Bất phương trình logarit, mũ và hệ bất phương trình logarit, mũ

[cuongquyt]

Chuyên đề Bất phương trình logarit, mũ và hệ bất phương trình logarit, mũ

Download Chuyên đề Bất phương trình logarit, mũ và hệ bất phương trình logarit, mũ miễn phí

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. Giả sử f(x) và g(x) là hai hàmsố xác định trên một tập con D
của R, khi đó :
a) Nếu a > 1 thì bất phương trình logaf(x) > logag(x)
(1) tương đương với hệ bất phương trình g(x) >0 và f(x)>g và (x thuộc D)
b)Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình (1) tương đương với hệ bất
phương trình g(x) <0 và f(x)


Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho

Tóm tắt nội dung:

< ( ) 3x 1x310 ++−+
⇔ 0
3x
1x
1x
3x
3x
1x
1x
3x <+
++−
−⇔+
+−<−
−
⇔ 0)5x)(1x)(3x)(5x(0
)3x)(1x(
1x9x 22 <−−++⇔<+−
−+−
⇔ ⎢⎣
⎡
−<<−
<<
5x3
5x1
143
Bài 32
Giải bất phương trình :
)1x2(log)322.124( 2
xx −+− ≤ 0
(Đề Học Viện Quan Hệ Quốc Tế )
Giải
)1x2(log)322.124( 2
xx −+− ≤ 0
⇔ )82)(42( xx −− )1x2(log2 − ≤ 0
⇔ )1x2(log)22)(22( 23x2x −−− ≤ 0
• (x – 2)(x – 3)(2x – 1 – 20 ) ≤ 0
• (x – 1)(x – 2)(x – 3) ≤ 0
⎢⎣
⎡ ≤≤≤ 3x2 1x
Bài 33
Giải bất phương trình :
2lgxlg
)2x3xlg( 2
+
+− > 2
(Đề Đại Học Kiến Trúc Hà N ội )
Giải
2lgxlg
)2x3xlg( 2
+
+− > 2 ⇔ 2
x2lg
)2x3xlg( 2 >+− (1)
Điều kiện :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>≠
⎢⎣
⎡
0x,
2
1x
1x
2x
Với điều kiện đó (1) ⇔ (2) ⎩⎨
⎧
>+−
>
22 x42x3x
1x2 hay (3)
⎩⎨
⎧
<+−
<
22 x42x3x
1x2
(1) vô nghiệm (không thoả điều kiện );
(2) cho ta
3
111x
2
1 +−<<
KL: nghiệm bất phương trình đã cho .là:
3
111x
2
1 +−<<
144
Bài 34
Cho phương trình : 3)2x(4log )2x(2)2x( 2 −=− α− .
1. Giải phương trình với α = 2 .
2. Xác định α để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả
mãn :
1x
2
5
1 ≤≤ và 1x2
5
2 ≤≤
(Đề Đại Học Kiến Trúc Hà N ội )
Giải
3)2x(4log )2x(2)2x( 2 −=− α− . (1)
1. Khi α = 2 : (1) ⇔ )2x(4log2)2x( −− = 4(x – 2)3
x – 2 = 1 hay x = 3 không phải là nghiệm nên lấy log2 hai vế được:
(1) ⇔ 2)2x(log3)2x(log).2x(4log 222 +−=−−
Điều kiện : x – 2 > 0 hay x > 2.
Lúc đó (1) ⇔ [ ] 2)2x(log3)2x(log.)2x(log 2222 +−=−−
⇔ [ ]22 )2x(log − 02)2x(log2 =−−−
⇔ ⎢⎢⎣
⎡
=+=
=+=⇔⎢⎣
⎡ =−
−=− −
622x
2
522x
2)2x(log
1)2x(log
2
1
2
2 (thoả điều kiện )
2. Vì x > 2 và không thể có duy nhất x = 3 là nghiệm nên
0 < x – 2 + 1
Lúc đó : (1) ⇔ [ ] )2x(log3)2x(log.)2x(log 222 −+α=−+−
⇔ [ ] 0)2x(log)2x(log 222 =α−−−−
2
5 ≤ x ≤ 4 ⇔ )2x(log1 2 −≤− ≤ 1
Như vậy (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 mà 2
5 ≤ x1 ≤ 4 và
2
5 ≤ x2 ≤ 4 ⇔ phương trình f(t) = t2 – t α− = 0 (2) có 2 nghiệm
phân biệt trong [ 1− , 1 ].
145
⇔ 0
4
1
4
1
0
041
0
02
1
2
11
0
0)1(f
0)1(f
≤α<−⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−>α
≤α
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
>α+ ≥α−
≥α−⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤−−≤−
>∆ ≥
≥−
Bài 35
Cho bất phương trình : xlog)mx(m3x)m3(x
2
1
2 −≤++−
1. Chứng minh rằng với m = 2 thì bất phương trình vô nghiệm .
2. Giải và biện luận bất phương trình theo m .
(Đề Đại Học Kinh Tế Quốc Dân Hà Nội )
Giải
1-\ Với m = 2 , bất phương trình có dạng :
xlog)2x(6x5x
2
1
2 −<+−
⇔ (x – 2)( x – 3) < (x – 2) xlog
2
1 ⇔ (x – 2)(x + log2 – 3) < 0
* Nếu x – 2 = 0 ⇔ x = 2 bất phương trình vô nghiệm .
* Nếu x > 2 ⇒ x – 2 > 0 ; x + log2x – 3 > 2 + 1 – 3 = 0 (vô nghiệm )
* Nếu 0 < x < 2 ⇒ x – 2 < 0 ; x + log2x – 3 < 2 + 1 – 3 = 0 (vô
nghiệm )
Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm .
2-\ Ta có (1) ⇔ ⎩⎨
⎧ >
<−+−
0x
0)3xlogx)(mx( 2
Với x > 2 ⇒ x + xlog2 3− > 2 + 1 – 3 = 0
0 < x < 2 ⇒ x + xlog2 3− < 2 + 1 – 3 = 0
Do đó :
* Nếu m ≥ 0 : bất phương trình (1) có nghiệm : 0 < x < 2
* Nếu 0 < x < 2 : (1) có nghiệm m < x < 2
* Nếu m = 2 (1) vô nghiệm (theo phần I )
* Nếu m > 2 (1 ) có nghiệm : 2 < x < m .
146
Bài 35
Giải bất phương trình :
)1x(log
1
1x3x2log
1
3
12
3
1
+>+−
(Đề Đại Học Kinh Tế TP HCM)
Giải
Điều kiện : ⎩⎨
⎧
≠+< ≠+−< 11x0 11x3x20
2
⇔
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−>
⎢⎢⎣
⎡
<
>
≠
≠
1x
2
1x
1x
2
3x
0x
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≠
≠<
<<−
2
3x
0x
x1
2
1x1
Lúc đó :
)1x(log
1
1x3x2log
1
3
12
3
1
+>+−
⇔
)1x(log
1
1x3x2log
1
323
+−>+−−
⇔
)1x(log
1
1x3x2log
1
323
+<+−
* 0x1 <<− :
1x3x2 2 +− = x(2x – 3) + 1 > 1 ⇒ 1x3x2log 23 +− > 0
x + 1 < 1 ⇒ log3(x + 1) < 0
Vậy (1) vô nghiệm .
* 0 < x <
2
1 :
1x3x2 2 +− = x(2x – 3) + 1 > 1 ⇒ 1x3x2log 23 +− < 0
x + 1 > 1 ⇒ log3(x + 1) > 0
Vậy (1) nghiệm dúng với 0 < x <
2
1
147
* 1 < x <
2
3 :
1x3x2 2 +− < 1 ⇒ 1x3x2log 23 +− < 0
x + 1 > 1 ⇒ log3(x + 1) > 0
Vậy (1) nghiệm đúng với 1 < x <
2
3
* :x
2
3 +∞<<
1x3x2 2 +− = x(2x – 3) + 1 > 1 ⇒ 1x3x2log 23 +− > 0
x + 1 > 1 ⇒ log3(x + 1) > 0
1x3x2log 23 +− > log3(x + 1) ⇔ 1x3x2 2 +− > x + 1
1x3x2 2 +− > x2 + 2x +1 ⇔ x2 – 5x > 0 ⇔ x > 5
Kết luận : nghiệm bất phương trình là : 0 < x <
2
1 ; 1 < x <
2
3 ; x > 5
Bài 36
Cho bất phuơng trình :
2t
1t 2
+
− ≥ t – m (1)
1. Giải bất phuơng trình khi m = 1.
2. Tìm m để bất phuơng trình (1) nghiệm đúng với mọi t ≥ 0.
(Đề Đại Học Quốc Gia TP HC M )
Giải
1. Bất phuơng trình có dạng :
2t
1t 2
+
− ≥ t – 1 ⇔ ( t – 1 ) ⇔ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+
+ 1
2t
1t ≥ 0
⇔ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
−−
2t
1)1t( ≥ 0 ⇔ 2− < t ≤ 1
2. Xét bất phuơng trình :
2t
1t 2
+
− t− ≥ – m (1) ⇔
2t
1t2
+
+ ≤ m
Đặt f (t) =
2t
1t2
+
+ ; t ∈ [0 ;+ ∞] ⇒ f’(t) = 2)2t(
3
+ > 0
Vậy (1) đúng ∀ t ≥ 0 ⇔ m ≥ 2.
148
Bài 37
Cho bất phương trình : )mx4mx(log)1x(log1 25
2
5 ++≥++ .
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bát phương trình được nghiệm
đúng với mọi x .
(Đề Đại Học Quốc Gia TP HC M )
Giải
Ta có )mx4mx(log)1x(log1 25
2
5 ++≥++ ; Rx∈∀
⇔ )mx4mx(log)1x(log 2525 ++≥+ ; Rx∈∀
⇔ ⎩⎨
⎧
>++
++≥+
0mx4mx
mx4mx)1x(5
2
22
Rx∈∀ ⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈<+
−
≥+
+−
Rx,m
1x
x4
m
1x
5x4x5
2
2
(*)
Xét hàm số f(x) =
1x
5x4x5
2
2
+
+− và g(x) =
1x
x4
2 +
−
Ta có: f’(x) = 22
2
)1x(
4x4
+
− ; g’(x) = 22
2
)1x(
4x4
+
−
Từ bảng biến thiên của f(x) và g(x) :
Hệ (*) nghiệm đúng với mọi x ⇔ 2 < m ≤ 3
* Cách giải khác :
)mx4mx(log)1x(log1 25
2
5 ++≥++ ; Rx∈∀
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈>++
≥++
+
Rx,0mx4mx
0
mx4mx
)1x(5log
2
2
2
5 ⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∈
≥++
+
Rx;0m4'
0m
1
mx4mx
)1x(5
2
2
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≥++
−+−−
2m
0
mx4mx
)m5(x4x)m5(
2
2
Rx∈∀
⇔ ⎩⎨
⎧
> ≥−+−− 2m 0)m5(x4x)m5(
2
Rx∈∀
149
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤<⇔⎢⎣
⎡ ≥≤
<
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
> ≤−−
>−
2m
3m27m
3m
5m
0m
0)m5(4
0m5
2
Bài 38
Giải bất phương trình : xlog)x(log 5
2
5 x5 + ≤ 10
(Đề Đại Học Mỏ Địa Chất )
Giải
Điều kiện : x > 0
Đặt y = xlog5x ⇒ log5y = xlog25 ⇒ y = xlog255
Vậy bất phương trình có dạng : xlog
2
55 + 5 xlog25 ≤ 10
⇔ xlog255 ≤ 5 ⇔ xlog25 ≤ 1 ⇔ 1− ≤ xlog5 ≤ 1 ⇔ 5
1 ≤ x≤ 5.
Bài 39
Giải bất phương trình : 132 2
x
x +<
(Đề Đại Học Ngoại Thương)
Giải
132 2
x
x +< ⇔ 1 <
xx
2
1
2
3 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
(1)
Đặt f(x) =
xx
2
1
2
3 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
thì f(x) nghịch biến trên R .
Mà f(2) = 1 nên (1) ⇔ f(2) < f(x) ⇔ x < 2 .
Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 2 .
150
Bài 40
Tìm tất cả các số x thoả mãn đồng thời 2 điều kiện sau :
)x3(logx5log
3
1
3
1 −<−
(Đề Đại Học Sư Phạm Hà Nội )
Giải
)x3(logx5log
3
1
3
1 −<− ⇔ 0 < 3 – x < x5 −
⇔ ⎩⎨
⎧ <<<⇔⎩⎨
⎧
−<−
<
4x1
3x
x5)x3(
3x
2 ⇔ 1 < x < 3
Như vậy :
3
1x;
3
13
3
1x
3
4 ++<+< nguyên
⇔
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
⇔
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=+
=+
3
...