Download miễn phí Giải toán tích phân bằng nhiều cách
MỤC LỤC
I. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ .Trang 2
II. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ .Trang 18
III. TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT .Trang 26
IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC.Trang 35
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
13 49824
Đổi cận
2 2
1 1
x t
x t
Khi đó
22 2 23 2
2
1 1 1
1 1 1 3 4 1 12 . 2 . 2 3 4 .
t t t t tI dt dt t t dt
t t t
3 2 2 52 3 4 ln | | 2 ln 2
13 2 3
t t t t
Tổng quát: ( )
b
a
p x dx
ax b c với p x là một đa thức chứa x, m, n, c là các hằng số ta đặt t ax b c hay
t ax b
Bài 6: Tính tích phân sau:
3
2
8 3
2 4
xI dx
x
Giải:
Cách 1: Dựa vào đạo hàm
Đặt 8 3
2 4
xf x
x
. Ta biến đổi f x về dạng
''8 3 14 4 4
2 4 2 4
xf x x x x x x
x x
Xét hàm số 4F x x x vì ''' 4 4F x x x x x f x
Vậy 4F x x x C là một họ nguyên hàm của hàm số đã cho
Khi đó
3
2
3 38 3 4 3
2 22 4
xI dx F x x x
x
Cách 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số
Đặt
24
4
2
x t
t x
dx tdt
Đổi cận
13
2 2
tx
x t
Khi đó
21 2
2 3
12
8 3 4 23 4 4 3
1
t
I tdt t dt t t
t
Cách 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số
Đặt 4t x …bạn đọc tự giải
Cách 4: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Đặt
8 3 3
2 4
4
u x du dx
dxdv v x
x
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected]
DĐ: 01694 013 498
25
Khi đó
3
2
3
2 8 3 4 6 4 ....3
2
I x x xdx
Bài 7: Tính tích phân sau: I x dx
x x x x
x dx
x x
2
2 2
2
2 24 2 2 2 3 1 3 1( ) [ ( ) ] ( )
.
Giải:
Cách 1:
Đặt
2 2
3 sin
1 3 cos
3cos 2 3 cos 1
dx tdt
x t
x t t
Khi đó I =
3 3 2 3 1
3 3 3
1
2 3
3 3
2
3 3
2
2 2 2
sin ( cos cos )
( cos ) sin
(
cos
cos cos
)
t t t dt
t t
t
t t
dt .
Cách 2:
I =
dx
x x
x dx
x x2 2
2 4
3 1 3 12 2 2
( )
[ ( ) ] ( )
1 2I I
Tính 2I
( )
[ ( ) ] ( ) ( ) ( )
2 4
3 1 3 1
2
3 3
2
3 32 2 2 2 2 2
x dx
x x
tdt
t t
dt
t t
1 2J J
Tính 1J bằng cách đặt
23 t u , tính 2J bằng cách đặt 23 3t u t
Bài tập tự giải có hướng dẫn:
Bài 1: (ĐHĐN- 1997) Tính tích phân:
7
2
1 2 4ln 2 2ln 3
2 1
I dx
x
HD: Sử dụng phương pháp biến đổi số
Đặt 2 1t x hay 2t x
Bài 2: (ĐHSP QN – 1999) Tính tích phân:
2
3
3
0
1 1 28 3 4
103 2
xI
x
Bài 13: (DBĐH 2 – A 2005) Tính tích phân:
7
3
0
2 231
101
xI
x
Bài 14: (DBĐH 1 – A 2008) Tính tích phân:
3
3
1
2
12
52 2
xI dx
x
Bài 15: (DBĐH 1 – A 2007) Tính tích phân:
4
0
2 1 2 ln 2
1 2 1
xI dx
x
Bài 16: (CĐXD – 2005) Tính tích phân:
3
1
3
3 1 3
xI dx
x x
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected]
DĐ: 01694 013 498
26
III. TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: (PVBCTT – 1999) Tính tích phân sau:
3 2
1
ln . 2 lne x xI dx
x
Giải:
Cách 1: Phương pháp biến đổi số
Đặt ln x u
Cách 2: Phương pháp biến đổi số
Đặt 3 2 3 2 2
3 ln2 ln 2 ln
2
xx t t x t dt dx
x
Đổi cận
3
3
3
1 2
x e t
x t
Khi đó
3 3
3 3
3 3 3
3
4
2 3
3
2 2
33 3 3 2
33 3 3. .
2 2 2 4
2
82
tI t t dt t dt
Cách 3: Phương pháp biến đổi số
Đặt 2
ln2 ln
2
dt xx t dx
x
Đổi cận
3
1 2
x e t
x t
Khi đó
1 4
3
3
3 33
2
21 3.
1
1 3 3 3 2 2
2 2 4 8
t dtI t
Cách 4: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân
1 1'2 2 2 23 3
1 1
4
2 333
1 12 ln 2 ln 2 ln 2 ln
2 2
1 3 3. 2 ln 3 3 2 2
12 4 8
e e
I x x dx x d x
e
x
Bài 2: (ĐH – B 2004 ) Tính tích phân sau:
1
1 3ln .lne x xI dx
x
Giải:
Cách 1: Phương pháp biến đổi số
Đặt
2 1ln
31 3ln
2
3
tx
t x
dx tdt
x
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected]
DĐ: 01694 013 498
27
Đổi cận
2
1 1
x e t
x t
Khi đó
2 22 5 3
2 4 2
1 1
22 1 2 2 116( )
13 3 9 9 5 3 135
t t tI t dt t t dt
Cách 2: Phương pháp biến đổi số
Đặt
1ln
31 3ln
3
tx
t x
dx dt
x
Đổi cận
4
1 1
x e t
x t
... tương tự cách 1
Cách 3: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân
1 1 1
3 1
2 2
1 1
5 3
2 2
1 3ln .ln 1 11 3ln .ln 1 3ln 1 3ln 1 3ln 1 1 3ln
3 9
1 11 3ln 1 3ln 1 3ln 1 3ln
9 9
1 2 2 1161 3ln 1 3ln
19 5 3 135
e e e
e e
x xI dx x xd x x x d x
x
x d x x d x
e
x x
Cách 4: ln dxt x dt
x
Khi đó
1
0
1 3 . ...I t tdt đến đây rùi ta có thể làm bằng nhiều cách như biến đổi số đặt 1 3u t hay
1 3u t hay đưa vào vi phân bằng cách phân tích 1 11 3
3 3
t t
Bài 3: Tính tích phân sau:
1
1 lne xI dx
x
Giải:
Cách 1: Phương pháp biến đổi số
Đặt 21 ln 1 ln 2 dxt x t x tdt
x
Đổi cận
11
2
tx
x e t
Khi đó
2 2 32
1 1 1
2 2 2 11 ln 2.2 2 2 .
3 31
e x tI dx t tdt t dt
x
Cách 2: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected]
DĐ: 01694 013 498
28
Biến đổi
3
1 1
2 2 2 11 ln 21 ln 1 ln 1 ln .
13 3
e e exI dx xd x x
x
Cách 3: Phương pháp biến đổi số
Đặt 1 lnt x hay lnt x
Bài 4: (ĐH – B 2010) Tính tích phân sau:
21
ln
2 ln
e xI dx
x x
Giải:
Cách 1: Phương pháp biến đổi số
Đặt ln dxt x dt
x
Đổi cận
1
1 0
x e t
x t
Khi đó
1 1 1 1
2 2 2
0 0 0 0
2 2 11 2 2 3 12 ln 2 ln
02 2 2 2 32 2 2
d u d uuduI du u
u u uu u u
Cách 2: Phương pháp biến đổi số
Đặt
ln 2
2 ln
x t
t x dx dt
x
Khi đó
3 3
2 2
2 2
2 31 2 2ln
2
3 1ln
2 3
t
I dt dt t
t tt t
Cách 3: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân
2 2 2 2
1 1 1 1 1
ln 2 ln 2 ln 2 2 ln 2 lnln 2 ln 2
2 ln2 ln 2 ln 2 ln 2 ln
2 3 1ln 2 ln ln
12 ln 2 3
e e e e exd x x d x d xxI dx d x
xx x x x x
e
x
x
Cách 4: Phương pháp tích phâ...