hoangtuNeo_Neo
New Member
Download miễn phí Luận văn Đa tạp phức với nhóm các tự đẳng cấu không compact
Mục lục
Lời cam đoan .1
Lời Thank .2
Mục lục .3
Danh mục các ký hiệu 5
Mở đầu .6
Chương 1: Đặc trưng của miền trong Cnbởi nhóm tự đẳng cấu
không compact .17
1.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ .18
1.2 Ước lượng metric Kobayashi 25
1.2.1 Hệ tọa độ đặc biệt và các đa đĩa 25
1.2.2 Co giãn các tọa độ .34
1.2.3 Ước lượng metric Kobayashi 41
1.2.4 Tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ chỉnh hình .44
1.3 Sự tồn tại mô hình thuần nhất của miền trong Cn .46
Chương 2: Đặc trưng của miền lồi tuyến tính trong Cnbởi
nhóm tự đẳng cấu không compact .59
2.1 Hệ tọa độ và đa đĩa của M. Conrad . .60
2.2 Scaling miền U ? n .66
2.3 Tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ scaling .69
Chương 3: Giả thuyết GreeneưKrantz .74
3.1 Một số kết quả xung quanh giả thuyết GreeneưKrantz .74
3.2 Sự tồn tại điểm tụ quỹ đạo parabolic . . .77
Kết luận Và kiến nghị .79
Danh mục Các công trình của tác giả Liên quan đến
luận án.91
tài liệu tham khảo .92
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
=n∑
k=1
|(Φ′η(η)−→X )k|
τk(η, (η))
= ‖∆η ◦ Φ′η(η)−→X‖1
trờn U0, trong đú chuẩn ‖−→X‖1 =
∑n
j=1 |Xj| với
−→
X = (X1, ã ã ã , Xn) ∈ Cn.
Theo (1.11), ta cú
‖−→X‖1
(η)1/2m
.M(η,−→X ) . ‖
−→
X‖1
(η)
.
Bổ đề sau đúng vai trũ quan trọng trong kĩ thuật scaling.
37
Bổ đề 1.2.7. Tồn tại cỏc hằng số K ≥ 1 và 0 < A < 1 sao cho với
mỗi số nguyờn N ≥ 1 và mỗi hàm chỉnh hỡnh f : DN → U0 thỏa món
M(f(u), f ′(u)) ≤ A trờn DN , ta cú
f(0) ∈ W0 và KN−1(f(0)) ≤ α1 ⇒ f(DN) ⊂ Q[f(0), KN(f(0))].
Chứng minh. Giả sử η0 ∈ V0 và η ∈ Q(η0, 0), trong đú 0 = (η0). Từ
(1.29), (1.27) và (1.12) ta cú (η) ≤ C40 và
τ(η, (η)) ≤ τ(η, C40) ≤ C2
√
C4τ(η0, 0).
Vỡ vậyM(η,
−→
X ) &
n∑
k=1
|(Φ′η(η)−→X )k|
τk(η0, 0)
. Để thay Φ′η(η) bởi Φ′η0(η) trong bất
đẳng thức trờn chỳng ta xột đẳng cấu Ψ := Φη ◦Φ−1η0 . Đẳng cấu này bằng
Φ−1a = ϕ1 ◦ ϕ2 ◦ ϕ3 ◦ ϕ4 ◦ ϕ5 trong đú a := Φη(η0) và ϕj(1 ≤ j ≤ 5) được
chỉ ra ở mục trước. Nếu ta đặt Λ := Φ′η(η) ◦ (Φ′η0(η))−1 = Ψ′(Φη0(η))
thỡ Λ = ϕ′1 ◦ ϕ′2 ◦ ϕ′3 ◦ ϕ′4 ◦ ϕ′5. Bằng việc tớnh toỏn đơn giản, ta cú
ϕ′1(w1, ã ã ã , wn) = (w1, w2, ã ã ã , wn +
n−1∑
k=1
bkwk)
trong đú |bk| ≤ C. 0τk(η0,0) (1 ≤ k ≤ n− 1) với hằng số nào đú C ≥ 1.
Đặt
−→
Y := Φ′η0(η)
−→
X,
−→
Y 4 := ϕ′5
−→
Y ,
−→
Y 3 := ϕ′4
−→
Y 4,
−→
Y 2 := ϕ′3
−→
Y 3 và
−→
Y 1 := ϕ′2
−→
Y 2. Do Φ′η(η)
−→
X = Λ[
−→
Y ] = ϕ′1
−→
Y 1 nờn ta cú
M(η,
−→
X ) & |(Φ
′
η(η)
−→
X )1|
τ1(η0, 0)
+ ã ã ã+ |(Φ
′
η(η)
−→
X )2|
τn−1(η0, 0)
+
|(Φ′η(η)−→X )n|
2C0
&
n−1∑
k=1
(1− |bk|τk(η0, 0)
2C0
)
|Y 1k |
τk(η0, 0)
+
|Y 1n |
2C0
&
n∑
k=1
|Y 1k |
τk(η0, 0)
.
38
Do định nghĩa cỏc ỏnh xạ ϕ2 và ϕ3, ta dễ dàng chỉ ra rằng
n∑
k=1
|Y 1k |
τk(η0, 0)
&
n∑
k=1
|Y 2k |
τk(η0, 0)
&
n∑
k=1
|Y 3k |
τk(η0, 0)
.
Tiếp theo, chỳng ta cũng cú
ϕ′4(w1, ã ã ã , wn) = (w1, w2, ã ã ã , wn +
n−1∑
k=1
γkwk),
trong đú
|γk| .
m∑
j=1
|dk,j|τ1(η0, 0)j + 2.|ck|τk(η0, 0) ≤ C. 0
τk(η0, 0)
,
|γ1| .
n−1∑
α=2
m∑
j=1
|dα,j|τα(η0, 0).j.τ1(η0, 0)j−1 +
2m∑
j=2
|dj|.j.τ1(η0, 0)j−1
≤ C. 0
τ1(η0, 0)
,
với k = 2, ã ã ã , n − 1 và hằng số nào đú C ≥ 1. Lập luận tương tự như
trờn, ta cú
n∑
k=1
|Y 3k |
τk(η0, 0)
&
n∑
k=1
|Y 4k |
τk(η0, 0)
.
Đạo hàm của ϕ5 xỏc định bởi
ϕ′5(w1, ã ã ã , wn) = (w1, w2 + β2w1, ã ã ã , wn−1 + βn−1w1, wn),
trong đú |βk| .
m∑
l=1
|ek,l|.l.τ1(η0, 0)l−1 ≤ C. 0τk(η0,0)τ1(η0,0) (2 ≤ k ≤ n− 1)
39
với hằng số nào đú C ≥ 1. Do −→Y 4 = ϕ′5
−→
Y nờn ta cú:
n∑
k=1
|Y 4k |
τk(η0, 0)
& |Y
4
1 |
τ1(η0, 0)
+
n−1∑
k=2
|Y 4k |
2nCτk(η0, 0)
+
|Y 4n |
τn(η0, 0)
& (1−
n−1∑
k=2
|βk|τ1(η0, 0)
2nCτk(η0, 0)
)
|Y1|
τ1(η0, 0)
+
+
n−1∑
k=2
|Yk|
2nCτk(η0, 0)
+
|Yn|
τn(η0, 0)
&
n∑
k=1
|Yk|
τk(η0, 0)
=
n∑
k=1
|(Φ′η0(η)
−→
X )k|
τk(η0, 0)
.
Vỡ thế tồn tại hằng số 1 ≥ A > 0 sao choM(η,−→X ) ≥ A‖∆η0◦Φ′η0(η)
−→
X‖1
với mọi η0 ∈ V0 và mọi η ∈ Q(η0, (η0)). Nhờ điều này ta cú thể kết thỳc
chứng minh bổ đề.
Giả sử f ∈ Hol(DN , U0) thỏa món cỏc điều kiện đặt ra trong bổ đề.
Đặt η0 = f(0) và 0 = (f(0)). Bõy giờ ta xột cỏc trường hợp sau
a) Với N = 1, nếu f(0) ∈ W0 thỡ f(D1) ⊂ Q(η0, 0). Điều này suy ra
từ nhận xột: nếu f(u) ∈ Q(η0, 0) thỡ ‖ ddu∆η0 ◦ Φη0 ◦ f(u)‖1 ≤ 1.
b) Bõy giờ ta giả sử rằng N ≥ 2 và f(0) ∈ W0. Cố định θ0 ∈ (0, 2pi].
Đặt uj = je
iθ0, ηj := f(uj) và j = (ηj). Ta chỉ cần chỉ ra rằng
f [D(ui, 1)] ⊂ Q(η0, Ki0) với i ≤ N − 1, trong đú D(ui, 1) là hỡnh trũn
trong mặt phẳng phức tõm tại ui và bỏn kớnh bằng 1.
Với i = 0, khẳng định này đó được chứng minh ở a). Giả sử khẳng
định trờn thỏa món với bất kỡ i ≤ j < N − 1. Do ηj+1 ∈ Q(η0, Kj0) nờn
ta cú j+1 ≤ C4Kj0 < α1. Hơn nữa, vỡ η0 ∈ W0 nờn ta cũng cú ηj+1 ∈ V0
(xem (1.31)). Áp dụng a) cho hàm f hạn chế trờn hỡnh trũn D(uj+1, 1),
40
ta cú
f [D(uj+1, 1)] ⊂ Q(ηj+1, j+1) ⊂ Q(ηj+1, C4Kj0)
⊂ Q(η0, C3C4Kj0) = Q(η0, Kj+10).
Điều này kết thỳc chứng minh bổ đề.
Với bất kỡ dóy {ηp}p cỏc điểm trong U0 ∩ {ρ < 0} =: U−0 hội tụ đến
gốc tọa, ta kết hợp với dóy cỏc điểm η′p = (η1p, ã ã ã , ηnp + p), p > 0
sao cho η′p thuộc siờu mặt {ρ = 0}. Xột dóy cỏc phộp co gión ∆pη′p.
Khi đú, ∆
p
η′p
◦ Φη′p(ηp) = (0, ã ã ã , 0,−1). Bởi vỡ (1.24), ta thấy rằng
∆
p
η′p
◦ Φη′p({ρ = 0}) được cho bởi phương trỡnh sau
Rewn + Pη′p(w1, w¯1) +
n−1∑
α=2
|wα|2 +
n−1∑
α=2
Re(Qαη′p(w1, w¯1)wα)+
+O(τ(η′p, p)) = 0,
(1.32)
trong đú
Pη′p(w1, w¯1) :=
∑
j+k≤2m
j,k>0
aj,k(η
′
p)
−1
p τ(η
′
p, p)
j+kwj1w¯
k
1 ,
Qαη′p(w1, w¯1) :=
∑
j+k≤m
j,k>0
bαj,k(η
′
p)
−1/2
p τ(η
′
p, p)
j+kwj1w¯
k
1 .
Chỳ ý rằng từ (1.9) ta đó biết rằng cỏc hệ số của Pη′p và Q
α
η′p
bị chặn
bởi 1. Cỏc đa thức Qαη′p khụng đúng vai trũ quan trọng bằng đa thức
Pη′p. Chớnh xỏc hơn, S. Cho [13]đó chứng minh bổ đề sau.
Bổ đề 1.2.8 ( Bổ đề 2.4, tr.810 trong [13]). |Qαη′p(w1, w¯1)| ≤ τ(η′p, p)
1
10
với mọi α = 2, ã ã ã , n− 1 và |w1| ≤ 1.
41
Bởi Bổ đề 1.2.8, sau khi trớch ra dóy con nếu cần, ta cú ∆
p
η′p
◦Φη′p(U−0 )
hội tụ đến miền sau
MP := {ρˆ := Rewn + P (w1, w¯1) + |w2|2 + ã ã ã+ |wn−1|2 < 0}, (1.33)
trong đú P (w1, w¯1) là một đa thức bậc ≤ 2m khụng chứa cỏc hạng tử
điều hũa.
Do MP là giới hạn của cỏc miền giả lồi ∆
p
η′p
◦ Φη′p(U−0 ), nờn nú là giả
lồi. Vỡ vậy hàm ρˆ trong (1.33) là đa điều hũa dưới và vỡ thế P là đa thức
điều hũa dưới với ∆P 6≡ 0.
Bổ đề 1.2.9. Miền MP là hyperbolic Brody, tức là mọi ỏnh xạ chỉnh
hỡnh ϕ : C→MP đều là ỏnh xạ hằng.
Chứng minh. Giả sử ϕ : C → MP là chỉnh hỡnh. Do đú, cỏc hàm
Reϕn + P ◦ ϕ1 +
∑n−1
α=2 |ϕα|2 và Reϕn + P ◦ ϕ1 là điều hũa dưới õm
trờn C. Hệ quả là cỏc hàm này là hằng. Điều này suy ra rằng P ◦ ϕ1
là điều hũa. Vỡ vậy ϕ1,Reϕn và ϕn là hằng. Thờm nữa hàm
∑n−1
α=2 |ϕα|2
cũng hằng. Vỡ thế ϕα (2 ≤ α ≤ n− 1) là hằng.
1.2.3 Ước lượng metric Kobayashi
Nhắc lại rằng metric Kobayashi KΩ của Ω được cho bởi
KΩ(η,
−→
X ) := inf{ 1
R
| ∃f : D → Ω sao chof(0) = η, f ′(0) = R−→X}.
Lập luận tương tự như [40, tr. 93], tồn tại một lõn cận U của gốc tọa độ
với U ⊂ U0 sao cho
KΩ(η,
−→
X ) ≤ KΩ∩U0(η,
−→
X ) ≤ 2KΩ(η,−→X ) với mọi η ∈ U ∩ Ω.
42
Chỳng ta cần bổ đề sau (xem [41]).
Bổ đề 1.2.10. Giả sử (X, d) là một khụng gian metric đầy và M : X →
R+ là một hàm bị chặn địa phương. Khi đú, với mọi σ > 0 và mọi u ∈ X
thỏa món M(u) > 0, tồn tại v ∈ X sao cho:
(i) d(u, v) ≤ 2σM(u)
(ii) M(v) ≥M(u)
(iii) M(x) ≤ 2M(v) nếu d(x, v) ≤ 1σM(v).
Chứng minh. Giả sử rằng v khụng tồn tại ta xõy dựng một dóy {vj} sao
cho v0 = u, M(vn+1) ≥ 2M(vj) ≥ 2n+1M(u) và d(vn+1, vj) ≤ 1σM(vj) ≤
1
σM(u)2n . Vỡ vậy dóy này là dóy Cauchy.
Định lý 1.2.11. Giả sử Ω là một miền trong Cn với biờn ∂Ω nhẵn, giả
lồi, kiểu hữu hạn trong một lõn cận nào đú của điểm p ∈ ∂Ω và hạng
của dạng Levi ớt nhất bằng n− 2 tại p∞. Khi đú, tồn tại một lõn cận V
của p∞...