duykhanh_pro
New Member
Download miễn phí Luận văn Tìm nhiệt độ từ lỗ khoan thăm dò trong trường hợp nhiệt độ phụ thuộc tuyến tính vào nguồn nhiệt
MỤC LỤC
Trang phụbìa
Lời Thank
Mục lục . 1
Mở đầu . 2
Chương 1 – Kiến thức chuẩn bị . 3
1.1. Biến đổi Fourier. 3
1.2. Bài toán chỉnh, không chỉnh. 4
1.3. Định lý divergence. 4
1.4. Phương trình Laplace. 5
1.5. Một sốbất đẳng thức . 6
Chương 2 – Các kết quảchính . 7
2.1. Giới thiệu bài toán . 7
2.2. Phương trình tích phân. 7
2.3. Chứng minh bài toán không chỉnh .22
2.4. Chỉnh hóa nghiệm.24
2.5. Tính sốvà minh họa .30
Kết luận .35
Tài liệu tham khảo .36
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
+ thì ( ) 12 , 0kf e kζζ pi ζ −= − > . (1.5)4
1.2. Bài toán chỉnh, không chỉnh
Bài toán chỉnh theo nghĩa của Hadamard là bài toán thỏa mãn các tính chất
sau:
Tồn tại nghiệm (tính tồn tại),
Có nhiều nhất một nghiệm (tính duy nhất),
Nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ liệu (tính ổn định).
Như vậy, cho X và Y là những không gian định chuẩn và ánh xạ :K X Y→
(tuyến tính hay không tuyến tính). Phương trình Kx y= được gọi là chỉnh nếu
thỏa mãn:
Tính tồn tại: với mỗi y Y∈ có ít nhất một x X∈ sao cho Kx y= ,
Tính duy nhất: với mọi y Y∈ có nhiều nhất một x X∈ với Kx y= ,
Tính ổn định: nghiệm x phụ thuộc liên tục vào y , nghĩa là với mọi
dãy ( )nx X⊂ thỏa ( )nKx Kx n→ → ∞ thì ( )nx x n→ → ∞ .
Phương trình không thỏa ít nhất một trong các tính chất trên được gọi là
không chỉnh.
1.3. Định lý divergence (định lý Gauss – Ostrogradski)
Cho ( ), ,F f g h= là một trường vectơ thuộc lớp 1C xác định trên một miền bị
chặn 3Ω ⊂ và D là một miền con của Ω là hội của một số hữu hạn các miền đơn
giản rời nhau. Nếu D có biên S là một mặt khả vi trong Ω thì với pháp vectơ đơn
vị ngoài n
của S đối với D , ta có
D S
f g h dxdydz fdydz gdxdz hdxdy
x y z
∂ ∂ ∂
+ + = + + ∂ ∂ ∂ ∫∫∫ ∫∫
(1.6)
hay
.
D S
Fdxdydz F ndσ∇ =∫∫∫ ∫∫
. (1.7)
5
1.4. Phương trình Laplace
1.4.1. Định nghĩa
Ta kí hiệu
1
i i
n
x x
i
u u
=
∆ =∑ .
Phương trình Laplace là phương trình có dạng
0u∆ = (1.8)
và phương trình Poisson là phương trình có dạng
u f−∆ = . (1.9)
Trong cả hai phương trình (1.8) và (1.9) ,x U∈ :u U → là hàm chưa
biết,U là một tập mở trong n . Ở phương trình (1.9) :f U → là hàm vế phải đã
biết.
1.4.2. Nghiệm cơ bản
Hàm số
( )
( )
( ) ( ) ( )2
1 ln 2
2
1 1 3
2 n
x n
x
n
n n n x
pi
α −
− =
Γ =
≥
−
(1.10)
với , 0nx x∈ ≠ và ( )nα là thể tích của hình cầu đơn vị trong n được gọi là
nghiệm cơ bản của phương trình Laplace, trong đó
( )12 2 2 21 2 nx x x x= + + .
1.4.3. Nghiệm của phương trình Poisson
Giả sử ( )2 ncf C∈ , tức là hàm f có đạo hàm cấp hai liên tục và có giá
compact.
Khi đó phương trình Poisson có nghiệm
( ) ( ) ( )
n
u x x f dξ ξ ξ= Γ −∫
. (1.11)
6
1.4.4. Hàm Green
Ta gọi hàm số sau đây là hàm Green đối với miền U
( ) ( ) ( ), xG x xξ ξ κ ξ= Γ − − ( ), ,x U xξ ξ∈ ≠ , (1.12)
trong đó
( )
0,
,
x
x
x U
x x U
κ
κ ξ
∆ = ∀ ∈
= Γ − ∀ ∈∂
.
Giả sử 2u C∈ là hàm số bất kỳ. Cố định x U∈ , chọn 0ε > đủ nhỏ sao cho
( ),B x Uε ⊂ , ta có đẳng thức Green
( ) ( ) ( ) ( )
V
u G x G x u dx
ε
ξ ξ ξ ξ ∆ − − − ∆ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
V
G u
u x G x dS
n n
ε
ξ ξ ξ ξ ξ
∂
∂ ∂
= − − − ∂ ∂ ∫
, (1.13)
trong đó
( )\ ,V U B xε ε=
và n là vectơ đơn vị pháp tuyến ngoài đối với Vε∂ .
Suy ra
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
U U
u G
u x G x u x dS G x u d
n n
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ
∂
∂ ∂
= − − − − − ∆ ∂ ∂ ∫ ∫
. (1.14)
1.5. Một số bất đẳng thức
Với mọi giá trị 0t > , ta luôn có bất đẳng thức 1
t
te e
t
− ≤ . (1.15)
Với 30 eε −< < , ta luôn có 5 / 3
2
1
1ln
ε
ε
< . (1.16)
7
Chương 2
CÁC KẾT QUẢ CHÍNH
2.1. Giới thiệu bài toán
Đây là bài toán Cauchy cho phương trình elliptic: yêu cầu tìm hàm số u thỏa
0, ,0 1u x y∆ = ∈ < < (2.1)
khi biết
( ) ( ),1u x xϕ= , (2.2)
( ) ( ),1yu x xψ= , (2.3)
trong đó ( ) ( ) ( ),0 , , , ,x yu x u x y u x y thuộc ( )1L . (2.4)
2.2. Phương trình tích phân
Bằng cách dùng phương pháp hàm Green, ta sẽ đưa bài toán về phương trình
tích phân.
Đặt
( ) ( ) ( )( )2 21, , , ln4x y x yξ η ξ ηpiΓ = − − + − (2.5)
và
( ) ( ) ( ), , , , , , , , ,G x y x y x yξ η ξ η ξ η= Γ − Γ − . (2.6)
Ta có:
( ) ( ) ( )2 2
1
, , ,
2
x
x y
x y
ξ
ξξ η
pi ξ η
−Γ =
− + −
,
( ) ( ) ( )2 2
1
, , ,
2
y
x y
x y
η
ηξ η
pi ξ η
−Γ =
− + −
,
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
22 2
1
, , ,
2
x y
x y
x y
ξξ
ξ ηξ η
pi ξ η
− − −
Γ =
− + −
,
8
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
22 2
1
, , ,
2
x y
x y
x y
ηη
ξ ηξ η
pi ξ η
− − + −
Γ =
− + −
,
( ) ( ) ( )( )2 21, , , ln4x y x yξ η ξ ηpiΓ − = − − + + ,
( ) ( ) ( )2 2
1
, , ,
2
x
x y
x y
ξ
ξξ η
pi ξ η
−Γ − =
− + +
,
( ) ( ) ( )2 2
1
, , ,
2
y
x y
x y
η
ηξ η
pi ξ η
− −Γ − =
− + +
,
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
22 2
1
, , ,
2
x y
x y
x y
ξξ
ξ ηξ η
pi ξ η
− − +
Γ − =
− + +
, và
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
22 2
1
, , ,
2
x y
x y
x y
ηη
ξ ηξ η
pi ξ η
− − + +
Γ − =
− + +
. (2.7)
Từ (2.7), ta có kết quả:
( ) ( )uG Gu uG Guξ ξ η ηξ η
∂ ∂
− + + − +
∂ ∂
u G uG G u Gu u G uG G u Guξ ξ ξξ ξ ξ ξξ η η ηη η η ηη= − − + + − − + +
( ) ( )u G G G u uξξ ηη ξξ ηη= − + + +
0= (2.8)
Lấy tích phân đẳng thức (2.8) trên miền ( ) ( ) ( )( ), 0,1 \ , ,n n B x y εΩ = − × với
( )( ), ,B x y ε là quả cầu tâm ( ),x y bán kính 0ε > , ta có:
x
y
O
1
-n n
(x,y)
Hình 2.1
9
( ) ( ) ( ) ( )0 ,0 , , ,0 , , ,0 ,0
n
n
u G x y G x y u dη ηξ ξ ξ ξ ξ
−
= − ∫
( ) ( ) ( ) ( ), , ,1 ,1 ,1 , , ,1
n
n
G x y u u G x y dη ηξ ξ ξ ξ ξ
−
+ − ∫
( ) ( ) ( ) ( )
1
0
, , , , , , , ,G x y n u n u n G x y n dξ ξη η η η η + − ∫
( ) ( ) ( ) ( )
1
0
, , , , , , , ,u n G x y n G x y n u n dξ ξη η η η η + − − − − − ∫
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ), ,
, , , , , , , ,
S x y
xG x y u u G x y dSξ ξ
ε
ξξ η ξ η ξ η ξ η
ε
−
+ − ∫
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ), ,
, , , , , , , ,
S x y
yG x y u u G x y dSη η
ε
ηξ η ξ η ξ η ξ η
ε
−
+ − ∫ .
Cho n → ∞ và 0ε → , sử dụng định lý hội tụ bị chặn, ta lần lượt tính giới hạn
của các tích phân trên.
Ta có
( ) ( )1 ,0 , , ,0
n
n
I u G x y dηξ ξ ξ
−
= ∫
( ) ( ) [ ] ( )2 ,2
1
,0
n n
y
u d
x y
ξ χ ξ ξ
pi ξ
+∞
−
−∞
=
− +
∫ .
Lại có
( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )2 2,2 2,0 ,0n n
y y
u u
x y x y
ξ χ ξ ξξ ξ− ≤− + − + khả tích trên
(do ( ),0u ξ bị chặn)
và
( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )2 2,2 2lim ,0 ,0n nn
y y
u u
x y x y
ξ χ ξ ξξ ξ−→∞ =− + − + .
10
Áp dụng định lý hội tụ bị chặn, ta có kết quả
( ) ( )1 2 2
1lim ,0
n
yI u d
x y
ξ ξ
pi ξ
+∞
→∞
−∞
=
− +
∫
( ) ( ),0 , , ,0u G x y dηξ ξ ξ
+∞
−∞
= ∫ .
Ta có
( ) ( )2 , , ,0 ,0
n
n
I G x y u dηξ ξ ξ
−
= ∫
( ) ( )( )
2 2
2 2
1
,0 ln 0
4
n
n
x y
u d
x yη
ξξ ξ
pi ξ
−
− +
= − =
− +
∫ .
Ta có
( ) ( )3 , , ,1 ,1
n
n
I G x y u dηξ ξ ξ
−
= ∫
( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2
2 2
11
,1 ln
4 1
n
n
x y
u d
x yη
ξξ ξ
pi ξ
−
− + −
= −
− + +
∫
( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( )
2 2
2 2 ,
11
,1 ln
4 1 n n
x y
u d
x yη
ξξ χ ξ ξ
pi ξ
+∞
−
−∞
− + −
= −
− + +
∫ .
Lại có
( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2,
1 1
,1 ln ln
1 1n n
x y x y
u
x y x y
η
ξ ξξ χ ξ ψ ξξ ξ−
− + − − + −
< =
− + + − + +
( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2
2 2
1
ln
1
x y
x y
ξψ ξ ξ
− + +
= =
− + −
( ) ( ) ( )2 2
4ln 1
1
y
x y
ψ ξ ξ
= +
− + −
.
Khi ξ → ±∞ thì ( ) ( )2 2
4 0
1
y
x yξ →− + − .
11
Khi đó
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
4ln 1
1
lim 14
1
y
x y
y
x y
ξ
ξ
ξ
→±∞
+
− + − ...