rainbow_luving
New Member
Download Luận văn Hiệu chỉnh phương trình tích phân tuyến tính loại I
Mục lục
Mở đầu 4
Chương 1. Một số kiến thức cơ bản 7
1.1 Một số kiến thức cơ bản của giải tích hàm . . . . . . . . . . 7
1.1.1. Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4. Sự hội tụ trong các không gian . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.5. Toán tử trong các không gian . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Khái niệm về bài toán đặt chỉnh và bài toán đặt không chỉnh 13
1.3 Khái niệm về thuật toán hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Sự tồn tại toán tử hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Xây dựng thuật toán hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . 20
Chương 2. Hiệu chỉnh cho phương trình tích phân tuyến tính loạiI 24
2.1 Nghiệm hiệu chỉnh của phương trình tích phân tuyến tính loại I 24
2.1.1. Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2. Thuật toán hiệu chỉnh trên máy tính . . . . . . . . . . . 35
2.1.3. Rời rạc hoá bài toán để tìm nghiệm xấp xỉ . . . . . . . . 38
2.2 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình tích
phân tuyến tính loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Kết quả tính toán cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Kết luận 47
Tài liệu tham khảo 48
Để tải bản DOC Đầy Đủ xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
1.1.6. Giải hệ phương trình đại số tuyến tính
Để tìm nghiệm một hệ phương trình đại số tuyến tính, tồn tại nhiều
phương pháp số khác nhau.Tuỳ đặc điểm của từng ma trận hệ số, ta có thể
chọn phương pháp nào cho có lợi hơn cả. Khi tìm nghiệm hiệu chỉnh đã
được rời rạc hoá của bài toán không chỉnh, ta thường sử dụng tính đối xứng
và tính không âm của ma trận hệ số. Trong mục này, chúng tui giới thiệu
phương pháp căn bậc 2, các phương pháp khác có thể xem trong [2].
• Phương pháp căn bậc 2
Cho hệ phương trình đại số Ax = b với A là một ma trận vuông cấp n
đối xứng và xác định dương. Các thành phần của A được kí hiệu là aij và
b = (b1, b2, ...., bn)
T
là chuyển vị của véctơ hàng. Ta có thể biểu diễn ma
12
trận A = U ∗U với
U =
u11 u12 u13 . . . u1n
0 u22 u23 . . . u2n
0 0 u33 . . . u3n
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
0 0 0 . . . unn
.
và U ∗ là ma trận chuyển vị của U . Các thành phần uij được xác định lần
lượt theo công thức sau
u11 =
√
a11, u1j =
a1j
u11
, j = 2, 3, ...n;
uii =
√√√√aii − i−1∑
k=1
u2ki, i = 2, 3, ...., n;
uij =
1
uii
(aij −
i−1∑
k=1
ukiukj), i j.
Do đó hệ phương trình Ax = b được chia làm hai hệ phương trình U ∗y = b
và Ux = y. Lần lượt giải hai hệ phương trình đại số với ma trận tam giác
ta có nghiệm x.
1.2 Khái niệm về bài toán đặt chỉnh và bài toán đặt không chỉnh
Khái niệm về bài toán đặt chỉnh được J. Hadamard đưa ra khi nghiên
cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình
elliptic cũng như parabolic (xem [6]).
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X và Y là hai không gian metric với các độ đo
tương ứng là ρX(x1, x2) ; ρY (f1, f2) và A là toán tử từ X vào Y. Xét phương
trình:
Ax = f, f ∈ Y, (1.4)
13
Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Y được gọi là bài toán đặt
chỉnh trên cặp không gian mêtric (X, Y ) nếu:
1) ∀f ∈ Y, ∃xf ∈ X : A(xf) = f ;
2) xf được xác định một cách duy nhất;
3) xf phụ thuộc liên tục vào f.
Định nghĩa 1.2.2. Nếu một trong ba điều kiện trên không thoả mãn thì bài
toán đã cho gọi là bài toán đặt không chỉnh.
Chú ý 1.1.1.
i) Đối với các bài toán phi tuyến thì điều kiện thứ hai hầu như không
thoả mãn. Do vậy hầu hết các bài toán phi tuyến đều là bài toán đặt không
chỉnh.
ii) Bài toán tìm nghiệm x phụ thuộc vào dữ kiện f , nghĩa là x = R(f),
được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y ) nếu với mỗi ε > 0 tồn tại
một số δ(ε) > 0 sao cho từ ρY (f1, f2) ≤ δ(ε) cho ta ρX(x1, x2) ≤ ε, ở đây
xi = R(fi), xi ∈ X, fi ∈ Y, i = 1, 2.
iii) Một bài toán có thể đặt chỉnh trên cặp không gian này nhưng lại
đặt không chỉnh trên cặp không gian khác.
Trong nhiều ứng dụng thì vế phải của (1.4) thường được cho bởi đo
đạc, nghĩa là thay cho giá trị chính xác f , ta chỉ biết xấp xỉ fδ của nó thoả
mãn ‖fδ − f‖ ≤ δ. Giả sử xδ là nghiệm của (1.4) với f thay bởi fδ (giả
thiết rằng nghiệm tồn tại). Khi δ → 0 thì fδ → f nhưng với bài toán đặt
không chỉnh thì xδ nói chung không hội tụ đến x.
Ví dụ 1.2.1. Bài toán tìm nghiệm của phương trình tích phân Fredholm loại
I là bài toán đặt không chỉnh.
14
Xét phương trình Fredholm loại I:∫ b
a
K(t, s)x(s)ds = f0(t), t ∈ [a, b], (1.5)
−∞ < a < b < +∞
ở đây nghiệm là một hàm x0(s), vế phải f0(t) là một hàm số cho trước và
nhân (hạch) K(t, s) của tích phân cùng với ∂K/∂t được giả thiết là các
hàm liên tục cho trước. Ta xét hai trường hợp sau:
• Trường hợp 1
A : C[a, b]→ L2[a, b]
x(s) 7→ f0(t) =
∫ b
a
K(t, s)x(s)ds.
Sự thay đổi vế phải được đo bằng độ lệch trong không gian L2[a, b], tức là
khoảng cách giữa hai hàm f1(t) và f2(t) trong L2[a, b] được xác định bởi
ρL2[a,b](f1, f2) =
{∫ b
a
|f1(t)− f2(t)|2dt
}1/2
.
Giả sử phương trình (1.5) có nghiệm x0(s). Khi đó với vế phải
f1(t) = f0(t) +N
∫ b
a
K(t, s)sin(ω.s)ds
Phương trình (1.5) có nghiệm x1(s) = x0(s) + Nsin(ω.s). Với N bất kì,
ω đủ lớn thì khoảng cách giữa hai hàm f0, f1 trong L2[a, b] là:
ρL2[a,b](f0, f1) = |N |
[∫ b
a
(∫ b
a
K(t, s)sin(ω.s)ds
)2
dt
]1/2
có thể làm nhỏ tuỳ ý. Thật vậy, đặt:
Kmax = max
s∈[a,b] t∈[a,b]
|K(t, s)|
Ta tính được
ρL2[a,b](f0, f1) ≤ |N |
[∫ b
a
(
Kmax.
1
ω
.cos(ω.s) |ba
)2
dt
]1/2
≤ |N |.Kmax.c0
ω
.
15
ở đây c0 là một hằng số dương. Ta chọn N và ω lớn tuỳ ý nhưng
N
ω
lại nhỏ.
Khi đó:
ρC[a,b](x0, x1) = max
s∈[a,b]
|x0(s)− x1(s)| = |N |
có thể lớn bất kì.
• Trường hợp 2
A : L2[a, b]→ L2[a, b]
x(s) 7→ f0(t) =
∫ b
a
K(t, s)x(s)ds,
Khoảng cách giữa hai nghiệm x0, x1 trong L2[a, b] cũng có thể lớn bất kì.
Thật vậy,
ρL2[a,b](x0, x1) =
[∫ b
a
|x0(s)− x1(s)|2ds
]1/2
= |N |
[∫ b
a
sin2(ω.s)ds
]1/2
= |N |
√
b− a
2
− 1
2ω
sin(ω(b− a)).cos(ω(b+ a)).
Dễ dàng nhận thấy hai số N và ω có thể chọn sao cho ρL2[a,b](f0, f1) rất
nhỏ nhưng vẫn cho kết quả ρL2[a,b](x0, x1) rất lớn. Như vậy sự thay đổi nhỏ
của dữ kiện ban đầu dẫn đến sự thay đổi lớn về nghiệm. Do đó bài toán tìm
nghiệm của phương trình tích phân Fredholm loại I là bài toán đặt không
chỉnh.
1.3 Khái niệm về thuật toán hiệu chỉnh
Xét bài toán
Ax = f0, (1.6)
trong đó A là một toán tử từ không gian metric X vào không gian mêtric
Y và f0 ∈ Y . Để tìm nghiệm xấp xỉ của (1.6) trong trường hợp tổng quát
A.N. Tikhonov đã đưa ra một khái niệm mới. Đó là phương pháp hiệu chỉnh
16
dựa trên việc xây dựng toán tử hiệu chỉnh và cách chọn một giá trị của một
tham số mới đưa vào (xem [4]− [5]).
Giả sử A−1 không liên tục và thay cho f0 ta biết fδ : |fδ − f0| ≤ δ → 0.
Bài toán đặt ra là dựa vào thông tin về (A, fδ) và mức sai số δ, tìm một
phần tử xấp xỉ nghiệm chính xác x0. Rõ ràng là không thể xác định phần
tử xấp xỉ xδ theo quy tắc xδ = A
−1.fδ, vì thứ nhất là A−1 có thể không xác
định với f ∈ Y , thứ hai là A−1 không liên tục nên A−1fδ nếu tồn tại, cũng
chưa chắc đã xấp xỉ A−1f .
Tham số δ chỉ cho ta mức độ sai số vế phải của (1.6). Vì vậy vấn đề
đặt ra là có thể xây dựng phần tử xấp xỉ phụ thuộc vào một tham số nào đó
và tham số này được chọn tương thích với δ sao cho khi δ → 0 thì phần tử
xấp xỉ này hội tụ tới nghiệm chính xác x0.
Như vậy, tồn tại một toán tử tác động từ không gian Y vào không gian
X theo quy tắc với mỗi fδ ∈ Y ta có phần tử xấp xỉ thuộc X .
Định nghĩa 1.3.1. Toán tử R(f, α), phụ thuộc tham số α, tác động từ Y
vào X được gọi là một toán tử hiệu chỉnh cho phương trình (1.6) nếu:
1) Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tử R(f, α) xác định với
mọi α ∈ (0, α1) và với mọi f ∈ Y : ρY (f, f0) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1);
2) Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(f, δ) sao cho ∀ > 0, ∃δ() ≤ δ1 :
∀f ∈ Y, ρY (f, f0) ≤ δ ≤ δ1 =⇒ ρY (xα, x0) ≤ , ở đây xα ∈ R(f, α(f, δ)).
Chú ý 1.1.2.
i) Trong định nghĩa này không đòi hỏi tính đơn trị của toán tử R(f, α).
ii) Phần tử xα ∈ R(fδ, α) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của phương
trình (1.6), ở đây α = α(fδ, δ) = α(δ) được gọi là tham số hiệu chỉnh.
Dễ dàng nhận thấy từ định nghĩa trên nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ
kiện ban đầu.
17
Định nghĩa 1.3.2. Như vậy việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thu
Download miễn phí Luận văn Hiệu chỉnh phương trình tích phân tuyến tính loại I
Mục lục
Mở đầu 4
Chương 1. Một số kiến thức cơ bản 7
1.1 Một số kiến thức cơ bản của giải tích hàm . . . . . . . . . . 7
1.1.1. Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4. Sự hội tụ trong các không gian . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.5. Toán tử trong các không gian . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Khái niệm về bài toán đặt chỉnh và bài toán đặt không chỉnh 13
1.3 Khái niệm về thuật toán hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Sự tồn tại toán tử hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Xây dựng thuật toán hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . 20
Chương 2. Hiệu chỉnh cho phương trình tích phân tuyến tính loạiI 24
2.1 Nghiệm hiệu chỉnh của phương trình tích phân tuyến tính loại I 24
2.1.1. Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2. Thuật toán hiệu chỉnh trên máy tính . . . . . . . . . . . 35
2.1.3. Rời rạc hoá bài toán để tìm nghiệm xấp xỉ . . . . . . . . 38
2.2 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình tích
phân tuyến tính loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Kết quả tính toán cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Kết luận 47
Tài liệu tham khảo 48
Để tải bản DOC Đầy Đủ xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Tóm tắt nội dung:
+ .1.1.6. Giải hệ phương trình đại số tuyến tính
Để tìm nghiệm một hệ phương trình đại số tuyến tính, tồn tại nhiều
phương pháp số khác nhau.Tuỳ đặc điểm của từng ma trận hệ số, ta có thể
chọn phương pháp nào cho có lợi hơn cả. Khi tìm nghiệm hiệu chỉnh đã
được rời rạc hoá của bài toán không chỉnh, ta thường sử dụng tính đối xứng
và tính không âm của ma trận hệ số. Trong mục này, chúng tui giới thiệu
phương pháp căn bậc 2, các phương pháp khác có thể xem trong [2].
• Phương pháp căn bậc 2
Cho hệ phương trình đại số Ax = b với A là một ma trận vuông cấp n
đối xứng và xác định dương. Các thành phần của A được kí hiệu là aij và
b = (b1, b2, ...., bn)
T
là chuyển vị của véctơ hàng. Ta có thể biểu diễn ma
12
trận A = U ∗U với
U =
u11 u12 u13 . . . u1n
0 u22 u23 . . . u2n
0 0 u33 . . . u3n
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
0 0 0 . . . unn
.
và U ∗ là ma trận chuyển vị của U . Các thành phần uij được xác định lần
lượt theo công thức sau
u11 =
√
a11, u1j =
a1j
u11
, j = 2, 3, ...n;
uii =
√√√√aii − i−1∑
k=1
u2ki, i = 2, 3, ...., n;
uij =
1
uii
(aij −
i−1∑
k=1
ukiukj), i j.
Do đó hệ phương trình Ax = b được chia làm hai hệ phương trình U ∗y = b
và Ux = y. Lần lượt giải hai hệ phương trình đại số với ma trận tam giác
ta có nghiệm x.
1.2 Khái niệm về bài toán đặt chỉnh và bài toán đặt không chỉnh
Khái niệm về bài toán đặt chỉnh được J. Hadamard đưa ra khi nghiên
cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình
elliptic cũng như parabolic (xem [6]).
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X và Y là hai không gian metric với các độ đo
tương ứng là ρX(x1, x2) ; ρY (f1, f2) và A là toán tử từ X vào Y. Xét phương
trình:
Ax = f, f ∈ Y, (1.4)
13
Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Y được gọi là bài toán đặt
chỉnh trên cặp không gian mêtric (X, Y ) nếu:
1) ∀f ∈ Y, ∃xf ∈ X : A(xf) = f ;
2) xf được xác định một cách duy nhất;
3) xf phụ thuộc liên tục vào f.
Định nghĩa 1.2.2. Nếu một trong ba điều kiện trên không thoả mãn thì bài
toán đã cho gọi là bài toán đặt không chỉnh.
Chú ý 1.1.1.
i) Đối với các bài toán phi tuyến thì điều kiện thứ hai hầu như không
thoả mãn. Do vậy hầu hết các bài toán phi tuyến đều là bài toán đặt không
chỉnh.
ii) Bài toán tìm nghiệm x phụ thuộc vào dữ kiện f , nghĩa là x = R(f),
được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y ) nếu với mỗi ε > 0 tồn tại
một số δ(ε) > 0 sao cho từ ρY (f1, f2) ≤ δ(ε) cho ta ρX(x1, x2) ≤ ε, ở đây
xi = R(fi), xi ∈ X, fi ∈ Y, i = 1, 2.
iii) Một bài toán có thể đặt chỉnh trên cặp không gian này nhưng lại
đặt không chỉnh trên cặp không gian khác.
Trong nhiều ứng dụng thì vế phải của (1.4) thường được cho bởi đo
đạc, nghĩa là thay cho giá trị chính xác f , ta chỉ biết xấp xỉ fδ của nó thoả
mãn ‖fδ − f‖ ≤ δ. Giả sử xδ là nghiệm của (1.4) với f thay bởi fδ (giả
thiết rằng nghiệm tồn tại). Khi δ → 0 thì fδ → f nhưng với bài toán đặt
không chỉnh thì xδ nói chung không hội tụ đến x.
Ví dụ 1.2.1. Bài toán tìm nghiệm của phương trình tích phân Fredholm loại
I là bài toán đặt không chỉnh.
14
Xét phương trình Fredholm loại I:∫ b
a
K(t, s)x(s)ds = f0(t), t ∈ [a, b], (1.5)
−∞ < a < b < +∞
ở đây nghiệm là một hàm x0(s), vế phải f0(t) là một hàm số cho trước và
nhân (hạch) K(t, s) của tích phân cùng với ∂K/∂t được giả thiết là các
hàm liên tục cho trước. Ta xét hai trường hợp sau:
• Trường hợp 1
A : C[a, b]→ L2[a, b]
x(s) 7→ f0(t) =
∫ b
a
K(t, s)x(s)ds.
Sự thay đổi vế phải được đo bằng độ lệch trong không gian L2[a, b], tức là
khoảng cách giữa hai hàm f1(t) và f2(t) trong L2[a, b] được xác định bởi
ρL2[a,b](f1, f2) =
{∫ b
a
|f1(t)− f2(t)|2dt
}1/2
.
Giả sử phương trình (1.5) có nghiệm x0(s). Khi đó với vế phải
f1(t) = f0(t) +N
∫ b
a
K(t, s)sin(ω.s)ds
Phương trình (1.5) có nghiệm x1(s) = x0(s) + Nsin(ω.s). Với N bất kì,
ω đủ lớn thì khoảng cách giữa hai hàm f0, f1 trong L2[a, b] là:
ρL2[a,b](f0, f1) = |N |
[∫ b
a
(∫ b
a
K(t, s)sin(ω.s)ds
)2
dt
]1/2
có thể làm nhỏ tuỳ ý. Thật vậy, đặt:
Kmax = max
s∈[a,b] t∈[a,b]
|K(t, s)|
Ta tính được
ρL2[a,b](f0, f1) ≤ |N |
[∫ b
a
(
Kmax.
1
ω
.cos(ω.s) |ba
)2
dt
]1/2
≤ |N |.Kmax.c0
ω
.
15
ở đây c0 là một hằng số dương. Ta chọn N và ω lớn tuỳ ý nhưng
N
ω
lại nhỏ.
Khi đó:
ρC[a,b](x0, x1) = max
s∈[a,b]
|x0(s)− x1(s)| = |N |
có thể lớn bất kì.
• Trường hợp 2
A : L2[a, b]→ L2[a, b]
x(s) 7→ f0(t) =
∫ b
a
K(t, s)x(s)ds,
Khoảng cách giữa hai nghiệm x0, x1 trong L2[a, b] cũng có thể lớn bất kì.
Thật vậy,
ρL2[a,b](x0, x1) =
[∫ b
a
|x0(s)− x1(s)|2ds
]1/2
= |N |
[∫ b
a
sin2(ω.s)ds
]1/2
= |N |
√
b− a
2
− 1
2ω
sin(ω(b− a)).cos(ω(b+ a)).
Dễ dàng nhận thấy hai số N và ω có thể chọn sao cho ρL2[a,b](f0, f1) rất
nhỏ nhưng vẫn cho kết quả ρL2[a,b](x0, x1) rất lớn. Như vậy sự thay đổi nhỏ
của dữ kiện ban đầu dẫn đến sự thay đổi lớn về nghiệm. Do đó bài toán tìm
nghiệm của phương trình tích phân Fredholm loại I là bài toán đặt không
chỉnh.
1.3 Khái niệm về thuật toán hiệu chỉnh
Xét bài toán
Ax = f0, (1.6)
trong đó A là một toán tử từ không gian metric X vào không gian mêtric
Y và f0 ∈ Y . Để tìm nghiệm xấp xỉ của (1.6) trong trường hợp tổng quát
A.N. Tikhonov đã đưa ra một khái niệm mới. Đó là phương pháp hiệu chỉnh
16
dựa trên việc xây dựng toán tử hiệu chỉnh và cách chọn một giá trị của một
tham số mới đưa vào (xem [4]− [5]).
Giả sử A−1 không liên tục và thay cho f0 ta biết fδ : |fδ − f0| ≤ δ → 0.
Bài toán đặt ra là dựa vào thông tin về (A, fδ) và mức sai số δ, tìm một
phần tử xấp xỉ nghiệm chính xác x0. Rõ ràng là không thể xác định phần
tử xấp xỉ xδ theo quy tắc xδ = A
−1.fδ, vì thứ nhất là A−1 có thể không xác
định với f ∈ Y , thứ hai là A−1 không liên tục nên A−1fδ nếu tồn tại, cũng
chưa chắc đã xấp xỉ A−1f .
Tham số δ chỉ cho ta mức độ sai số vế phải của (1.6). Vì vậy vấn đề
đặt ra là có thể xây dựng phần tử xấp xỉ phụ thuộc vào một tham số nào đó
và tham số này được chọn tương thích với δ sao cho khi δ → 0 thì phần tử
xấp xỉ này hội tụ tới nghiệm chính xác x0.
Như vậy, tồn tại một toán tử tác động từ không gian Y vào không gian
X theo quy tắc với mỗi fδ ∈ Y ta có phần tử xấp xỉ thuộc X .
Định nghĩa 1.3.1. Toán tử R(f, α), phụ thuộc tham số α, tác động từ Y
vào X được gọi là một toán tử hiệu chỉnh cho phương trình (1.6) nếu:
1) Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tử R(f, α) xác định với
mọi α ∈ (0, α1) và với mọi f ∈ Y : ρY (f, f0) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1);
2) Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(f, δ) sao cho ∀ > 0, ∃δ() ≤ δ1 :
∀f ∈ Y, ρY (f, f0) ≤ δ ≤ δ1 =⇒ ρY (xα, x0) ≤ , ở đây xα ∈ R(f, α(f, δ)).
Chú ý 1.1.2.
i) Trong định nghĩa này không đòi hỏi tính đơn trị của toán tử R(f, α).
ii) Phần tử xα ∈ R(fδ, α) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của phương
trình (1.6), ở đây α = α(fδ, δ) = α(δ) được gọi là tham số hiệu chỉnh.
Dễ dàng nhận thấy từ định nghĩa trên nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ
kiện ban đầu.
17
Định nghĩa 1.3.2. Như vậy việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thu