Bài tập Phương trình vi phân (Có đáp án)

[daigai]

LINK TẢI LUẬN VĂN MIỄN PHÍ CHO AE KET-NOI
Một số kinh nghiệm khi giải một PT vi phân bất kì:
 Xác định mục tiêu là đưa về 1 trong số các dạng PT đã biết cách giải.
 Không nhất thiết cứ phải tìm y theo x hay 1 biến khác, có thể biến đổi thành PT để tìm x
theo y, miễn là việc giải đơn giản và tìm được PT đường tích phân tổng quát.
 Đặt ẩn phụ là phương pháp hay dùng để giải một PT vi phân nói chung, tuy nhiên
không phải lần đặt nào cũng có thể đưa PT ngay về dạng đơn giản, do đó ta có thể dùng
kỹ thuật đặt ẩn phụ gộp, đó là gộp các lần đặt riêng lẻ vào 1 lần. Chẳng hạn ta đặt 2 lần:
lần 1 là () = , lần 2 là () = , thì đặt gộp sẽ là (()) = . Kỹ thuật này có 2 ưu
điểm chính:
1. Không dễ dàng để nghĩ ra được cách đặt (()) = ngay từ đầu, do đó kỹ thuật
đặt gộp giúp chia nhỏ việc đặt (()) = thành 2 bước là () = và () = ,
dễ dàng tìm ra hơn. Vì vậy ta không cần suy nghĩ quá nhiều để tìm ra bằng
được ngay từ đầu cách đặt (()) = , mà cuối cùng vẫn thu được nó. Đây có
thể là nguồn gốc của những cách đặt khó hiểu khiến cho người đọc thắc mắc:
“Làm thế quái nào lại nghĩ ra được như vậy?”.
2. Đặt gộp giúp cho bài trình bày lời giải được ngắn gọn, vì những bước đặt nhỏ chỉ
thực hiện ngoài giấy nháp.
 Đối với 2 dạng PT vi phân cấp 2 ′′ + ′ + = (), nhiều sách có phân chia ra các
dạng nghiệm riêng sẽ tìm được bao gồm = (), = () hay =
2(), căn cứ vào việc trùng với bao nhiêu nghiệm của PT đặc trưng. Tuy nhiên
ta chỉ cần giả sử dạng nghiệm riêng sẽ tìm là = () là đủ rồi, không cần
quan tâm đến việc trùng trên làm gì cho rắc rối.
Trường ĐH Bách khoa Hà Nội KSTN-Hóa dầu K60
2
facebook.com/lamhuuminh.KSTN.K60.HUST
Tương tự, với dạng PT ′′ + ′ + = () sin + () cos , ta cũng chỉ cần giả sử
nghiệm riêng sẽ tìm có dạng = () sin + () cos với lưu ý deg () =
deg () ≤ max(, ) + 1 là ổn.
 Nghiệm kì dị sinh ra qua 1 bước biến đổi có điều kiện nào đó, chẳng hạn: chia 2 vế cho
biểu thức (, ) thì cần (, ) ≠ 0, lấy √(, ) thì cần (, ) ≥ 0,… Sau khi tìm được
nghiệm kì dị, ta phải xem có tồn tại 1 giá trị nào đó của hằng số C trong nghiệm tổng
quát để nó trở thành nghiệm kì dị không. Nếu có thì nghiệm kì dị kia không còn là kì dị
nữa, không cần liệt kê riêng ra. Nếu không, kiểm tra tiếp xem liệu nó có thỏa mãn
PT đã cho, từ đó mới xác định được chính xác PT có nghiệm kì dị hay không.
1. Phương trình phân li
a) − =
⇔ ∫
ln = ∫
tan ⇔ ln(ln ) + ln || = ln(sin ) ⇔ = arcsin( ln )
Nghiệm kì dị: = ( ∈ ).
b) ′ =
⇔ cos = ⇔ ∫
= ∫
cos ⇔ = √sin + 1
sin − 1 +
Nghiệm kì dị: = 0
c) +
√++ = +
+ ′
⇔ 4 + 2
√2 + 4 + 13 = 3 + 2
+ 1 ⇔ ∫ + 1
√2 + 4 + 13
= ∫ 3 + 2
2 + 4 ⇔ √2 + 4 + 13 − + 2
3 + = ln √(2 + 4)32 + arctan
2
d) ′ = + ( > > )
⇔ = ( cos + ) ⇔ ∫
cos + = ∫ ⇔
2 arctan ( − ) sin
√2 − 2(cos + 1)
√2 − 2 = +
e) ′ − − + =
Trường ĐH Bách khoa Hà Nội KSTN-Hóa dầu K60
3
facebook.com/lamhuuminh.KSTN.K60.HUST
⇔ = (2 + 3 − 4) ⇔ ∫
2 + 3 − 4 = ∫ ⇔ = − 4||5 + 1
||5 − 1
Nghiệm kì dị: = −4; = 1
f) ′( + ) =
⇔ (2 + ) =
Đặt 2 + = ⇒ 2 + = ⇔ = 1
2 − 1
2 , thay vào PT:
= 1
2 − 1
2 ⇔ ∫ = ∫
2 + 1 ⇔ = 1
2 ln|2 + 1| + = 1
2 ln|4 + 2 + 1| +
g) ′ = ( − − )
⇔ = sin( − − 1)
Đặt − − 1 = ⇒ − = ⇔ = − , thay vào PT:
= sin ( − ) ⇔ ∫ = ∫ sin
sin − 1 ⇔ = 2 sin
2
sin
2 + cos
2
+ +
= 2 sin − − 1
2
sin − − 1
2 + cos − − 1
2
+ +
h) ′ = − −
− −
⇔ = − − 1
− − 2
Đặt − − 2 = ⇒ − = ⇔ = + , thay vào PT


Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:

You must be registered for see links

 

Tags: phương trình vi phân cấp 1 nghiệm kì dị