Download miễn phí Luận văn Một số định lý cổ điển và họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình trong giải tích phức nhiều biến
MỤC LỤC
Lời nói đầu . 1
Chƣơng I: Một số kiến thức chuẩn bị . 3
1.1 Một số khái niệm cơ bản . 3
1.2 Họ các ánh xạ chuẩn tắc . 5
Chƣơng II: Họ chuẩn tắc đều trên các đa tạp hyperbolic . 11
2.1 Một số tính chất của họ chuẩn tắc đều trên các đa tạp hyperbolic. 11
2.2 Tổng quát hóa một số định lý cổ điển của giải tích phức đối với họ
chuẩn tắc đều trên các đa tạp hyperbolic . 20
2.3 Một số ví dụ về các họ chuẩn tắc đều . 26
Chƣơng III: Họ chuẩn tắc đều trên các không gian phức và tổng quát hóa
các định lý cổ điển của Schottky, Lappan, Bohr về các họ chuẩn tắc đều . 29
3.1 Một số tính chất của họ chuẩn tắc đều trên không gian phức tùy ý . 29
3.2 Tổng quát hóa một số định lý cổ điển của giải tích phức đối với họ
chuẩn tắc đều trên các không gian phức tùy ý . 32
Kết luận . 42
Tài liệu tham khảo . 43
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
3 & 5 6 .
3 4 .
Ta có với mỗi hàm độ dài E trên Y và tập compact
,Q Y
tồn tại
0c
sao cho
df p c
trên
1f Q
với mỗi
f F
.
Thật vậy, ta giả sử ngược lại, nếu tồn tại một tập compact
Q Y
không
thỏa mãn điều kiện trong phát biểu trên đối với hàm độ dài E thì khi đó tồn tại
các dãy
, ,n n np f v
và
,q Q
trong đó
, , ,
nn n n p
p M f F v T M
, , 1,n n M n n n nf p Q K p v f p q
và
, , .n n n n nE f p df p v n
Theo bổ đề 2.1.3, suy ra
n ndf p
và tồn tại một dãy
,n H D M
thỏa mãn:
0n np
và
0 .n ndf
Cho V là một lân cận compact tương đối của q nhúng hyperbolic trong Y.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Theo
3
, vì
,F H D M
là tập con liên tục đồng đều của
,H D Y
nên tồn
tại một số
0 1r
sao cho
.n n rf D V
Mặt khác, có một dãy con là hạn chế của
n nf
trên
r
D
mà ta vẫn ký hiệu
là
,n nf
là chuẩn tắc đều và do đó ta có dãy
n nf
là compact tương đối
trong
, .rH D Y
Suy ra, tồn tại một dãy con của dãy
n nf
hội tụ tới
, .rh H D Y
Điều này
mâu thuẫn với
0 .n ndf
Vậy
4
được chứng minh.
4 5 .
Cho E là hàm độ dài thỏa mãn
4
. Nếu
n nf
là một dãy Brody đối
với F thì ta có:
0 , 0, 0 , 0,
1
0, 0 khi .
n
n n n n M n n
D
E f df e K d e
K e n
n
Do đó,
5
đúng.
4 1 .
Từ
4
suy ra tồn tại hàm khoảng cách
E
d
trên Y sao cho với mỗi
,f F H D M
là ánh xạ giảm khoảng cách từ
D
k
tới
E
d
. Khi đó, từ mệnh
đề 1.2.9 và 1.2.14 suy ra
1
đúng.
6 4 .
Giả sử
4
sai, khi đó với bất kỳ hàm độ dài E trên Y tồn tại các dãy
nf F
và
,n H D M
thỏa mãn
0 .n ndf
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Khi đó, ta có tồn tại một dãy Brody
ng
và giới hạn Brody g đối với F thỏa
mãn
n
g g
trên các tập con compact của và thỏa mãn:
0 , 0 1.n nE g dg
Điều này mâu thuẫn với
6 .
Suy ra
4
đúng.
Vậy định lý hoàn toàn được chứng minh.
Nhận xét. Ta có thể nói thêm rằng điều kiện
4
của định lý 2.1.4 là tổng
quát hóa định lý của Lehto và Virtanen [26] vì mọi hàm độ dài trên các không
gian phức compact là tương đương. Hahn [11] đã tổng quát hóa định lý này
với
, ,nf H P
trong đó
là miền thuần nhất bị chặn trong
.n
Việc chứng minh
6 4
trong định lý trên có thể chứng minh bằng
một cách khác với lập luận tương tự chứng minh khi tổng quát định lý cổ điển
của Lohwater và Pommerenke [26] trong định lý 2.2.5 của chương này.
2.1.5 Định lý
Hàm phân hình
1:f D P
là chuẩn tắc khi và chỉ khi
.df
2.1.6 Hệ quả
Cho M là một đa tạp hyperbolic,
,F H M Y
là họ chuẩn tắc đều. Khi đó:
(1) Mọi dãy Brody đối với F đều có một dãy con hội tụ tới một giới
hạn Brody đối với F trên các tập con compact của .
(2) Mọi giới hạn Brody đối với F đều là hằng.
Chứng minh. Trước hết, từ
4
trong định lý 2.1.4 suy ra tồn tại hàm độ dài
E trên Y thỏa mãn F làm giảm khoảng cách từ
M
k
tới
E
d
.
Chứng minh
1 .
Nếu m là một số nguyên dương và
ng
là một dãy Brody đối với F thì với
mỗi
:ng G g n m
là ánh xạ giảm khoảng cách từ
mD
k
tới
E
d
.
Vì vậy, theo mệnh đề 1.2.14 suy ra G là compact tương đối trong
, .mC D Y
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Chứng minh
2 .
Giả sử
ng
là một dãy Brody đối với F và g là một giới hạn Brody đối với F
thỏa mãn
n
g g
trên các tập con compact của
.
Khi đó:
+) Nếu
,p q
và
,g p g q Y
thì với n đủ lớn ta có:
, , .
nE n n D
d g p g q k p q
Vì
, 0
nD
k p q
nên
.g p g q
+) Nếu
g p
thì từ tính liên tục của g và tính liên thông của ta
có
g q
vì
g Y
có nhiều nhất là một điểm. Hệ quả được chứng minh.
Hệ quả sau là một tiêu chuẩn đối với họ chuẩn tắc đều trên các đa tạp
hyperbolic.
2.1.7 Hệ quả
Giả sử M là một đa tạp hyperbolic, Y là một không gian phức và
,F H M Y
thỏa mãn
F x
là compact tương đối trong Y với mỗi
.x M
Khi đó, F là họ chuẩn tắc đều nếu và chỉ nếu mỗi giới hạn Brody đối
với F là hằng.
Chứng minh. Trước hết, theo
2
của hệ quả 2.1.6 thì ta có nếu F là họ chuẩn
tắc đều thì mỗi giới hạn Brody đối với F là hằng.
Ngược lại, giả sử với mỗi giới hạn Brody đối với F là hằng nhưng F
không là họ chuẩn tắc đều. Khi đó, giới hạn Brody g được xây dựng trong
phần chứng minh
6 4
của định lý 2.1.4 không là hằng vì
0g Y
. Hơn
nữa,
n
g g
mà
0 , 0 1n nE g dg
nên
0 , 0 1.E g dg
Do đó,
0.dg
Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Suy ra F là họ chuẩn tắc đều. Vậy hệ quả
được chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Trong trường hợp đối với mặt cầu Riemann
1P
ta có kết quả sau.
2.1.8 Hệ quả
Cho M là một đa tạp hyperbolic,
, .F H M
Khi đó, các mệnh đề
sau tương đương:
(1) F là chuẩn tắc đều.
(2) F là chuẩn tắc đều như là một tập con của
1, .H M P
(3) Nếu g là một giới hạn Brody đối với F và
,g H
thì g là hằng.
Chứng minh. Từ hệ quả 2.1.7 và bổ đề Hurwitz ta có ngay các kết luận của
hệ quả 2.1.8.
Tiếp theo, từ những kết quả trên về giới hạn của các dãy Brody, chúng
ta có một số tính chất đặc trưng của không gian hyperbolic và không gian
nhúng hyperbolic. Nhưng trước hết, ta đưa ra khái niệm không gian phức
hyperbolic Brody như sau:
2.1.9 Định nghĩa
Một không gian phức Y được gọi là hyperbolic Brody nếu mỗi ánh xạ
chỉnh hình
,f H Y
đều là ánh xạ hằng.
Nhận xét. Không gian phức
Y
là hyperbolic Brody nếu và chỉ nếu mọi giới
hạn Brody đối với ánh xạ đồng nhất
:i Y Y
với giá trị trong
Y
là hằng . Tức
là, nếu
,f H Y
và
nf
là một dãy thỏa mãn
,n nf H D Y
và
n
f f
trên các tập con compact của
,
thì
f
là hằng.
Các hệ quả 2.1.10 – 2.1.12 là đặc trưng của không gian hyperbolic và
không gian nhúng hyperbolic thông qua dãy Brody.
2.1.10 Hệ quả
Một không gian phức Y là hyperbolic khi và chỉ khi tồn tại một hàm độ
dài E trên Y sao cho
0 , 0, 0n nE f df e
với mỗi dãy
nf
thỏa mãn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
,n nf H D Y
và
,nf g C Y
trên các tập con...