Bài toán tiếp tuyến

[PHUONG_SAXE]

Chuyên đề Bài toán tiếp tuyến

Download Chuyên đề Bài toán tiếp tuyến miễn phí

Cho hàm số y = (x^2 + 2x + 2)/ (x+1) (C)
1) Gọi I là tâm đối xứng của (C) và M là một điểm bất kì thuộc (C). Tiếp tuyến tại M
cắt hai đường tiệm cận tại A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB và tam
giác IAB không phụthuộc vào vịtrí của M.
2) Tìm vịtrí của M đểAB nhỏnhất.
3)Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với tiệm cận xiên.



Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho

Tóm tắt nội dung:

x y= − + (với ẩn là x0).
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến
Phương pháp: Ta dựa vào ba bài toán trên
Ví dụ 1: Cho hàm số 3 2y= 3 2x x x− + , có ñồ thị (C)
1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại ñiểm uốn .
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại ñiểm có hoành ñộ bằng 1− .
3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại ñiểm có tung ñộ bằng 6 .
4) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao ñiểmcủa (C) với trục hoành.
5) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại ñiểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
Giải:
1)Ta có: 2' 3 6 2 '' 6 6 " 0 1y x x y x y x= − + ⇒ = − ⇒ = ⇔ = , do ñó tọa ñộ ñiểm uốn
là (1;0)U
Phương trình tiếp tuyến tại U là: '(1)( 1) 0 1y y x x= − + =− + .
2) Ta có 0 01 6x y= ⇒ =− và 0'( ) '( 1) 11y x y= − = , suy ra
Phương trình tiếp tuyến là: '( 1)( 1) 6 11 5y y x x= − + − = + .
3) Gọi 0( ;6)M x là tiếp ñiểm , ta có:
3 2 2
0 0 0 0 0 03 2 6 ( 3)( 2) 0 3x x x x x x− + = ⇔ − + = ⇔ =
Vậy phương trình tiếp tuyến là: '(3)( 3) 6 11 27y y x x= − + = − .
4) PTHð giao ñiểm của (C) với Ox: 3 23 2 0 0, 1, 2x x x x x x− + = ⇔ = = =
* x=0 ta có tiếp tuyến: '(0)( 0) 0 2y y x x= − + = .
* x=1 ta có tiếp tuyến: '(1)( 1) 0 1y y x x= − + =− + .
* x=2 ta có tiếp tuyến: '(2)( 2) 0 2 4y y x x= − + = − .
5) Vì hệ số góc của mọi tiếp tuyến ñều có dạng '( )f x và hệ số góc của tiếp tuyến tại
ñiểm uốn bằng -1. Do ñó ñể chứng minh bài toán ta chỉ cần chứng minh '( ) 1f x ≥− .
ð iều này luôn ñúng vì: 2'( ) 1 3( 1) 0 f x x x R+ = − ≥ ∀ ∈ (ñpcm).
GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích
Chú ý: Chứng minh tương tự ta có kết quả tổng quát của câu 5 như sau
“Cho hàm số 3 2 ( 0)y ax bx cx d a= + + + ≠ . Nếu 0a> thì tiếp tuyến tại ñiểm uốn
có hệ số góc nhỏ nhất còn nếu 0a< thì tiếp tuyến tại ñiểm uốn có hệ số góc lớn
nhất”.
Ví dụ 2: Cho hàm số
2 1
1
x xy
x
− +
=
−
có ñồ thị (C)
1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng
:3 4 1 0x y∆ − + = .
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) xuất phát từ ( 1;3)M − .
3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) ñi qua giao ñiểm hai ñường tiệm cận của (C).
4) Biện luận theo 0m≠ số tiếp tuyến của (C) mà tiếp tuyến vuông góc với ñường
thẳng : 1 0m x my m∆ − + + = .
Giải:
Ta có
2
2
2
'
( 1)
x xy
x
−
=
−
1)Gọi d là tiếp tuyến song song với ñường thẳng 3 1:
4 4
y x∆ = + , khi ñó d có hệ số
góc là 3
4
k =
Xét phương trình:
2
2
2
12 3
' 2 3 0
34( 1)
xx xy k x x
xx
 =−−
= ⇔ = ⇔ − − = ⇔
 =− 
.
*
31
2
x y=− ⇒ =− ⇒phương trình tiếp tuyến: 3 3
4 4
y x= − .
*
73
2
x y= ⇒ = ⇒phương trình tiếp tuyến: 3 5
4 4
y x= + .
2) Gọi d là ñường thẳng ñi qua ( 1;3)M − , có hệ số góc k, khi ñó phương trình d có
dạng: ( 1) 3y k x= + +
d là tiếp tuyến ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm:
2
2
2
1 ( 1) 3 (1)
1
2
(2)
( 1)
x x k x
x
x x k
x
 − + = + + −

 − = −
Thế (2) vào (1) ta ñược:
2 2
2
1 2 ( 1) 3
1 ( 1)
x x x x
x
x x
− + −
= + =
− −
2
2
2 5 2 0 1
2
x
x x
x
 =

⇔ − + = ⇔ 
 =

* Với 2 0x k= ⇒ = ⇒Phương trình tiếp tuyến y=3.
GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích
*Với 1 3
2
x k= ⇒ =− ⇒ Phương trình tiếp tuyến 3y x=−
3) ðồ thị có hai tiệm cận 1x= và y x= suy ra giao ñiểm của hai tiệm cận là I(1;1)
Gọi d là ñường thẳng ñi qua I, có hệ số góc k : ( 1) 1d y k x⇒ = − +
d là tiếp tuyến ⇔ hệ
2
2
2
1 ( 1) 1
1
2
( 1)
x x k x
x
x x k
x
 − + = − + −

 − = −
có nghiệm
Thế k vào phương trình thứ hai ta ñược:
2 2
2 21 2 1 1 2 1
1 1
x x x x
x x x x x
x x
− + −
= + ⇔ − + = − + −
− −
phương trình vô nghiệm
Vậy qua I không có tiếp tuyến nào kẻ ñến (C).
4) m∆ có hệ số góc
1
mk
m
= . Số tiếp tuyến thỏa mãn bài toán chính là số nghiệm của
phương trình:
2
2
2
( 2 )
'. 1 1 ( 1) 2( 1) 1 0 (*)
( 1)m
m x xy k m x m x
x
−
=− ⇔ =− ⇔ + − + + =
−
( với ñk 1x≠ )
* Nếu m=-1 (*)⇒ vô nghiệm⇒không có tiếp tuyến nào.
*Nếu 1m≠− : (*) có ' ( 1)m m∆ = + và (*) có nghiệm 1 0x m= ⇔ =
+ Khi
0
1
m
m
 >
 ⇒
 <−
(*) có hai nghiệm phân biệt ⇒ có hai tiếp tuyến
+ Khi 1 0m− < ≤ thì (*) vô nghiệm ⇒ không có tiếp tuyến nào.
Chú ý: *Hệ số góc của mọi tiếp tuyến luôn có dạng: '( )f x .
* ðối với hàm phân thức
2
( . ' 0)
' '
ax bx cy a a
a x b
+ +
= ≠
+
không có tiếp tuyến nào ñi
qua gia ñiểm của hai tiệm cận.
Ví dụ 3: Cho hàm số 2 2(2 )y x x= − , có ñồ thị (C).
1) Viết phương trình tiếp tuyến tại giao ñiểm của (C) với Parabol 2y x=
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm A(2;0).
Giải: Ta có: 4 3 2 3 24 4 ' 4 12 8y x x x y x x x= − + ⇒ = − +
1) PTHð giao ñiểm của (C) và Parabol 2y x=
4 3 2 2 2 24 4 ( 4 3) 0 0, 1, 3x x x x x x x x x x− + = ⇔ − + = ⇔ = = = .

0x= ta có phương trình tiếp tuyến là: 0y=

1x= ta có phương trình tiếp tuyến là: 1y=

3x= ta có phương trình tiếp tuyến là: 24 63y x= − .
GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích
2) Gọi d là ñường thẳng ñi qua A, có hệ số góc k : ( 2)d y k x⇒ = −
d là tiếp tuyến ⇔ hệ
2 2(2 ) ( 2)
4 ( 2)( 1)
x x k x
x x x k
 − = −

 − − =
có nghiệm
Thay k vào phương trình thứ nhất ta ñược:
4 3 2 3 2 24 4 ( 2)(4 12 8 ) (3 4)( 2) 0x x x x x x x x x x− + = − − + ⇔ − − =
40, 2,
3
x x x⇔ = = = .

0 0x k= ⇒ = ⇒Phương trình tiếp tuyến 0y=

2 0x k= ⇒ = ⇒Phương trình tiếp tuyến 0y=


4 32
3 27
x k= ⇒ =− ⇒Phương trình tiếp tuyến 32 64
27 27
y x=− + .
Ví dụ 4: Cho hàm số 1
2
mxy
x m
+
=
+ −
,có ñồ thị là (Cm )
1)Viết phương trình tiếp tuyến của (C1),biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm P(3;1).
2)Viết phương trình tiếp tuyến của (C1),biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm A(2;-1)
3)Tìm m ñể tiếp tuyến tại ñiểm có hoành ñộ x=1 vuông góc với ñường thẳng y=x+1.
Giải:
Với m=1 ta có 1
1( ) :
1
xC y
x
+
=
−
1) Gọi d là ñường thẳng ñi qua P, có hệ số góc k : ( 3) 1d y k x⇒ = − + .
d là tiếp tuyến ⇔ hệ
2
1 ( 3) 1
1
2
( 1)
x k x
x
k
x
 + = − + −

− = −
có nghiệm.
Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñược: 2
1 2 ( 3) 1 2
1 ( 1)
x
x x
x x
+ −
= − + ⇔ =
− −
2k⇒ =− ⇒Phương trình tiếp tuyến: 2 7y x=− + .
2) Gọi d là ñường thẳng ñi qua A, có hệ số góc k : ( 2) 1d y k x⇒ = − − .
d là tiếp tuyến ⇔ hệ
2
1 ( 2) 1
1
2
( 1)
x k x
x
k
x
 + = − − −

− = −
có nghiệm.
Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñược: 2
1 2 ( 2) 1 2
1 ( 1)
x
x x
x x
+ −
= − − ⇔ =±
− −
* 2 2(3 2 2)x k= ⇒ =− + ⇒ tiếp tuyến: 2(3 2 2) 11 8 2y x=− + + + .
* 2 2(3 2 2)x k=− ⇒ =− − ⇒ tiếp tuyến: 2(3 2 2) 11 8 2y x=− − + − .
GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích
3) Ta có
2
2
2 1
'
( 2)
m my
x m
− −
=
+ −
.
Tiếp tuyến tại ñiểm có hoành ñộ x=1 vuông góc với ñường thẳng y=x+1
2
2
2 1
'(1) 1 1 0, 2
( 1)
m my m m
m
− −
⇔ =− ⇔ =− ⇔ = =
−
.
Ví dụ 5: Có bao nhiêu tiếp tuyến của ñồ thị hàm số
lny x x= ñi qua ñiểm M(2,1)?
Giải:
Gọi d là ñường thẳng ñi qua M, có hệ số góc k : ( 2) 1d y k x⇒ = − + .
D là tiếp tuyến ⇔ hệ
ln ( 2) 1
ln 1
x x k x
x k
 = − +