Download miễn phí Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị
f(x) là hàmchẵn nên trục tung là trục đối xứng. Nên qua điểmtrên trục
tung kẻ được ba tiếp tuyến với đồthịthì phải có 1 tiếp tuyến song song với
trục hoành. Từ đó điểm cần tìmphải là điểmM(0, 1). Ta kiểm tra điều đó.
Giảsửy= ax + 1 là tiếp tuyến khác qua a. Khi đó phải có
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
www.truongthi.com.vn Môn ToánKHẢO SÁT H ÀM SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ
Giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cần tiến hành các bước sau
1) Tìm tập xác định, xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn.
Nếu hàm số chẵn hay lẻ chỉ cần khảo sát x ≥ 0, với x < 0 hàm số có tính đối
xứng.
Nếu hàm tuần hoàn thì chỉ cần xét trên một chu kì.
2) Tính y’, y”
Xét dấu y’ để tìm khoảng đơn điệu.
Xét dấu y” để tìm các khoảng lồi lõm, điểm uốn.
3) Tìm các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn
Tìm các đường tiệm cận.
Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục.
4) Lập bảng biến thiên.
5) Vẽ đồ thị.
Vẽ các đường tiệm cận (nếu có), chỉ rõ các điểm đặc biệt (cực đại, cực tiểu,
điểm uốn, các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ).
Chú ý nếu hàm y = f(x) chẵn thì đồ thị nhận trục oy làm trục đối xứng, còn
nếu hàm y = f(x) lẻ thì đồ thị có tâm đối xứng là gốc tọa độ.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
a) Hàm bậc hai : y = ax2 + bx + c a ≠ 0
Ta có
2 2b 4ac
y a x
2a 4a
− = + +
b
Đồ thị đường parabol được suy từ đồ thị hàm y = ax
2
bằng phép tịnh tiến
song song theo véctơ
2b 4ac b
r ,
2a 4a
−= −
r
.
Với a > 0, min
24ac b
y
4a
−= đạt được tại bx
2a
= − . Hàm tăng trên
b
,
2a
− +∞ , giảm trên
b
,
2a
−∞ − .
Với a < 0, max
24ac b
y
4a
−= , đạt được tại b
2a
= −x . Hàm tăng trên
, giảm trên ( ), b / 2a−∞ − ( )b / 2a,− +∞ .
b) Hàm bậc ba: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d a ≠ 0.
− Tập xác định (− ∞, + ∞)
− Ta có y’ = 3 ax2 + 2bx + c, ∆’y’ = b2 − 3 ac
y” = 6 ax + 2 b
Nếu a > 0 thì
+ Với b
2
− 3ac 0 với mọi x, khi đó hàm luôn đồng biến.
+ Với b
2
− 3ac > 0, phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 và
y’ > 0 ⇔ x ∉ [x1, x2].
Hàm số tăng (giảm) trên (−∞, x1) và (x2, + ∞) (tương ứng, trên (x1, x2)).
Điểm cực đại (cực tiểu) là (x1, y(x1)) (tương ứng (x2, f(x2)).
Nếu a < 0 thì
+ Với b
2
− 3ac < 0, y’ < 0 với ∀x, hàm y luôn nghịch biến.
2 1
www.truongthi.com.vn Môn Toán
+ Với b
2
− 3ac > 0, tương tự ta cũng có
Hàm y luôn nghịch biến trên (−∞, x1) và (x2, + ∞) y đồng biến trên (x1, x2).
Điểm cực tiểu (cực đại) (x1, f(x1)) (tương ứng (x2, f(x2)).
− Điểm uốn: y” = 0 ⇔ x = − b/3a, điểm uốn là (−b/3a, f(−b/3a)).
− Tâm đối xứng (−b/3a, f(−b/3a)) cũng là điểm uốn.
c) Hàm phân thức: ax b
cx d
y
+= + , c ≠ 0
Ta có
2
a bc ad 1
y
c dc x
c
−= +
+
− Nếu bc − ad = 0 thì ay
c
≡ , x ≠ − d/c.
− Nếu bc − ad ≠ 0 thì đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị hàm số
k
y
x
= với
2
bc ad
k
c
−=
bằng phép tịnh tiến theo véctơ r
r = (−d/c, a/c).
Đồ thị có hai tiệm cận x = − d/c và y = a/c.
d) Hàm phân thức: ( ) 2ax bx cy f x
x d
+ += = + , a ≠ 0
Ta có
( ) 2ad bd cf(x) ax b ad
x d
− += + − + +
Tập xác định R\ { }d−
( )
( )
2
2
a x d m
y '
x d
+ −=
+
, m = ad
2
− bd + c
− Nếu m = 0 thì y = ax + (b − ad), x ≠ − d
− Nếu am < 0 thì
+ Với a > 0, y’ > 0 (∀ x ≠ −d), hàm đồng biến trên (−∞, −d), (−d, +∞).
+ Với a < 0, y’ < 0 (x ≠ −d), hàm nghịch biến trên (− ∞, −d), (−d, +∞).
− Nếu am > 0 thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm 1,2 mx d a= − m
+ Nếu a > 0 thì hàm tăng trên (−∞, x1), (x2, +∞) giảm trên (x1, − d), (−d, x2)
các điểm cực đại (cực tiểu) là (x1, 2ax1 + b), (tương ứng, (x2, 2ax2 + b)
+ Nếu a < 0 thì hàm tăng trên (x1, − d1), (−d1, x2) và giảm trên (−∞, x1), (x2,
+∞).
Điểm cực tiểu là (x1, 2ax1 + b)
Điểm cực đại: (x2, 2ax2 + b).
Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) = mx
3
+ 3mx
2
− (m − 1)x − 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
b) Xác định m để hàm y = f(x) không có cực trị
Giải. a) với m = 1, y = x3 + 3x2 − 1
Tập xác định R.
4 2
www.truongthi.com.vn Môn Toán
y’ = 3x
2
+ 6x, y’ = 0 ⇔ x = 0 và x = − 2
y’ = 3(x + 2) x > 0 ⇔ x 0
y’ < 0 ⇔ − 2 < x < 0. Vậy
y tăng (giảm) thực sự trên (− ∞, − 2) và (0, +∞) (tương ứng (−2, 0)). Hàm có
điểm cực đại (− 2, 3) và cực tiểu (0, − 1).
y” = 6x + 6, y” = 0 ⇔ x = − 1, y” đổi dấu qua x = − 1 vậy y = f(x) có điểm
uốn (−1, 1).
Ta có bảng biến thiên
X 2 0
y’ + 0 0 +
Y 3 1
Đồ thị y
3
-2 0 x
-1
b) y’ = 3mx
2
+ 6mx − (m − 1)
Điều kiện cần và đủ để y = f(x) không có cực là phương trình f’ (x) = 0 không
có hai nghiệm phân biệt, nghĩa là
2
m
1m 0 0 m
4
' 9m 3m(m 1) 0
= ≠ ⇔ ≤ ≤ ∆ = + − ≤
Ví dụ 2. Cho hàm số y = x3 + mx2 − m
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3
b) Khi nào đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
c) Xác định m sao cho x ≤ 1 ⇒ y ≤ 1.
Giải a) m = 3 ⇒ y = x3 + 3x2 − 3
Tập xác định R
Chiều biến thiên y’ = 3x
2
+ 6x, y’ = 0 ⇔ x = 0 và x = − 2
y’ > 0 ⇔ x 0.
Trên (−∞, − 2), (1, +∞) hàm đồng biến
y’ < 0 ⇔ x ∈ (−2, 0), trên đó y nghịch biến
y” = 6x + 6, ta có điểm uốn (−1, −1).
Bảng biến thiên
X 2 0
y’ + 0 0 +
Y 1 3
Đồ thị xem hình vẽ
6 3
www.truongthi.com.vn Môn Toán
y
1
-2 -1 0 x
-3
b) Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi hàm số có cực đại
và cực tiểu và
ycđ. yct < 0
Thấy rằng y’ = 3x
2
+ 2mx = x(3x + 2m)
y’ = 0 ⇔ x = 0 và x = − 2m/3
Hàm có cực đại và cực tiểu ⇔ − 2m/3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 0
( ) ( ) 3c® ct 4m 27my .y y 0 .y 2m / 3 m 027−= − = − <
24m 27 0⇔ − > 3 3m
2
⇔ >
Vậy đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi m 3 3 /> 2
c) ( )y x ≤ 1 với x ≤ 1 ⇒ ( )y 0 m 1= ≤
Với m 1≤ , m ≠ 0, ta có 2m / 3 1− ≤ . Vậy, với m ∈ [−1, 1]\{ }0 để
( )y x 1≤ với x ≤ 1 điều kiện đủ là
( ) 34m1 y 2m / 3 m
27
≥ − = −
(vì y (−1) = − 1, y(1) = 1, y (0) = −m đều thuộc [−1, 1]).
Nhưng
3 24m 4m
, m 1 m
27 27
− = − ≤ ≤
1 khi m 1≤ . m = 0 cũng thỏa
mãn.
Kết luận m ∈ [−1, 1].
Ví dụ 3. Cho hàm số y = (m − 2)x3 − mx + 2 (1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = − 1
b) Chứng minh rằng khi m ∈ (0, 2) hàm không có cực đại và cực tiểu.
c) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số (1) luôn qua ba điểm cố định.
Giải
a) Tập xác định R
y’ = − 9x2 + 1 = 0 ⇔ x = − 1/3 và x = 1/3
Điểm cực đại (−1/3, 16/9), cực tiểu (1/3, 20/9).
y” = − 18x = 0 ⇔ x= 0, điểm uốn (0, 2).
Bảng biến thiên
8 4
www.truongthi.com.vn Môn Toán
X 1/3 1/3
Y’ 0 + 0
Y 16/9 20/9
y
4
20/9
16/9
-1 -1/3 0 1/3 1 x
b) y’ = 3(m − 2)x2 − m
Khi m ∈ (0, 2) ⇒ m / 3(m − 2) < 0 và phương trình y’ = 0 vô nghiệm.
c) y = mx
3
− 2x3 − mx + 2 ⇔ mx (x2 − 1) − 2(x3 − 1) − y = 0
Điểm cố định (xo, yo) phải thỏa mãn ( )
( )
2 o oo o
o o
3
o o o o
x 0, y 2x x 1 0
x 1, y 4 ,
y 2 x 1 x 1 y 0
= = − = ⇔ = − = = − − = =
Đồ thị luôn đi qua 3 điểm cố định (0, 2), (− 1, 4), (1, 0).
Ví dụ 4. Cho hàm số
y = f(x) = 2x
3
− 3(2m + 1)x2 + 6m (m + 1)x + 1 (1)
a) Tìm quĩ tích điểm uốn
b) Tìm quĩ tích điểm cực đại
c) Tìm quĩ tích trung điểm đoạn nối điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị.
Giải. a) y’ = 6x2 − 6(2m + 1) x + 6m(m + 1)
y” = 12x − 6(2m + 1), y” = 0 ⇔ 2m 1x
2
+=
y” đổi dấu khi x ...