Link tải luận văn miễn phí cho ae Kết Nối
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BÙI XUÂN HẢI
LÝ THUYẾT
TRƯỜNG & GALOIS
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH
-2007-
Bảng ký hiệu
C - tập hợp các số phức
R - tập hợp các số thực
Q - tập hợp các số hữu tỷ
Z - tập hợp các số nguyên
N = {1, 2, 3, } - tập hợp các số tự nhiên
Z
+
= {0, 1, 2, 3, } - tập hợp các số nguyên không âm
a, b = {a, a +1,a+2, ,b},trongđóa, b ∈ Z và a
n
- tập hợp các số nguyên modulo n
F
q
-trườngGaloisgồmq phần tử
Aut(L) - nhóm các tự đẳng cấu của t rường L
Gal(L/K) - nhóm Galois của mở rộng trường L/K
S
n
- nhóm đối xứng bậc n
A
n
- nhóm thay phiên bậc n
[L : K] -bậccủamởrộng
3
Lời giới thiệu
Bài toán tìm nghiệm của những phương trình đại số đ ã được quan
tâm từ thời cổ đại. Trong những tấm bảng đất sét của người Babylon
có từ 1600 năm trước Công nguyên đã có ghi những bài toán đưa
về việc giải phương trình bậc hai. Cũng từ những tấm bảng đất sét
này người ta nhận thấy rằng những người Babylon đã biết cách tìm
nghiệm của phương trình bậc hai mặc dù họ chưa biết cách biểu diễn
chúng bằng những ký hiệu đại số. Người La Mã cổ đại cũng từng biết
cách giải phương trình bậc hai bằng phương pháp hình học, tuy họ
cũng chưa tìm ra công thức đại số để biểu diễn chúng. Tình hình
cũng tương tự như vậy đối với những phương trình bậc ba.
Phải đ ến thời kỳ Phục hưng các nhà toán học ở Bologna (Ý) mới
khám phá ra rằng việc giải phương trình bậc ba cuối cùng được đưa
về ba dạng cơ bản sau đây:
X
3
+ pX = q, X
3
= pX + q, và X
3
+ q = pX.
Sở dó họ phải xét b a trường hợp riêng biệt này vì họ không muốn
công nhận v iệc tồn tại các số âm. Một người trong số các nhà toán
học thời đó có tên là Scipio del Ferro tự nhận là ông ta có lời giải cho
cả ba trường hợp nêu trên. Tuy nhiên, những lời giải này được giữ
bí mật và ông ta chỉ dạy cho một người học trò của mình có tên là
Fior biết phương pháp giải một trong ba dạng phương trình nói trên.
Nhưng tin tức về việc đã có người biết giải các phương trình bậc ba đã
lọt ra ngoài và điều này kích thích sự tìm tòi của nhiều người. Cuối
cùng thì một người có tên là Niccolo Fontana (bí danh Tartaglia) đã
tái phát minh ra lời giải vào năm 1535. Fontana đã công khai phương
pháp của mình nhằm cạnh tranh với Fior, nhưng ông từ chối công
bố chi tiết lời giải. Nhưng sau đó Fontana, bò một nhà vật lý học có
tên Girolamo Cardano thuyết phục, đã đồng ý trao lời giải cho ông
này sau khi nhận được lời hứa là mọi chuyện vẫn sẽ được giữ bí mật.
Thế nhưng, vào năm 1545 Cardano cho xuất bản cuốn Ars Magna,
4
trong đó ông trình bày đầy đủ toàn b ộ lời giải của Fontana, kèm theo
lời Thank trân trọng gửi đến người đã phát minh ra nó. Tất nhiên
là Fontana có lý do chính đáng để giận dữ. Thế nhưng, cũng nhờ
có dòp may này mà phát minh quan trọng đó đã được ra mắt quần
chúng.
Cũng trong Ars Magna, Cardano còn trình bày một phương pháp
của Ludovico Ferrari về vi ệ c giải phương trình bậc bốn bằng cách đưa
về giải phương trình bậc ba.
Một tính chất nổi bật dễ nhận thấy trong tất cả các công thức
được phát minh là các nghiệm đều được biểu diễn bằng các biểu thức
căn thức, nghóa là các biểu thức đại số nhận được bằng cách tác động
lên các hệ số các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và khai căn.
Như vậy, đến thời điểm này có thể nói rằng tất cả cá c phương
trình bậc ≤ 4 đều giải được bằng căn thức. Một câu hỏi được đặt ra
một cách rất tự nhiên là: Liệu phương trình bậc 5 có giải được bằng
căn thức hay không? Câu hỏi này đã thu hút sự quan tâm nghiên
cứu của rất nhiều người. Có thể kể ra đây một số trường hợp sau:
Tschirnhaus đưa ra lời giải nhưng bò Leibniz chỉ ra là sai lầm. Euler
đưa ra lời giải sai nhưng đồng thời lại tìm được phương pháp mới để
giải phương trình bậc 4. Lagrange cũng nghiên cứu vấn đề này và
tìm r a cách thống nhất để giải quyết bài toán cho các phương trình
bậc ≤ 4. Tuy nhiên ông nói rằng phương pháp của ông sẽ sai nếu
áp dụng cho phương trình bậc 5. Vậy, phải chăng phương trình bậc
5 không giải được bằng căn thức? Năm 1813, Ruffini công bố một
chứng minh với nhiều sai sót rằng phương trình bậc 5 không giải
được bằng căn thức. Cuối cùng, vào năm 1824 Abel đã chứng minh
một cách thuyết phục rằng phương trình bậc 5 tổng quát không giải
được bằng că n thức.
Vấn đề bây giờ lại là việc cần giải quyết câu hỏi: Làm cách nào
để nhận biết một phương trình đại số cho trước là giải được hay
không bằng căn thức? Abel đ ang nghiên cứu vấn đề na øy dang dở
thì mất vào năm 1829. Khi ấy, có một người Pháp còn rất trẻ tên là
Évariste Galois, sinh viên Trường Cao đẳng sư phạm (École Normale
5
Superieuse) ở Paris, say sưa nghiên cứu vấn đề này. Galois đã gửi tới
ba bản thảo cho Viện Hàn lâm khoa học Paris, nhưng tất cả đều không
được xem xét một cách nghiêm túc và rơi vào quên lãng. Năm 1832,
chàng thanh niên tài năng xuất chúng Évariste Galois chết trong một
cuộc đấu súng khi mới ở tuổi 21. May mắn thay, vào năm 1843,
Joseph L iouville đã nhận thấy giá trò của những công trình của Galois
và ông đã viết thư gửi Viện Hàn lâm khoa học Paris, trong đó nhấn
mạnh rằng ông đã tìm thấy trong các bài viết của Galois một lời giải
rất sâu sắc cho một bài toán tuyệt đẹp: ”Làm thế nào để nhận biết
một phương trình đại số là giải được hay không bằng căn thức.”
Ngày nay , phương pháp mà Galois đề xuất để tìm nghiệm cho
một phương trình đại s ố đã được mang tên ông, gọi là Lý thuyết
Galois. Giáo trình Lý thuyết Trường & Galois nhằm cung cấp những
kiến thức cơ bản về Lý thuyết mở rộng trường và trình bày những
ý tưởng độc đáo của Galois để giải bài toán đã nói phía trên. Trong
giáo trình cũng trình bày một số ứng dụng của Lý thuyết Trường &
Galois, chẳng hạ n như bài toán dựng hình bằng compa và thước kẻ
hay như phép chứng mi nh Đònh lý căn bản của Đại số bằng cách gần
như chỉ sử dụng các công cụ đại số. Cụ thể hơn, ở đây có sự kết hợp
giữa việc sử dụng Đònh lý căn bản của thuyết Galois và Đònh lý Sylow
về nhóm hữu hạn. Tuy nhiên, trong chứng minh chúng tui vẫn cần
đến sự trợ giúp một chút của Giải tích bằng cách sử dụng Đònh lý
về cá c giá trò trung gian. Đây cũng là sự minh chứng cho ranh giới
rất tương đối của các chuyên ngành trong Toán học. Để tiện lợi cho
bạn đọc, ở hai tiết đầu chúng tui đã trình bày các khái niệm cơ bản
về các nhóm hoán vò và giải được. Về mặt hình thức, việc đọc cuốn
giáo trình này không đòi hỏi phải biết trước những kiến thức của đại
số đại cương. Tuy nhiên, để có thể hiểu sâu vấn đề, người đọc cũng
cần có chút ít kinh nghiệm làm việc với toán cao cấp. Việc giải
bài tập là một phần quan trọng khi đọc cuốn giáo trình này. Cũng
có một số bài tập khó, nhưng một bạn đọc nghiêm túc chắc chắn sẽ
giải được tất cả các bài tập này.
Cuối cùng, như là một qui luật, dù tác giả có chăm chú đến đâu
thì vẫn có thể còn có những sai só t. Vì vậy chúng tui mong nhận
6
được các ý kiến góp ý, phê bình của bạn đọc để hoàn thiện cuốn giáo
trình trong những lần xuất bản sau. Mọi ý kiến xin gửi về đòa chỉ
hòm thư điện tử
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BÙI XUÂN HẢI
LÝ THUYẾT
TRƯỜNG & GALOIS
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH
-2007-
Bảng ký hiệu
C - tập hợp các số phức
R - tập hợp các số thực
Q - tập hợp các số hữu tỷ
Z - tập hợp các số nguyên
N = {1, 2, 3, } - tập hợp các số tự nhiên
Z
+
= {0, 1, 2, 3, } - tập hợp các số nguyên không âm
a, b = {a, a +1,a+2, ,b},trongđóa, b ∈ Z và a
n
- tập hợp các số nguyên modulo n
F
q
-trườngGaloisgồmq phần tử
Aut(L) - nhóm các tự đẳng cấu của t rường L
Gal(L/K) - nhóm Galois của mở rộng trường L/K
S
n
- nhóm đối xứng bậc n
A
n
- nhóm thay phiên bậc n
[L : K] -bậccủamởrộng
3
Lời giới thiệu
Bài toán tìm nghiệm của những phương trình đại số đ ã được quan
tâm từ thời cổ đại. Trong những tấm bảng đất sét của người Babylon
có từ 1600 năm trước Công nguyên đã có ghi những bài toán đưa
về việc giải phương trình bậc hai. Cũng từ những tấm bảng đất sét
này người ta nhận thấy rằng những người Babylon đã biết cách tìm
nghiệm của phương trình bậc hai mặc dù họ chưa biết cách biểu diễn
chúng bằng những ký hiệu đại số. Người La Mã cổ đại cũng từng biết
cách giải phương trình bậc hai bằng phương pháp hình học, tuy họ
cũng chưa tìm ra công thức đại số để biểu diễn chúng. Tình hình
cũng tương tự như vậy đối với những phương trình bậc ba.
Phải đ ến thời kỳ Phục hưng các nhà toán học ở Bologna (Ý) mới
khám phá ra rằng việc giải phương trình bậc ba cuối cùng được đưa
về ba dạng cơ bản sau đây:
X
3
+ pX = q, X
3
= pX + q, và X
3
+ q = pX.
Sở dó họ phải xét b a trường hợp riêng biệt này vì họ không muốn
công nhận v iệc tồn tại các số âm. Một người trong số các nhà toán
học thời đó có tên là Scipio del Ferro tự nhận là ông ta có lời giải cho
cả ba trường hợp nêu trên. Tuy nhiên, những lời giải này được giữ
bí mật và ông ta chỉ dạy cho một người học trò của mình có tên là
Fior biết phương pháp giải một trong ba dạng phương trình nói trên.
Nhưng tin tức về việc đã có người biết giải các phương trình bậc ba đã
lọt ra ngoài và điều này kích thích sự tìm tòi của nhiều người. Cuối
cùng thì một người có tên là Niccolo Fontana (bí danh Tartaglia) đã
tái phát minh ra lời giải vào năm 1535. Fontana đã công khai phương
pháp của mình nhằm cạnh tranh với Fior, nhưng ông từ chối công
bố chi tiết lời giải. Nhưng sau đó Fontana, bò một nhà vật lý học có
tên Girolamo Cardano thuyết phục, đã đồng ý trao lời giải cho ông
này sau khi nhận được lời hứa là mọi chuyện vẫn sẽ được giữ bí mật.
Thế nhưng, vào năm 1545 Cardano cho xuất bản cuốn Ars Magna,
4
trong đó ông trình bày đầy đủ toàn b ộ lời giải của Fontana, kèm theo
lời Thank trân trọng gửi đến người đã phát minh ra nó. Tất nhiên
là Fontana có lý do chính đáng để giận dữ. Thế nhưng, cũng nhờ
có dòp may này mà phát minh quan trọng đó đã được ra mắt quần
chúng.
Cũng trong Ars Magna, Cardano còn trình bày một phương pháp
của Ludovico Ferrari về vi ệ c giải phương trình bậc bốn bằng cách đưa
về giải phương trình bậc ba.
Một tính chất nổi bật dễ nhận thấy trong tất cả các công thức
được phát minh là các nghiệm đều được biểu diễn bằng các biểu thức
căn thức, nghóa là các biểu thức đại số nhận được bằng cách tác động
lên các hệ số các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và khai căn.
Như vậy, đến thời điểm này có thể nói rằng tất cả cá c phương
trình bậc ≤ 4 đều giải được bằng căn thức. Một câu hỏi được đặt ra
một cách rất tự nhiên là: Liệu phương trình bậc 5 có giải được bằng
căn thức hay không? Câu hỏi này đã thu hút sự quan tâm nghiên
cứu của rất nhiều người. Có thể kể ra đây một số trường hợp sau:
Tschirnhaus đưa ra lời giải nhưng bò Leibniz chỉ ra là sai lầm. Euler
đưa ra lời giải sai nhưng đồng thời lại tìm được phương pháp mới để
giải phương trình bậc 4. Lagrange cũng nghiên cứu vấn đề này và
tìm r a cách thống nhất để giải quyết bài toán cho các phương trình
bậc ≤ 4. Tuy nhiên ông nói rằng phương pháp của ông sẽ sai nếu
áp dụng cho phương trình bậc 5. Vậy, phải chăng phương trình bậc
5 không giải được bằng căn thức? Năm 1813, Ruffini công bố một
chứng minh với nhiều sai sót rằng phương trình bậc 5 không giải
được bằng căn thức. Cuối cùng, vào năm 1824 Abel đã chứng minh
một cách thuyết phục rằng phương trình bậc 5 tổng quát không giải
được bằng că n thức.
Vấn đề bây giờ lại là việc cần giải quyết câu hỏi: Làm cách nào
để nhận biết một phương trình đại số cho trước là giải được hay
không bằng căn thức? Abel đ ang nghiên cứu vấn đề na øy dang dở
thì mất vào năm 1829. Khi ấy, có một người Pháp còn rất trẻ tên là
Évariste Galois, sinh viên Trường Cao đẳng sư phạm (École Normale
5
Superieuse) ở Paris, say sưa nghiên cứu vấn đề này. Galois đã gửi tới
ba bản thảo cho Viện Hàn lâm khoa học Paris, nhưng tất cả đều không
được xem xét một cách nghiêm túc và rơi vào quên lãng. Năm 1832,
chàng thanh niên tài năng xuất chúng Évariste Galois chết trong một
cuộc đấu súng khi mới ở tuổi 21. May mắn thay, vào năm 1843,
Joseph L iouville đã nhận thấy giá trò của những công trình của Galois
và ông đã viết thư gửi Viện Hàn lâm khoa học Paris, trong đó nhấn
mạnh rằng ông đã tìm thấy trong các bài viết của Galois một lời giải
rất sâu sắc cho một bài toán tuyệt đẹp: ”Làm thế nào để nhận biết
một phương trình đại số là giải được hay không bằng căn thức.”
Ngày nay , phương pháp mà Galois đề xuất để tìm nghiệm cho
một phương trình đại s ố đã được mang tên ông, gọi là Lý thuyết
Galois. Giáo trình Lý thuyết Trường & Galois nhằm cung cấp những
kiến thức cơ bản về Lý thuyết mở rộng trường và trình bày những
ý tưởng độc đáo của Galois để giải bài toán đã nói phía trên. Trong
giáo trình cũng trình bày một số ứng dụng của Lý thuyết Trường &
Galois, chẳng hạ n như bài toán dựng hình bằng compa và thước kẻ
hay như phép chứng mi nh Đònh lý căn bản của Đại số bằng cách gần
như chỉ sử dụng các công cụ đại số. Cụ thể hơn, ở đây có sự kết hợp
giữa việc sử dụng Đònh lý căn bản của thuyết Galois và Đònh lý Sylow
về nhóm hữu hạn. Tuy nhiên, trong chứng minh chúng tui vẫn cần
đến sự trợ giúp một chút của Giải tích bằng cách sử dụng Đònh lý
về cá c giá trò trung gian. Đây cũng là sự minh chứng cho ranh giới
rất tương đối của các chuyên ngành trong Toán học. Để tiện lợi cho
bạn đọc, ở hai tiết đầu chúng tui đã trình bày các khái niệm cơ bản
về các nhóm hoán vò và giải được. Về mặt hình thức, việc đọc cuốn
giáo trình này không đòi hỏi phải biết trước những kiến thức của đại
số đại cương. Tuy nhiên, để có thể hiểu sâu vấn đề, người đọc cũng
cần có chút ít kinh nghiệm làm việc với toán cao cấp. Việc giải
bài tập là một phần quan trọng khi đọc cuốn giáo trình này. Cũng
có một số bài tập khó, nhưng một bạn đọc nghiêm túc chắc chắn sẽ
giải được tất cả các bài tập này.
Cuối cùng, như là một qui luật, dù tác giả có chăm chú đến đâu
thì vẫn có thể còn có những sai só t. Vì vậy chúng tui mong nhận
6
được các ý kiến góp ý, phê bình của bạn đọc để hoàn thiện cuốn giáo
trình trong những lần xuất bản sau. Mọi ý kiến xin gửi về đòa chỉ
hòm thư điện tử
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links