Download miễn phí Phương pháp giải các bài tập hình không gian trong kỳ thi tuyển sinh đại học
Câu 1)Khối chóp SABCD có đáy là hình bình hành, M là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi
qua AM, song song với BD chia khối chóp làm 2 phần. Tính tỉsốthểtích hai phần đó.
Câu 2)Cho hình chóp tứgiác đều SABCD có các cạnh bằng a.
a) Tính thểtích khối chóp.
b) Tính khoảng cách từtâm mặt đáy đến các mặt của hình chóp.
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
giải:3 2( ) .
2
V ABCA B C S h a′ ′ ′ = = .
Gọi N là trung điểm của BB’ ta có B’C song song với mp(AMN). Từ đó ta có:
( , ) ( , ( )) ( , ( ))d B C AM d B AMN d B AMN′ ′= = vì N là trung điểm của BB’. Gọi H là hình chiếu
vuông góc của B lên (AMN), vì tứ diện BAMN là tứ diện vuông tại B nên ta có
2 2 2 2
1 1 1 1
7
aBH
BH BA BN BM
= + + ⇒ = chính là khoảng cách giữa AM và B’C.
K
H
N
M
C
B
A
B'
C'A'
Chú ý 1) Trong bài toán này ta đã dựng mặt phẳng trung gian là mp(AMN) để tận dụng điều
kiện B’C song song với (AMN). Tại sao không tìm mặt phẳng chứa B’C các em học sinh tự suy
nghĩ điều này
Chú ý 2) Nếu mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của đoạn AB thì khoảng cách từ A đến (P)
cũng bằng khoảng cách từ B đến (P))
www.VNMATH.com
12
Ví dụ 2) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối
xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng
minh MN vuông góc với BD và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC.(TS B2007)
HD giải: Gọi P là trung điểm của SA, ta có tứ giác MPNC là hình bình hành.
Nên MN// PC. Từ đó suy ra MN//(SAC). Mặt khác BD ⊥ mp(SAC) nên BD ⊥ PC BD MN⇒ ⊥ .
Ta có: d(MN, AC)=d(N,(SAC))= 1 1 1( , ( )) 2
2 4 2
d B SAC BD a= =
E
M
P
N
D
CB
A
S
( Chú ý việc chuyển tính khoảng cách từ N đến (SAC) sang tính khoảng cách từ B đến (SAC)
giúp ta đơn giản hoá bài toán đi rất nhiều. Các em học sinh cần nghiên cứu kỹ dạng toán này
để vận dụng)
Ví dụ 3) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, 2 ,AB BC a= = hai mặt
phẳng (SAC) và (SBC) cùng vuông góc với đáy (ABC). Gọi M là trung điểm AB, mặt phẳng qua
SM song song với BC cắt AC tại N. Biết góc tạo bởi (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích
khối chóp SBCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN (TSĐH A 2011)
Giải:
- Ta có 0 0ˆ ˆ( ); 90 60 2 3SA ABC ABC SBA SA a⊥ = ⇒ = ⇒ =
Mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC tại N suy ra N là trung điểm AC
Từ đó tính được 33V a=
- Kẻ đường thẳng (d) qua N song song với AB thì AB song song với mặt phẳng (P) chứa SN và
(d) nên khoảng cách từ AB đến SN cũng bằng khoảng cách từ A đến (P).
Dựng AD vuông góc với (d) thì / /( )AB SND , dựng AH vuông góc với SD thì
/ /( ) 2 2
. 2 39( )
13AB SN A SND
SA AD aAH SND d d AH
SA AD
⊥ ⇒ = = = =
+
www.VNMATH.com
13
M
N
D
H
C
B
A
S
Ví dụ 4) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
, 2 , AA 'AB a AC a a= = = . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BC.
Giải:
Ta có BC song song với mặt phẳng (AB’C’) chứa AB’ nên
/ ' /( ' ') /( ' ') '/( ' ')BC AB BC AB C B AB C A AB Cd d d d= = = (vì ' , 'A B AB cắt nhau tại trung điểm của mỗi
đường)
Từ A’ hạ A’K vuông góc với B’C’, Hạ A’H vuông góc với AK thì
'/( ' ') 2 2
' . ' 2
' ( ' ') '
3
' '
A AB C
A K A A aA H AB C d A H
A K A A
⊥ ⇒ = = =
+
C
A
B
H
A'
B'
KC'
(Rõ ràng việc quy về bài toán cơ bản có vai trò đặc biệt quan trọng trong các bài toán tính
khoảng cách, các em học sinh cần chú ý điều này)
www.VNMATH.com
14
Ví dụ 5) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. SA vuông góc với
đáy góc tạo bởi SC và (SAB) là 300. Gọi E , F là trung điểm của BC và SD. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau DE và CF.
Giải:
R I
H
K
F
E
D
CB
A
S
Vì 0ˆ( ) 30 .cot 30 3 2CB AB CB SAB CSB SB BC a SA a
CB SA
⊥
⇒ ⊥ ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ⊥
Từ C dựng CI song song với DE ta có
2
aCI DE= = . Ta có mặt phẳng (CFI) chứa CF và song
song với DE.
Ta có / /( ) /( ) /( )
1
2DE CF DE CFI D CFI H CFI
d d d d= = = với H là chân đường cao hạ từ F lên AD
Dựng /( ) 2 2
.( ) H CFI
HK CI HK HFHR FCI d HR
HR FK HK HF
⊥
⇒ ⊥ ⇒ = = ⊥ +
Ta có
2
2
3
.1 1 . 32
. .
2 2 133
2
a aCD HI aHK CI CD HI HK
CI
a a
= ⇒ = = =
+
Ta có
2 2
2 3
.
2 3 312 13
2 312 3
2 13
a a
aFH HR
a a
= ⇒ = =
+
Trong bài toán này ta đã tạo ra khối chóp FHCI để quy về bài toán cơ bản là : Tính
khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt bên (FCI). Việc làm này giúp bài toán trở nên
đơn giản hơn rất nhiều
www.VNMATH.com
15
Phần 6
Các bài toán tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian.
Khi cần tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta phải tìm 1 đường
thẳng trung gian là c song song với a và c cắt b. Khi đó góc tạo bởi a và b cũng chính là góc
tạo bởi b và c. hay ta dựng liên tiếp 2 đường thẳng c và d cắt nhau lần lượt song song với a
và b. Sau đó ta tính góc giữa c và d theo định lý hàm số côsin
2 2 2
cos
2
b c aA
bc
+ −
= hay theo
hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Ví dụ 1) Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại
A. AB = a , 3AC a= và hình chiếu vuông góc của A’ lên mp (ABC) là trung điểm của cạnh
BC , Tính theo a thể tích khối chóp A’ABC và tính côsin góc tạo bởi AA’ và B’C’ . (TSĐH A
2008)
HD giải :Gọi H là trung điểm của BC. Suy ra A’H ⊥ (ABC) và
2 21 1 3
2 2
AH BC a a a= = + = Do đó A’H = 2 2' 3.A A AH a− =
V(A’ABC) = 1
3
A’H.dt (ABC) =
3
2
a
Trong tam giác vuông A’B’H ta có HB’= 2 2' ' 2A B A H a+ = nên tam giác B’BH cân tại B’.
Đặt α là góc tạo bởi AA’ và B’C’ thì 1' cos
2.2 4
aB BH
a
α α= ⇒ = =
Tel 0988844088
K H
C
B
A
C'
B'
A'
www.VNMATH.com
16
Ví dụ 2) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA = a, SB = a 3 mp
(SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC.
Tính theo a thể tích khối chóp SBMDN và tính cosin góc tạo bởi SM và DN.
Hd giải: Từ S hạ SH vuông góc AB thì SH vuông góc với mp (ABCD). SH cũng chính là đường
cao khối chóp SBMDN . Ta có SA2 + SB2 = 4a2 = AB2 SAB⇒ ∆ vuông tại
S
2
ABSM a SAM⇒ = = ⇒ ∆ là tam giác đều 3
2
aABCH⇒ =△
Dễ thấy đường thẳng(BMDN)=1/2dt(ABCD)=2a2 . Do đó V(SBMDN)=
31 3
. ( )
3 3
aSH dt BMDN =
Kẻ ME song song với DN ( E thuộc AD) suy ra AE =
2
a
giả sử (SM,DN)= ( , ).SM MEα α⇒ =
Ta có SA vuông góc với AD (Định lý 3 đường vuông góc ) suy ra
SA AE⊥ ⇒ 2 2 5 ,
2
aSE SA AE= + = 2 2 5
2
aME AM ME= + = Tam giác SME cân tại E
nên cos 52
5
SM
ME
α = =
H
M
N
D
CB
A
S
PHẦN 7) CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN
Để giải quyết tốt dạng bài tập này học sinh cần nắm vững kiến thức cơ bản sau:
** Nếu I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp 1 2.. nSA A A thì tâm I cách đều các đỉnh
1 2; ; ..... nS A A A
- Vì vậy tâm I thuộc trục đường tròn đáy là đường thẳng qua tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy và
vuông góc với đáy 1 2... nA A A (đường thẳng này song song với đường cao khối chóp) (Phải chú ý
việc chọn mặt đáy cần linh hoạt sao cho khi xác định trục đường tròn đáy là đơn giản nhất)
- Tâm I phải cách đều đỉnh S và các đỉnh 1 2; ..... nA A A nên I thuộc mặt phẳng trung trực của iSA
đây là vấn đề khó đòi hỏi học sinh cần khéo léo để chọn cạnh bên sao cho trục đường tròn đã xác
định và cạnh bên đồng phẳng với nhau để việc tìm I được dễ dàng
** Trong một số trường hợp đặc biệt khi khối chóp có các mặt bên là tam giác cân, vuông, đều ta
có thể xác định 2 trục đường tròn của mặt bên và đáy . Khi đó tâm I là giao điểm của 2 trục
www.VNMATH.com
17
đường tròn. Nếu hình chóp có các đỉnh đều nhìn cạ...