nhatminh_fff
New Member
Download Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 - Phần số học
Câu 3: ( 3,0 điểm)Trong một cuộc đua xe môtô, ba tay đua đã khởi hành cùng một lúc. Mỗi giờ, người thứ hai chạy chậm hơn người thứ nhất 15km và nhanh hơn người thứ ba 3km nên người thứ hai đến đích chậm hơn người thứ nhất 12 phút và sớm hơn người thứ ba 3 phút. Tính vận tốc của ba tay đua môtô trên.
Câu 4: ( 3,0 điểm)Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH bằng 10cm, đường cao BK bằng 12cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
Câu 5: ( 5,0 điểm)Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và một điểm M chuyển động trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
1) Chứng minh: nếu điểm M thuộc cung nhỏ AB thì MA + MB = MC.
2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = MA + MB + MC ( khi M thuộc cung nhỏ AB).
++ Ai muốn tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho!
c) Kẻ OH ^ NP .
Có NP = 2 .NH = 2. NO .cosHNO = 2.NO.Cos(A/2)
= 2.OE .Cos (A/2) .
Vậy NPMin = 2r.cos(A/2) .
Khi đó M , N , P trùng với các tiếp điểm .
Bài 10 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3a . Lấy AE = a trên cạnh AD và DF = a trên cạnh DC . Nối AF và BE cắt nhau ở H .
Chứng minh : AF ^ BE .
Tính cạnh của tứ giác ABFE và đường chéo của nó theo a .
Tính theo a đoạn HE , HB .
Chứng minh : EDFH nội tiếp đường tròn . Đường tròn ấy cắt BF ở K . Tính theo a đoạn BK . Nhận xét gì về 3 điểm E , K ,C .
A
B
C
D
F
E
H
K
Hướng dẫn :
a) DADF = DBAE ÞDAF = EBA Þ BE ^ AF .
b) Pitago : BE = AF = a ; EF = a; BF = a
c) Dùng hệ thức lượng : EH = ; HB =
d) Dựa vào tổng 2 góc đối bằng 1800 nên EDFH nội tiếp.
DBEK DBFH Þ
Dựa vào vuông góc : E , K , C thẳng hàng .
Chuyên dề 8:Một số đÒ thi häc sinh giái to¸n 9
Đề 1:
Câu 1: ( 6,0 điểm) 1)Giải phương trình:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
Câu 2: ( 3,0 điểm)Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên n 2 thì không thể là một số nguyên.
Câu 3: ( 3,0 điểm)Trong một cuộc đua xe môtô, ba tay đua đã khởi hành cùng một lúc. Mỗi giờ, người thứ hai chạy chậm hơn người thứ nhất 15km và nhanh hơn người thứ ba 3km nên người thứ hai đến đích chậm hơn người thứ nhất 12 phút và sớm hơn người thứ ba 3 phút. Tính vận tốc của ba tay đua môtô trên.
Câu 4: ( 3,0 điểm)Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH bằng 10cm, đường cao BK bằng 12cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
Câu 5: ( 5,0 điểm)Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và một điểm M chuyển động trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Chứng minh: nếu điểm M thuộc cung nhỏ AB thì MA + MB = MC.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = MA + MB + MC ( khi M thuộc cung nhỏ AB).
ĐỀ 2:
Bµi 1: (3 ®iÓm) Cho biÓu thøc
1) Rut gọn biểu thức P
2) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x = 14 - 6
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P và giá trị tương ứng của x.
Bµi 2: (3 ®iÓm) Gi¶i ph ¬ng tr×nh:1)
2)
Bµi 3: (3 ®iÓm) 1) Cho biểu thức A = . Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
2) Cho =3. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = x + y.
Bài 4: (3 điểm)1) Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: ( y + 2 )x2 + 1 = y2
2) T×m nghiÖm nguyªn d ¬ng cña ph ¬ng tr×nh sau:
Bài 5: ( 3 điểm) Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.
Chứng minh rằng: sin
Bµi 6: (5 ®iÓm) Cho tam giác đều ABC có cạnh 60 cm. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = 20cm. Đường trung trực của AD cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở E, F. Tính độ dài các cạnh của tam giác DEF./.
ĐỀ 3:
Bài1(1,5đ)
a/ Tính
b/ Cho a +b +c = 0 , a,b,c ≠0. Chứng tỏ rằng
= ||
c/ Hãy chứng tỏ là nghiệm của phương trình x3 +3x – 4 = 0
Bài2(2đ)
a/ Rút gọn, tính giá trị biểu thức
Với x =
b/ Giải phương trình
Bài3(2,5đ)
a/ Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của biểu thức
b/ Trên mặt phẳng toạ độ cho các điểm A(0;4) ; B(3;4) ; C(3;0)
Viết phương trình đường thẳng đi qua A, C . Xác định a để đường thẳng y =ax chia hình chữ nhật OABC thành hai phần , trong đó diện tích phần chứa điểm A gấp đôi diện tích phần chứa điểm C
Bài4(3đ) Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung trong EF ( A ,E (O) , B , F (O’) )
a/ Gọi M là giao điểm của AB và EF . Chứng minh rằng :AOM và BMO’ đồng dạng
b/ Chứng minh rằng AE vuông góc với BF
c/ Gọi N là giao điểm của AE và BF . Chứng minh rằng ba điểm O , N , O’ thẳng hàng
Bài5(1đ) Cho hình vuông ABCD . Tính cos biết rằng M ,N theo thứ tự là trung điiểm của BC, CD
§Ò 4.
Bµi 1(3®). Cho biÓu thøc: A =
Rót gän A.
TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x = +2010
Bµi 2(3®). Cho hµm sè y = 3x +2m-1 (1)
a. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè (1) ®i qua ®iÓm A(1; 5).
b. VÏ ®å thÞ hµm sè víi gi¸ trÞ võa t×m ® îc ë c©u a. Gäi giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè (1) víi trôc 0x lµ B; giao ®iÓm cña ® êng th¼ng h¹ tõ A vu«ng gãc víi 0x lµ C. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC?
Bµi 3(2) Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n
Chøng minh r»ng: z – x =2
Bµi 4(2.5). Cho x + y = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc B = x3 + y3 + xy
Bµi 5(2.5). Cho a, b>0. Chøng minh r»ng:
Bµi 6(3) Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( = 900, BC > BA) néi tiÕp ® êng trßn ® êng kÝnh AC. KÎ d©y cung BD vu«ng gãc víi ® êng kÝnh AC. Gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD. Trªn HC lÊy ®iÓm E sao cho E ®èi xøng víi A qua H. § êng trßn ® êng kÝnh EC c¾t c¹nh BC t¹i I ( I kh¸c C). Chøng minh r»ng:
CI.CA = CB.CE
HI lµ tiÕp tuyÕn cña ® êng trßn ® êng kÝnh EC
Bµi 7(4). Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp (0; R). § êng cao AK c¾t ® êng trßn (0) t¹i D; AN lµ ® êng kÝnh cña ® êng trßn (0).
Chøng minh: BD = CN.
TÝnh ®é dµi AC theo R vµ α . BiÕt = α .
Gäi H, G lÇn l ît lµ trùc t©m, träng t©m cña tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng H; G; 0 th¼ng hµng.
SỐ CHÍNH PHƯƠNG
I. ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên.
II. TÍNH CHẤT:
1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; không thể có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.
3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hay 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hay 4n + 3 (n N).
4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hay 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n N).
5. Số chính phương tận cùng bằng 1 hay 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2
Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
6. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
III. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
DẠNG1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thì
A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2
V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z
Vậy A là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.
Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n N). Ta có
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1
= (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*)
Đặt n2 + 3n = t (t N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2
= (n2 + 3n + 1)2
Vì n N nên n2 + 3n + 1 N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.
Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2)
Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương .
Ta có k(k+1)(k+2) = k(k+1)(k+2).4 = k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)]
= k(k+1)(k+2)(k+3) - k(k+1)(k+2)(k-1)
S =.1.2.3.4 -.0.1.2.3 + .2.3.4.5 -.1.2.3.4 +…+ k(k+1)(k+2)(k+3) - k(k+1)(k+2)(k-1) = k(k+1)(k+2)(k+3)
4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1
Theo kết quả bài 2 k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính ph ương.
Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …
Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.
Ta có 44…488…89 = 44…488..8 + 1 = 44…4 . 10n + 8 . 11
Download Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 - Phần số học miễn phí
Câu 3: ( 3,0 điểm)Trong một cuộc đua xe môtô, ba tay đua đã khởi hành cùng một lúc. Mỗi giờ, người thứ hai chạy chậm hơn người thứ nhất 15km và nhanh hơn người thứ ba 3km nên người thứ hai đến đích chậm hơn người thứ nhất 12 phút và sớm hơn người thứ ba 3 phút. Tính vận tốc của ba tay đua môtô trên.
Câu 4: ( 3,0 điểm)Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH bằng 10cm, đường cao BK bằng 12cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
Câu 5: ( 5,0 điểm)Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và một điểm M chuyển động trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
1) Chứng minh: nếu điểm M thuộc cung nhỏ AB thì MA + MB = MC.
2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = MA + MB + MC ( khi M thuộc cung nhỏ AB).
++ Ai muốn tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho!
Tóm tắt nội dung:
câu a) suy ra OND = OPF nên tứ giác ANOP nội tiếp .c) Kẻ OH ^ NP .
Có NP = 2 .NH = 2. NO .cosHNO = 2.NO.Cos(A/2)
= 2.OE .Cos (A/2) .
Vậy NPMin = 2r.cos(A/2) .
Khi đó M , N , P trùng với các tiếp điểm .
Bài 10 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3a . Lấy AE = a trên cạnh AD và DF = a trên cạnh DC . Nối AF và BE cắt nhau ở H .
Chứng minh : AF ^ BE .
Tính cạnh của tứ giác ABFE và đường chéo của nó theo a .
Tính theo a đoạn HE , HB .
Chứng minh : EDFH nội tiếp đường tròn . Đường tròn ấy cắt BF ở K . Tính theo a đoạn BK . Nhận xét gì về 3 điểm E , K ,C .
A
B
C
D
F
E
H
K
Hướng dẫn :
a) DADF = DBAE ÞDAF = EBA Þ BE ^ AF .
b) Pitago : BE = AF = a ; EF = a; BF = a
c) Dùng hệ thức lượng : EH = ; HB =
d) Dựa vào tổng 2 góc đối bằng 1800 nên EDFH nội tiếp.
DBEK DBFH Þ
Dựa vào vuông góc : E , K , C thẳng hàng .
Chuyên dề 8:Một số đÒ thi häc sinh giái to¸n 9
Đề 1:
Câu 1: ( 6,0 điểm) 1)Giải phương trình:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
Câu 2: ( 3,0 điểm)Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên n 2 thì không thể là một số nguyên.
Câu 3: ( 3,0 điểm)Trong một cuộc đua xe môtô, ba tay đua đã khởi hành cùng một lúc. Mỗi giờ, người thứ hai chạy chậm hơn người thứ nhất 15km và nhanh hơn người thứ ba 3km nên người thứ hai đến đích chậm hơn người thứ nhất 12 phút và sớm hơn người thứ ba 3 phút. Tính vận tốc của ba tay đua môtô trên.
Câu 4: ( 3,0 điểm)Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH bằng 10cm, đường cao BK bằng 12cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
Câu 5: ( 5,0 điểm)Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và một điểm M chuyển động trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Chứng minh: nếu điểm M thuộc cung nhỏ AB thì MA + MB = MC.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = MA + MB + MC ( khi M thuộc cung nhỏ AB).
ĐỀ 2:
Bµi 1: (3 ®iÓm) Cho biÓu thøc
1) Rut gọn biểu thức P
2) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x = 14 - 6
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P và giá trị tương ứng của x.
Bµi 2: (3 ®iÓm) Gi¶i ph ¬ng tr×nh:1)
2)
Bµi 3: (3 ®iÓm) 1) Cho biểu thức A = . Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
2) Cho =3. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = x + y.
Bài 4: (3 điểm)1) Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: ( y + 2 )x2 + 1 = y2
2) T×m nghiÖm nguyªn d ¬ng cña ph ¬ng tr×nh sau:
Bài 5: ( 3 điểm) Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.
Chứng minh rằng: sin
Bµi 6: (5 ®iÓm) Cho tam giác đều ABC có cạnh 60 cm. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = 20cm. Đường trung trực của AD cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở E, F. Tính độ dài các cạnh của tam giác DEF./.
ĐỀ 3:
Bài1(1,5đ)
a/ Tính
b/ Cho a +b +c = 0 , a,b,c ≠0. Chứng tỏ rằng
= ||
c/ Hãy chứng tỏ là nghiệm của phương trình x3 +3x – 4 = 0
Bài2(2đ)
a/ Rút gọn, tính giá trị biểu thức
Với x =
b/ Giải phương trình
Bài3(2,5đ)
a/ Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của biểu thức
b/ Trên mặt phẳng toạ độ cho các điểm A(0;4) ; B(3;4) ; C(3;0)
Viết phương trình đường thẳng đi qua A, C . Xác định a để đường thẳng y =ax chia hình chữ nhật OABC thành hai phần , trong đó diện tích phần chứa điểm A gấp đôi diện tích phần chứa điểm C
Bài4(3đ) Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung trong EF ( A ,E (O) , B , F (O’) )
a/ Gọi M là giao điểm của AB và EF . Chứng minh rằng :AOM và BMO’ đồng dạng
b/ Chứng minh rằng AE vuông góc với BF
c/ Gọi N là giao điểm của AE và BF . Chứng minh rằng ba điểm O , N , O’ thẳng hàng
Bài5(1đ) Cho hình vuông ABCD . Tính cos biết rằng M ,N theo thứ tự là trung điiểm của BC, CD
§Ò 4.
Bµi 1(3®). Cho biÓu thøc: A =
Rót gän A.
TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x = +2010
Bµi 2(3®). Cho hµm sè y = 3x +2m-1 (1)
a. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè (1) ®i qua ®iÓm A(1; 5).
b. VÏ ®å thÞ hµm sè víi gi¸ trÞ võa t×m ® îc ë c©u a. Gäi giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè (1) víi trôc 0x lµ B; giao ®iÓm cña ® êng th¼ng h¹ tõ A vu«ng gãc víi 0x lµ C. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC?
Bµi 3(2) Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n
Chøng minh r»ng: z – x =2
Bµi 4(2.5). Cho x + y = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc B = x3 + y3 + xy
Bµi 5(2.5). Cho a, b>0. Chøng minh r»ng:
Bµi 6(3) Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( = 900, BC > BA) néi tiÕp ® êng trßn ® êng kÝnh AC. KÎ d©y cung BD vu«ng gãc víi ® êng kÝnh AC. Gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD. Trªn HC lÊy ®iÓm E sao cho E ®èi xøng víi A qua H. § êng trßn ® êng kÝnh EC c¾t c¹nh BC t¹i I ( I kh¸c C). Chøng minh r»ng:
CI.CA = CB.CE
HI lµ tiÕp tuyÕn cña ® êng trßn ® êng kÝnh EC
Bµi 7(4). Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp (0; R). § êng cao AK c¾t ® êng trßn (0) t¹i D; AN lµ ® êng kÝnh cña ® êng trßn (0).
Chøng minh: BD = CN.
TÝnh ®é dµi AC theo R vµ α . BiÕt = α .
Gäi H, G lÇn l ît lµ trùc t©m, träng t©m cña tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng H; G; 0 th¼ng hµng.
SỐ CHÍNH PHƯƠNG
I. ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên.
II. TÍNH CHẤT:
1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; không thể có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.
3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hay 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hay 4n + 3 (n N).
4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hay 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n N).
5. Số chính phương tận cùng bằng 1 hay 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2
Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
6. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
III. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
DẠNG1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thì
A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2
V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z
Vậy A là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.
Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n N). Ta có
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1
= (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*)
Đặt n2 + 3n = t (t N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2
= (n2 + 3n + 1)2
Vì n N nên n2 + 3n + 1 N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.
Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2)
Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương .
Ta có k(k+1)(k+2) = k(k+1)(k+2).4 = k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)]
= k(k+1)(k+2)(k+3) - k(k+1)(k+2)(k-1)
S =.1.2.3.4 -.0.1.2.3 + .2.3.4.5 -.1.2.3.4 +…+ k(k+1)(k+2)(k+3) - k(k+1)(k+2)(k-1) = k(k+1)(k+2)(k+3)
4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1
Theo kết quả bài 2 k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính ph ương.
Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …
Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.
Ta có 44…488…89 = 44…488..8 + 1 = 44…4 . 10n + 8 . 11