Hệ thống kiến thức Tích phân và ứng dụng của tích phân

[ha_anh_p3o]

Download Hệ thống kiến thức Tích phân và ứng dụng của tích phân miễn phí

Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x^2+ x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y = x;y= 2 - x;y= 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy
Bài 3:Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y = (x-2)^2 và y = 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:
a) Trục Ox
b) Trục Oy



Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho

Tóm tắt nội dung:

Chuyên đề 13: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Bảng tính nguyên hàm cơ bản:
Bảng 1 Bảng 2
Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C
a ( hằng số) ax + C
xα
1
1
x C
α
α
+
++
( )ax b α+
a
1 1( )
1
ax b C
α
α
++ ++
1
x
ln x C+ 1
ax b+
1 ln ax b C
a
+ +
xa
ln
xa C
a
+
xe xe C+ ax be + 1 ax be C
a
+ +
sinx -cosx + C sin(ax+b)
1 cos( )ax b C
a
− + +
cosx Sinx + C cos(ax+b)
1 sin( )ax b C
a
+ +
2
1
cos x
tgx + C
2
1
cos ( )ax b+
1 ( )tg ax b C
a
+ +
2
1
sin x
-cotgx + C
2
1
sin ( )ax b+
1 cot ( )g ax b C
a
− + +
' ( )
( )
u x
u x
ln ( )u x C+
2 2
1
x a−
1 ln
2
x a C
a x a
− ++
tgx
ln cos x C− +
2 2
1
x a+
2 2ln x x a C+ + +
cotgx ln sin x C+
Phương pháp 1:
• Phân tích tích phân đã cho thành những tích phân đơn giản có công thức trong bảng nguyên
hàm cơ bản
• Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức ... và biến đổi
lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản.
Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1. 3 1( ) cos
1
f x x
x x
= + + − 2. 2
2x 5f(x)
x 4x 3
−= − +
83
Phương pháp 2: Sử dụng cách viết vi phân hóa trong tích phân
Ví dụ: Tính các tích phân: 1. 5cos sinx xdx∫ 2. costgx dxx∫ 3. 1 ln x dxx+∫
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [ ];a b . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
thì:
[ ]( ) ( ) ( ) ( )b ba
a
f x dx F x F b F a= = −∫ ( Công thức NewTon - Leiptnitz)
2. Các tính chất của tích phân:
• Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác định tại a thì : ( ) 0
b
a
f x dx =∫
• Tính chất 2: ( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= −∫ ∫
• Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi trên [ ];a b thì: ( )b
a
cdx c b a= −∫
• Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên [ ];a b và ( ) 0f x ≥ thì ( ) 0b
a
f x dx ≥∫
• Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ];a b và [ ]( ) ( ) x a;bf x g x≥ ∀ ∈ thì
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx≥∫ ∫
• Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục trên [ ];a b và ( ) ( m,M là hai hằng số)m f x M≤ ≤ thì
( ) ( ) ( )
b
a
m b a f x dx M b a− ≤ ≤∫ −
• Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ];a b thì
[ ]( ) ( ) ( ) ( )b b
a a
b
a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫
• Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ];a b và k là một hằng số thì
. ( ) . ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx=∫ ∫
• Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ];a b và c là một hằng số thì
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫
• Tính chất 10: Tích phân của hàm số trên [ ];a b cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghĩa
là : ( ) ( ) ( ) ...
b b b
a a a
f x dx f t dt f u du= =∫ ∫ ∫ =
84
Bài 1: Tính các tích phân sau:
85
1)
1
3
0
x dx
(2x 1)+∫ 2)
1
0
x dx
2x 1+∫ 3)
1
0
x 1 xdx−∫ 4) 1 2
0
4x 11 dx
x 5x 6
+
+ +∫
5)
1
2
0
2x 5 dx
x 4x 4
−
− +∫ 6)
3 3
2
0
x dx
x 2x 1+ +∫ 7)
6
6 6
0
(sin x cos x)dx
π
+∫ 8) 32
0
4sin x dx
1 cosx
π
+∫
9)
4
2
0
1 sin 2xdx
cos x
π
+∫ 10) 2 4
0
cos 2xdx
π
∫ 11) 2
6
1 sin 2x cos2xdx
sin x cosx
π
π
+ +
+∫ 12)
1
x
0
1 dx
e 1+∫ .
13) dxxx )sin(cos
4
0
44∫ −
π
14) ∫ +
4
0 2sin21
2cos
π
dx
x
x 15) ∫ +
2
0 13cos2
3sin
π
dx
x
x 16) ∫ −
2
0 sin25
cos
π
dx
x
x
17) ∫ −+−
0
2
2 32
4 dx
xx
18) ∫ ++−
1
1
2 52xx
dx
Bài 2:
1)
3
2
3
x 1dx
−
−∫ 2)
4
2
1
x 3x 2dx
−
− +∫ 3) 5
3
( x 2 x 2 )dx
−
+ − −∫ 4)
2
2
2
1
2
1x 2
x
+ −∫ dx
5)
3
x
0
2 4dx−∫ 6)
0
1 cos2xdx
π
+∫ 7) 2
0
1 sin xdx
π
+∫ 8) dxxx∫ −2
0
2
Bài 3:
1) Tìm các hằng số A,B để hàm số f(x) A sin x B= π + thỏa mãn đồng thời các điều kiện
và 'f (1) 2=
2
0
f(x)dx 4=∫
2) Tìm các giá trị của hằng số a để có đẳng thức :
2
2 3
0
[a (4 4a)x 4x ]dx 12+ − + =∫
II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
1) DẠNG 1:Tính I = bằng cách đặt t = u(x)
b
'
a
f[u(x)].u (x)dx∫
Công thức đổi biến số dạng 1: [ ] ∫=∫ )(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxuf
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt t dxxudtxu )()( '=⇒=
Bước 2: Đổi cận :
)(
)(
aut
but
ax
bx
=
=⇒=
=
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
[ ]∫= b fI (tiếp tục tính tích phân mới) ∫= )(
)(
)()('.)(
bu
aua
dttfdxxuxu
Tính các tích phân sau:
1)
2
3 2
0
cos xsin xdx
π
∫ 2) 2 5
0
cos xdx
π
∫ 3) 4 2
0
sin 4x dx
1 cos x
π
+∫ 4)
1
3 2
0
x 1 x dx−∫
5)
2
2 3
0
sin 2x(1 sin x) dx
π
+∫ 6) 4 4
0
1 dx
cos x
π
∫ 7) e
1
1 ln xdx
x
+∫ 8) 4
0
1 dx
cosx
π
∫
9)
e 2
1
1 ln xdx
x
+∫ 10) 11) 1 5 3 6
0
x (1 x ) dx−∫ 6 2
0
cosx dx
6 5sin x sin x
π
− +∫ 12)
3 4
0
tg x dx
cos2x∫
13)
4
0
cos sin
3 sin 2
x x dx
x
π
+
+∫ 14) ∫ +
2
0 22 sin4cos
2sin
π
dx
xx
x 15) ∫ −+ −
5ln
3ln 32 xx ee
dx 16) ∫ +
2
0
2)sin2(
2sin
π
dx
x
x
17) ∫3
4
2sin
)ln(
π
π
dx
x
tgx 18) ∫ −4
0
8 )1(
π
dxxtg 19) ∫ +
−2
4
2sin1
cossin
π
π
dx
x
xx 20) ∫ +
+2
0 cos31
sin2sin
π
dx
x
xx
21) ∫ +
2
0 cos1
cos2sin
π
dx
x
xx 22) ∫ +2
0
sin cos)cos(
π
xdxxe x 23) ∫ −+
2
1 11
dx
x
x 24) ∫ +
e
dx
x
xx
1
lnln31
25) ∫ +
−4
0
2
2sin1
sin21
π
dx
x
x
2) DẠNG 2: Tính I = bằng cách đặt x =
b
a
f(x)dx∫ (t)ϕ
Công thức đổi biến số dạng 2: [ ]∫=∫= β
α
ϕϕ dtttfdxxfI b
a
)(')()(
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt dttdxtx )()( 'ϕϕ =⇒=
Bước 2: Đổi cận : α
β
=
=⇒=
=
t
t
ax
bx
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
(tiếp tục tính tích phân mới) [ ]∫=∫= β
α
ϕϕ dtttfdxxfI b
a
)(')()(
Tính các tích phân sau:
1)
1
2
0
1 x dx−∫ 2) 1 2
0
1 dx
1 x+∫ 3)
1
2
0
1 dx
4 x−∫ 4)
1
2
0
1 dx
x x 1− +∫
5)
1
4 2
0
x dx
x x 1+ +∫ 6)
2
0
1
1 cos sin
dx
x x
π
+ +∫ 7)
2
22
2
0
x dx
1 x−∫ 8)
2
2 2
1
x 4 x dx−∫
86
9)
2
3
2
2
1 dx
x x 1−∫ 10)
3 2
2
1
9 3x dx
x
+∫ 11) 1 5
0
1
(1 )
x dx
x
−
+∫ 12)
2
2
2
3
1
1
dx
x x −∫
13)
2
0
cos
7 cos2
x dx
x
π
+∫ 14)
1 4
6
0
1
1
x dx
x
+
+∫ 15) 20
cos
1 cos
x dx
x
π
+∫ 16) ∫ ++−
0
1
2 22xx
dx
17) ∫ ++
1
0 311 x
dx 18) ∫ −
−2
1 5
1 dx
x
xx
II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:
Tính các tích phân sau:
1)
8
2
3
1
1
dx
x x +∫ 2)
7 3
3 2
0 1
x dx
x+∫ 3)
3
5 2
0
1x x dx+∫ 4) ln2 x
0
1 dx
e 2+∫
5)
7
3
3
0
1
3 1
x dx
x
+
+∫ 6)
2
2 3
0
1x x d+∫ x 7) ∫ +
32
5 2 4xx
dx
III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần:
[ ]∫ ∫−=b
a
b
a
b
a dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(
Hay: [ ]∫ ∫−=b
a
b
a
b
a vduvuudv .
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt
)(
)('
)('
)(
xvv
dxxudu
dxxvdv
xuu
=
=⇒=
=
Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần : [ ]∫ ∫−=b
a
b
a
b
a vduvuudv .
Bước 3: Tính [ và ]bavu. ∫b
a
vdu
Tính các tích phân sau:
1)
2
5
1
ln xdx
x∫ 2)
2
2
0
x cos xdx
π
∫ 3) 1 x
0
e sin xdx∫
4)
2
0
sin xdx
π∫ 5) 6) e 2
1
x ln xdx∫ 3 2
0
x sin xdx
cos x
π
+∫
87
7) 8) 2
0
xsin x cos xdx
π∫ 4 2
0
x(2 cos x 1)dx
π
−∫ 9)
2
2
1
ln(1 x)dx
x
+∫
10) 11) 12)
1
2 2x
0
(x 1) e dx+∫
e
2
1
(x ln x) dx∫ 2
0
cosx.ln(1 cosx)dx
π
+∫
13) 2
1
ln
( 1)
e
e
x dx
x +∫ 14)
1
2
0
xtg xdx∫ 15) ∫ −1
0
2)2( dxex x
16) 17) ∫ +
1
0
2 )1ln( dxxx ∫
e
dx
x
x
1
ln 18) ∫ +2
0
3 sin)cos(
π
xdxxx
19) 20) ∫ ++
2
0
)1ln()72( dxxx ∫ −
3
2
2 )ln( dxxx
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG
Bài 1: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-...