
α β α β α β
α β α β α β
α β α β β α
α β α β β α
α βα β α β
α βα β α β
+ = −
− = +
+ = +
− = −
−
−− +
Ví dụ: Chứng minh rằng:
πα α α
πα α α
+ = −
− = +
1.cos sin 2 cos( )
4
2.cos sin 2 cos( )
4
3. Công thức nhân đôi:
α α α
α
α
α α
α α α
αα α
= −
= −
= −
= −
=
= −
2 2
2
2
4 4
2
cos2 cos sin
2 cos 1
1 2sin
cos sin
sin 2 2sin .cos
22
1
tgtg
tg
2
2cos1cos2 αα +=
2
2cos1sin 2 αα −=
ααα 2sin
2
1cossin =
38
4 Công thức nhân ba:
3
3
cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
α α α
α α α
= −
= −
5. Công thức hạ bậc:
α
αααααα
2cos1
2cos1;
2
2cos1sin;
2
2cos1cos 222 +
−=−=+= tg
6.Công thức tính sin ,cos ,tgα α α theo
2
t tgα=
2
2 2 2
2 1 2sin ; cos ;
1 1 1
t t ttg
t t t
α α α−= = =+ + −
7. Công thức biến đổi tích thành tổng :
[ ]
[ ]
[ ]
1cos .cos cos( ) cos( )
2
1sin .sin cos( ) cos( )
2
1sin .cos sin( ) sin( )
2
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
= + + −
= − − +
= + + −
Ví dụ:
1. Biến đổi thành tổng biểu thức: xxA 3cos.5cos=
2. Tính giá trị của biểu thức:
12
7sin
12
5cos ππ=B
8. Công thức biến đổi tổng thành tích :
cos cos 2 cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2 cos .sin
2 2
sin( )
cos cos
sin( )
cos cos
tg tg
tg tg
α β α βα β
α β α βα β
α β α βα β
α β α βα β
α βα β α β
α βα β α β
+ −+ =
+ −− = −
+ −+ =
+ −− =
++ =
−− =
4
cos33coscos3 ααα +=
4
3sinsin3sin 3 ααα −=
39
Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức: 3xsin 2x sinsin ++= xA
9. Các công thức thường dùng khác:
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
π πα α α α
π πα α α α
+ = − = +
− = + = − −
8
4cos35sincos
4
4cos3sincos
66
44
ααα
ααα
+=+
+=+
B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Các bước giải một phương trình lượng giác
Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải
Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)
Bước 4: Kết luận
I. Định lý cơ bản: ( Quan trọng )
u = v+k2
sinu=sinv
u = -v+k2
u = v+k2
cosu=cosv
u = -v+k2
tgu=tgv u = v+k (u;v )
2
cotgu=cotgv u = v+k (u;v k )
k
π
π π
π
π
ππ π
π π
⎡⇔ ⎢⎣
⎡⇔ ⎢⎣
⇔ ≠ +
⇔ ≠
( u; v là các biểu thức chứa ẩn và Zk ∈ )
Ví dụ : Giải phương trình:
1. sin3 sin( 2 )
4
x xπ= − 2.
4
3cos)
4
cos( ππ =−x
3. xx 2sin3cos = 4. 4 4 1sin cos (3 cos6 )
4
x x x+ = −
II. Các phương trình lượng giác cơ bản:
1. Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m ( Rm∈∀ )
* Gpt : sinx = m (1)
• Nếu 1m > thì pt(1) vô nghiệm
• Nếu 1m ≤ thì ta đặt m = sinα và ta có
x = +k2
(1) sinx=sin
x = ( - )+k2
α πα π α π
⎡⇔ ⇔ ⎢⎣
* Gpt : cosx = m (2)
40
• Nếu 1m > thì pt(2) vô nghiệm
• Nếu 1m ≤ thì ta đặt m = cos β và ta có
x = +k2
(2) cosx=cos
x = +k2
β πβ β π
⎡⇔ ⇔ ⎢ −⎣
* Gpt: tgx = m (3) ( pt luôn có nghiệm Rm∈∀ )
• Đặt m = tgγ thì
(3) tgx = tg x = +kγ γ π⇔ ⇔
* Gpt: cotgx = m (4) ( pt luôn có nghiệm Rm∈∀ )
• Đặt m = cotgδ thì
(4) cotgx = cotg x = +kδ δ π⇔ ⇔
Các trường hợp đặc biệt:
sin 1 x = 2
2
sinx = 0 x = k
sin 1 x = ...