uận văn: Ứng dụng phương pháp tách biến giải một số lớp phương trình đạo hàm riêng : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 01
Nhà xuất bản: ĐHKHTN
Ngày: 2012
Chủ đề: Toán giải tích
Phương pháp tách biến
Phương trình đạo hàm riêng
Miêu tả: 65 tr. + CD-ROM + tóm tắt
Luận văn ThS. Toán giải tích -- Trường Đại học Khoa học Tự nhiên. Đại học Quốc gia Hà Nội, 2012
Trình bày một số phương trình đạo hàm riêng, kiến thức cơ bản của chuỗi Fourier, hàm Bessel, các định lý duy nhất nghiệm và giới thiệu về phương pháp tách biến. Trình bày phương trình đạo hàm riêng hai chiều. Sử dụng phương pháp tách biến và hàm riêng để tìm nghiệm của phương trình sóng, phương trình nhiệt và phương trình Laplace trên hình chữ nhật, hình tròn
Electronic Resources
Kiểu: text
LỜI MỞ ĐẦU
Phương pháp tách biến là một trong những phương pháp quan trọng để giải bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính. Nó đã được sử dụng trong suốt thế kỷ qua, và ngày nay vẫn là một phương pháp rất quan trọng và được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực. Bằng việc sử dụng phương pháp tách biến kết hợp với nguyên lý chồng chất nghiệm và khai triển hàm theo hệ cơ sở trực giao, ta có thể giải quyết một số lớp các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không thuần nhất.
Mục tiêu của luân văn này là tìm hiểu và trình bày lại các kết quả về việc áp dụng phương pháp tách biến vào việc giải một số phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không thuần nhất trong không gian hai chiều.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành hai chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trình bày một số phương trình đạo hàm riêng, kiến thức cơ bản của chuỗi Fourier, hàm Bessel sẽ sử dụng trong chương sau, các định lí duy nhất nghiệm và giới thiệu về phương pháp tách biến.
Chương 2: Phương trình đạo hàm riêng hai chiều. Sử dụng phương pháp tách biến và hàm riêng để tìm nghiệm của phương trình sóng, phương trình nhiệt và phương trình Laplace trên hình chữ nhật, hình tròn.
Em xin gửi lời Thank sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS.Lê Huy Chuẩn. Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành luận văn này. Nhân dịp này em xin gửi lời Thank của mình tời toàn bộ các thầy cô giáo trong khoa Toán-Cơ-Tin học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập tại khoa.
2
Đồng thời, tui xin Thank các bạn trong lớp Cao học khóa 2010-2012 chuyên nghành Toán, khoa Toán-Cơ-Tin học đã nhiệt tình giúp đỡ tui trong quá trình học tập tại lớp.
Hà nội, ngày 26 tháng 11 năm 2012
Học viên
Nguyễn Tuấn Anh
3
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Các loại phương trình đạo hàm riêng
Phương trình đạo hàm riêng với ẩn là hàm u(x1, x2, . . . , xn) với các biến x1, x2, . . . , xn độc lập, có dạng
∂xn, . . . ,∂uk1+k2+···+kn
∂x1, . . . ,∂u
F(x1, . . . , xn, u,∂u
∂xk1 . . . ∂xkn n
) = 0,
trong đó F là một hàm của các đối số trên. Cấp cao nhất đạo hàm riêng của u, có mặt trong phương trình, được gọi là cấp của phương trình. Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính, nếu F tuyến tính đối với ẩn hàm u và tất cả đạo hàm riêng của nó.
Xét phương trình cấp hai của hàm hai biến
∂x2+ b(x, y)∂2u
a(x, y)∂2u
∂x∂y + c(x, y)∂2u
∂y2+ f(x, y, ux, uy) = 0. (1.1.1)
Xét một điểm (x0, y0) cố định. Phương trình (1.1.1) tại điểm (x0, y0) được gọi là thuộc loại ellip nếu như tại điểm đó b2 − ac < 0, thuộc loại hypecbôn nếu như tại điểm đó b2 − ac > 0, thuộc loại parabôn nếu như tại điểm đó b2 − ac = 0. Nếu phương trình (1.1.1) tại mọi điểm trong một miền G đều
4
thuộc cùng một loại thì ta nói rằng phương trình ấy thuộc loại đó trong miền G.
Bằng phép đổi biến ta có thể đưa phương trình loại ellip, hypecbôn, và parabôn về các dạng chính tắc.
1. Dạng chính tắc của loại ellip là
uxx + uyy = Φ(x, y, u, ux, uy).
2. Dạng chính tắc của loại hypecbôn là
uxx − uyy = Φ(x, y, u, ux, uy) hay uxy = Φ(x, y, u, ux, uy). 3. Dạng chính tắc của loại parabôn là
uxx = Φ(x, y, u, ux, uy).
Một số phương trình đạo hàm riêng trong vật lý và kĩ thuật: Phương trình
sóng một chiều
∂2u
∂t2= c2∂2u
∂x2,
và phương trình sóng hai chiều
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
Nhà xuất bản: ĐHKHTN
Ngày: 2012
Chủ đề: Toán giải tích
Phương pháp tách biến
Phương trình đạo hàm riêng
Miêu tả: 65 tr. + CD-ROM + tóm tắt
Luận văn ThS. Toán giải tích -- Trường Đại học Khoa học Tự nhiên. Đại học Quốc gia Hà Nội, 2012
Trình bày một số phương trình đạo hàm riêng, kiến thức cơ bản của chuỗi Fourier, hàm Bessel, các định lý duy nhất nghiệm và giới thiệu về phương pháp tách biến. Trình bày phương trình đạo hàm riêng hai chiều. Sử dụng phương pháp tách biến và hàm riêng để tìm nghiệm của phương trình sóng, phương trình nhiệt và phương trình Laplace trên hình chữ nhật, hình tròn
Electronic Resources
Kiểu: text
LỜI MỞ ĐẦU
Phương pháp tách biến là một trong những phương pháp quan trọng để giải bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính. Nó đã được sử dụng trong suốt thế kỷ qua, và ngày nay vẫn là một phương pháp rất quan trọng và được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực. Bằng việc sử dụng phương pháp tách biến kết hợp với nguyên lý chồng chất nghiệm và khai triển hàm theo hệ cơ sở trực giao, ta có thể giải quyết một số lớp các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không thuần nhất.
Mục tiêu của luân văn này là tìm hiểu và trình bày lại các kết quả về việc áp dụng phương pháp tách biến vào việc giải một số phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không thuần nhất trong không gian hai chiều.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành hai chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trình bày một số phương trình đạo hàm riêng, kiến thức cơ bản của chuỗi Fourier, hàm Bessel sẽ sử dụng trong chương sau, các định lí duy nhất nghiệm và giới thiệu về phương pháp tách biến.
Chương 2: Phương trình đạo hàm riêng hai chiều. Sử dụng phương pháp tách biến và hàm riêng để tìm nghiệm của phương trình sóng, phương trình nhiệt và phương trình Laplace trên hình chữ nhật, hình tròn.
Em xin gửi lời Thank sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS.Lê Huy Chuẩn. Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành luận văn này. Nhân dịp này em xin gửi lời Thank của mình tời toàn bộ các thầy cô giáo trong khoa Toán-Cơ-Tin học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập tại khoa.
2
Đồng thời, tui xin Thank các bạn trong lớp Cao học khóa 2010-2012 chuyên nghành Toán, khoa Toán-Cơ-Tin học đã nhiệt tình giúp đỡ tui trong quá trình học tập tại lớp.
Hà nội, ngày 26 tháng 11 năm 2012
Học viên
Nguyễn Tuấn Anh
3
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Các loại phương trình đạo hàm riêng
Phương trình đạo hàm riêng với ẩn là hàm u(x1, x2, . . . , xn) với các biến x1, x2, . . . , xn độc lập, có dạng
∂xn, . . . ,∂uk1+k2+···+kn
∂x1, . . . ,∂u
F(x1, . . . , xn, u,∂u
∂xk1 . . . ∂xkn n
) = 0,
trong đó F là một hàm của các đối số trên. Cấp cao nhất đạo hàm riêng của u, có mặt trong phương trình, được gọi là cấp của phương trình. Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính, nếu F tuyến tính đối với ẩn hàm u và tất cả đạo hàm riêng của nó.
Xét phương trình cấp hai của hàm hai biến
∂x2+ b(x, y)∂2u
a(x, y)∂2u
∂x∂y + c(x, y)∂2u
∂y2+ f(x, y, ux, uy) = 0. (1.1.1)
Xét một điểm (x0, y0) cố định. Phương trình (1.1.1) tại điểm (x0, y0) được gọi là thuộc loại ellip nếu như tại điểm đó b2 − ac < 0, thuộc loại hypecbôn nếu như tại điểm đó b2 − ac > 0, thuộc loại parabôn nếu như tại điểm đó b2 − ac = 0. Nếu phương trình (1.1.1) tại mọi điểm trong một miền G đều
4
thuộc cùng một loại thì ta nói rằng phương trình ấy thuộc loại đó trong miền G.
Bằng phép đổi biến ta có thể đưa phương trình loại ellip, hypecbôn, và parabôn về các dạng chính tắc.
1. Dạng chính tắc của loại ellip là
uxx + uyy = Φ(x, y, u, ux, uy).
2. Dạng chính tắc của loại hypecbôn là
uxx − uyy = Φ(x, y, u, ux, uy) hay uxy = Φ(x, y, u, ux, uy). 3. Dạng chính tắc của loại parabôn là
uxx = Φ(x, y, u, ux, uy).
Một số phương trình đạo hàm riêng trong vật lý và kĩ thuật: Phương trình
sóng một chiều
∂2u
∂t2= c2∂2u
∂x2,
và phương trình sóng hai chiều
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links
Last edited by a moderator: