Download miễn phí Đồ án Chuỗi thời gian và ứng dụng trong bài toán quản lý
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .3
LỜI MỞ ĐẦU .4
CHƯƠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ CHUỖI THỜI GIAN VÀ DỰ BÁO 5
1.1. Đại cương về chuỗi thời gian 5
1.1.1. Khái niệm chuỗi thời gian 5
1.1.2. Quá trình ngẫu nhiên 5
1.1.3. Tách xu thế phát triển và các yếu tố mùa .6
1.1.4. Mô hình hóa chuỗi thời gian 7
1.2. Dự báo .7
1.2.1. Phương pháp dự báo giản đơn 8
1.2.2. Phương pháp trung bình .12
1.2.3. Phương pháp tự hồi qui .14
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH DỰ BÁO THEO CHUỖI THỜI GIAN 15
2.1. Quá trình dừng . .15
2.1.1. Không gian L2( ,F,P) .15
2.1.2. Phép xấp xỉ tuyến tính trong L2 . .19
2.1.3. Phương trình đoán .20
2.1.4. Quá trình ngẫu nhiên dừng .20
2.1.5. đoán tuyến tính tối ưu 21
2.1.6. Kỳ vọng có điều kiện và đoán tốt nhất trong L2 . .22
2.1.7. Kỳ vọng có điều kiện và đoán tuyến tính tốt nhất .25
2.2. Quá trình ARMA .26
2.2.1. Quá trình tự hồi quy 26
2.2.2. Quá trình Trung Bình Trượt .27
2.2.3. Quá trình tự hồi quy-trung bình trượt ARMA(p,q) .28
2.2.4. Quá trình hợp nhất tự hồi-quy trung bình trượt .29
2.3. Nhận dạng mô hình .30
2.3.1. Ý tưởng của việc nhận dạng mô hình 30
2.3.2. Dừng hay không dừng .31
2.3.3. Ước lượng cấp của mô hình .33
2.3.4. Ước lượng thô tham số cho mô hình ARMA 34
2.3.5. Kiểm tra sự phù hợp của mô hình .35
2.3.6. Ước lượng các giá trị xuất phát x và .38
2.3.7. Điều chỉnh các ước lượng thô của các tham số a, b .39
2.3.8. Dự báo tuyến tính theo mô hình ARMA . .42
CHƯƠNG 3: CHƯƠNG TRÌNH THỬ NGHIỆM .45
3.1. Bài toán .45
3.2. Một số hình ảnh của chương trình 45
KẾT LUẬN 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO . 55
Để tải tài liệu này, vui lòng Trả lời bài viết, Mods sẽ gửi Link download cho bạn ngay qua hòm tin nhắn.
Ketnooi -
You must be registered for see links
Ai cần tài liệu gì mà không tìm thấy ở Ketnooi, đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
ô hình tự hồi qui bậc 2
Xt= β + Φ1Xt-1 + Φ 2Xt-2 + at
C. Mô hình tự hồi qui bậc p
Xt= β + Φ1Xt-1 + Φ2Xt-2 ++ ΦpXt-p + at
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH DỰ BÁO THEO CHUỖI THỜI GIAN
2.1. Qúa trình dừng
2.1.1. Không gian L2(,F,P)
Xét một không gian xác suất (,F,P) và lớp C gồm mọi biến ngẫu nhiên X được định nghĩa trên và khả điều kiện:
E X2 = X2()P(d) < (2.1.1)
Khi đó rõ ràng là:
E(ax)2 = a2Ex2 với C
Ngoài ra vì:
(X + Y)2 2X2 + 2Y2
nên cũng có:
(X + Y)2 2X2 + 2Y2 < với X,Y C.
Phần tử 0 của C chính là biến ngẫu nhiên đồng nhất bằng không trên và có thể dễ dàng kiểm tra thấy rằng C thỏa mãn các tính chất của một không gian vectơ.
Bây giờ, với hai phần tử X,Y C, ta định nghĩa bởi hệ thức:
= E(XY) (2.1.2)
Dễ dàng thấy rằng thỏa mãn tính chất của một vô hướng trừ tính chất triệt tiêu.
Thật vậy, nếu = 0 thì không nhất thiết X() =0(biến ngẫu nhiên 0), mà chỉ có P(X() = 0) = 1. Để vượt qua khó khăn này ta nói rằng hai biến ngẫu nhiên X và Y là tương đương nếu P(X() = Y()) = 1. Quan hệ tương đương này đã phân hoạch C thành những lớp các biến ngẫu nhiên tương đương, trong đó hai biến ngẫu nhiên thuộc cùng một lớp là bằng nhau với xác suất 1. Không gian L2(,F,P) là tập các lớp tương đương với vô hướng được xác định theo (2.1.2) hơn nữa, vì mỗi lớp tương đương được xác định duy nhất bằng cách lấy một phầ tử bất kỳ nào đó của lớp làm thay mặt nên ta vẫn dùng ký hiệu X,Y để chỉ các phần tử của L2 và vẫn gọi đó là các biế ngẫu nhiên miễn là nhớ rằng khi nói X thì hiểu rằng X là thay mặt cho cả một lớp các biến ngẫu nhiên tương đương với X.
Định nghĩa 2.1.1
Sự hội tụ trong L2 là sự hội tụ trung bình phương(meansquare), viết tắt là Xn X, nghĩa là dãy các phần tử {Xn}; Xn L2 được gọi là hội tụ đến X khi và chỉ khi:
||Xm- Xn||2 = E|Xn – X|2 0 khi n .
Để chứng tỏ L2 là không gian Hilbert ta còn phải xây dựng tính đầy của L2 nghĩa là nếu ||Xm- Xn||2 0 khi m,n thì tồn tại X L2 sao cho Xn X.
Trước hết ta xét mệnh đề:
Mệnh đề 1:
Nếu Xn L2 và ||Xn+1- Xn||2 < 2-n ; n = 1,2,3,... Thì tồn tại một biến ngẫu nhiên X trên (,F,P) sao cho Xn X với xác suất 1.
Chứng minh
Chọn X0 = 0, rồi đặt Xn = (Xj – Xj-1), khi đó theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
|| ||X||.||Y||
E(|Xj – Xj-1|) = E|Xj – Xj-1| ||Xj – Xj-1|| ||X1|| + 2-j <
Từ đó suy ra tồn tại |Xj – Xj-1| và giới hạn đó hữu hạn với xác suất 1. Như vậy |Xj – Xj-1| = Xn tồn tại và hữu hạn với xác suất 1.
Định lý 2.1.2(định lý về phép chiếu trong không gian Hilbert)
Nếu M là một không gian con đóng của không gian Hilbert H và x ÎH thì:
Tồn tại duy nhất một phần tử M sao cho ||x - ||= ||x - y||
M và ||x-|| = ||x-y|| khi và chỉ khi M và (x-) M
được gọi là chiếu (trực giao) của x lên M viết là = PMx và định lý này được gọi là định lý về phép chiếu trực giao.
Chứng minh
Nếu d = || x – y||2 thì tồn tại một dãy {yn}; yn M sao cho ||yn – x||2 ® d.
Hơn nữa, như đã biết, với u, v bất kỳ thuộc không gian Hilbert, theo quy tắc đường chéo hình bình hành ta có:
||u – v||2 + ||u + v||2 = 2 ( ||u||2 + ||v||2)
Do đó ta xét:
ym – x M ; yn – x M;
Ta có:
||(ym – x) + (yn – x)||2 + ||(ym – x) – (yn – x)||2 = 2(||ym – x)||2 + || yn – x||2) ;
Tức là:
||(ym + yn) – 2x||2 + ||ym – yn||2 = 2(||ym – x)||2 + || yn – x||2);
Mặt khác vì:
(ym + yn)/2 M ;
Suy ra:
0 £ ||ym – yn||2 = -4||(ym + yn)/2 – x||2 + 2(||ym – x)||2 + || yn – x||2)
£ -4d + 2(||ym – x||2 + || yn – x||2) ® 0 khi m, n ®
Từ đó theo chuẩn Cauchy, tồn tại H sao cho ||yn - || ® 0. Và vì M đóng nên M và vì tính liên tục của tích vô hướng nên:
|| x - ||2 = ||x - yn||2 = d
Bây giờ để chứng minh tính duy nhất của ta giả sử có M sao cho:
||x - ||2 = ||x - ||2 = d
Thì dùng tính chất hình bình hành ta được:
0 £ || - ||2 = -4||( - )/2 - x||2 + 2(||- x ||2 + || - x||2) £ -4d + 4d
Suy ra:
=
Nếu M và (x-) M thì là phần tử duy nhất của M được định nghĩa trong phần 1 vì với bất kỳ y M ta có:
||x-y||2 = = || x- ||2 + || -y ||2 ³ || x- ||2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y = .
Ngược lại nếu M và (x-) Ï M thì x không phải là phần tử của M gần x nhất. Thật vậy:
Xét phầ tử = - ay/||y||2.
Với a =
Khi đó ta có:
||x - ||2 =
= ||x - ||2 + || - ||2 + 2
= ||x - ||2 + |a|2/||y||2 -2|a|2/||y||2
=||x - ||2 - |a|2/||y||2 < ||x - ||2
Vậy ||x - ||2 < ||x - ||2
Þ đpcm
2.1.2. Phép xấp xỉ tuyến tính trong L2
Giả sử X1 ,X2 và Y là những biến ngẫu nhiên trong không gian L2, nếu chỉ có thể quan sát được X1, X2 mà ta muốn biết đựoc giá trị của Y bằng cách dùng tổ hợp tuyến tính có dạng = X1 +X2, trong đó ,R sao cho sai sót S dưới đây có trung bình phương đạt giá trị nhỏ nhất, nghĩa là sao cho:
S = E|Y-|2 = E|Y-X1 -X2|2 = || Y-X1 +X2||2 đạt min. Muốn thế ta có thể viết:
S = EY2 + EX12 + EX22 – 2E(YX1) - 2E(YX2) +2E(X1X2)
Lấy đạo hàm riêng của S lần lượt đối với và và cho các đạo hàm đó
triệt tiêu, dẫn đến hệ phương trình cho nghiệm tối ưu và
(2.1.3)
Tuy nhiên có một cách tiếp cận khác, dùng định lí chiếu trong không gian Hilbert L2 cũng đạt được kết quả trên, thật vậy ta đặt vấn đề tìm phần tử trong tập M:
M = {XL2| X = a1x1 +a2x2 với a1, a2 R}
Sao cho “khoảng cách” ||Y - ||2 là nhỏ nhất, nói cách khác, tìm M sao cho ||Y - || = ||X-Y|| như thế theo định lí chiếu trong không gian Hilbert M và thỏa mãn điều kiện trên khi và chỉ khi Y- M và do đó dẫn đến:
=0
Tức là:
Từ tính chất vô hướng đã định nghĩa ở (2.1.2) ta suy ra hệ thức (2.1.3).
2.1.3. Phương trình dự đoán
Cho không gian Hilbert L2, cho một tập con đóng M L2 và một phần tử X L2, khi đó, định lý chiếu trong không gian Hilbert khẳng định rằng tồn tại duy nhất một phần tử M sao cho:
= 0, Y M (2.1.4)
Phương trình (2.1.4) được gọi là phương trình đoán và phần tử = PMX là đoán tốt nhất của X trong M. Nói khác đi đoán tốt nhất của X trong M là chiếu của X trong M.
2.1.4. Quá trình ngẫu nhiên dừng
Khi xét một số hữu hạn các biến ngẫu nhiên ta phải tính ma trận hiệp phương sai để nghiên cứu tính phụ thuộc lẫn nhau của các biến ngẫu nhiên với một chuỗi thời gian {Xt, t T} thì chúng ta cần mở rộng khái niệm ma trận hiệp phương sai đối với một tập vô hạn các biến ngẫu nhiên và muốn thế chúng ta đưa ra các khái niệm hàm tự hiệp phương sai.
Định nghĩa 2.1.4(hàm tự hiệp phương sai)
Nếu {Xt, t T} là một quá trình có Var(Xt) < với mỗi t T thì hàm tự hiệp phương sai của {Xt} được định nghĩa bởi:
= Cov(Xr, Xs) = E[(Xr – Exr) (Xs – Exs)]; r,s T
Định nghĩa 2.1.4 (quá trình ngẫu nhiên dừng)
Chuỗi thời gian {Xt, t Z} được gọi là dừng nếu ba điều kiện duới đây được thỏa mãn:
- E|Xt|2 < , tZ
- Ext = m, tZ
- = t, r, z Z
Chú ý 1:
Quá trình dừng theo nghĩa trên còn được gọi là dừng theo nghĩa rộng. Trong luận văn này nếu không nói gì thêm về quá trình dừng thì ta hiểu dừng theo nghĩa trên.
Chý ý 2:
Dễ thấy rằng nếu {Xt, t T} dừng thì:
, r, z Z
Chính vì vậy với một quá trình dừng thì có thể định nghĩa lại hàm hiệp phương sai bằng cách chỉ định nghĩa thông qua một hàm một biến. Nói khác đi, với quá trình {Xt, t T} dừng thì:
= = Cov(Xt+h, Xt) h,t Z
Hàm số được gọi là hàm tự hiệp phương sai của của {x t} và là giá trị của nó tại trễ h. Hàm tự tương quan của {Xt}, được định nghĩa tại trễ h là:
= Corr(Xt+h, Xt) h,t Z
2.1.5. đoán tuyến tính tối ưu
Cho Xt; t Z là một quá trình dừng có kỳ vọng không và hàm tự hiệp phương sai :
= Cov(Xt+h,Xt) h Z
Ta đặt vấn đề tìm một tổ hợp tuyến tính các X1, X1,, Xn để xấp xỉ tốt nhất Xn+1 hiểu với nghĩa, nếu tổ hợp tuyến tính phải tìm là , nghĩa là = thì E|Xn+1 -|2 đạt min cũng tức là E|Xn+1-| đạt min.
Muốn thế xét tập M: M = {| ,, R}. Dĩ nhiên M là một tập đóng, M L2 hơn nữa việc cực tiểu hóa bình phương chuẩn E| Xn+1 -|2 tương đương với việc cực tiểu hóa bình phương chuẩn || Xn+1 -||2 trong L2 do đó theo định lý chiếu (2.1.1) và theo phương trình dự báo (2.1.4) ta có:
= PMXn+1
Trong trường hợp này phương trình dự báo (2.1.1) cho
= 0 Y M
Và vì Y có dạng Y = nên theo tính tuyến tính của vô hướng ta suy ra:
= 0 ; k = 1, 2, , n
Lại nhớ rằng vô hướng trong L2 = E(XY) ta suy ra
(2.1.5)
Trong đó:
, ,
Định lý chiếu khẳng định phương trình (2.1.5 ) có ít nhất một nghiệm, trường hợp det() = 0 thì có thể có vô số nghiệm nhưng giá trị đoán tối ưu luôn duy nhất
2.1.6. Kỳ vọng có điều kiện và đoán tốt nhất trong L2
Ở trên chúng ta đã nói, nếu Xn L2 ; X L2 thì Xn X khi và chỉ khi
||Xn- X||2 = E|Xn – X|2 0 khi n .
Dưới đây sẽ nêu một số tính chất hiển nhiên của sự hội tụ trung bình bình phương
Mệnh đề 2.1.6
1, Xn hội tụ theo trung bình bình phương khi và chỉ khi E|Xm- Xn|2 0 khi m,n .
2, nếu Xn X thì khi n . Ta có:
- EXn = = EX
- E|X|2 = = EX2
- E(Xn,Yn) = = E(XY)
Định nghĩa 2.1.6 (đoán trung bình phương tốt nhất của Y)
Nếu M là một không gian con đóng của L2 thì đoán trung bình bình phương tốt nhất của Y trong M được định nghĩa là phần tử M sao cho:
Định lý chiếu khẳng định sự tồn tại duy nhất của đoán bình phương tốt nhất của Y trong M và phần tử đó chính là PMY nói khác đi = PMY
Bây giờ bổ xung thêm một í...
Xt= β + Φ1Xt-1 + Φ 2Xt-2 + at
C. Mô hình tự hồi qui bậc p
Xt= β + Φ1Xt-1 + Φ2Xt-2 ++ ΦpXt-p + at
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH DỰ BÁO THEO CHUỖI THỜI GIAN
2.1. Qúa trình dừng
2.1.1. Không gian L2(,F,P)
Xét một không gian xác suất (,F,P) và lớp C gồm mọi biến ngẫu nhiên X được định nghĩa trên và khả điều kiện:
E X2 = X2()P(d) < (2.1.1)
Khi đó rõ ràng là:
E(ax)2 = a2Ex2 với C
Ngoài ra vì:
(X + Y)2 2X2 + 2Y2
nên cũng có:
(X + Y)2 2X2 + 2Y2 < với X,Y C.
Phần tử 0 của C chính là biến ngẫu nhiên đồng nhất bằng không trên và có thể dễ dàng kiểm tra thấy rằng C thỏa mãn các tính chất của một không gian vectơ.
Bây giờ, với hai phần tử X,Y C, ta định nghĩa bởi hệ thức:
= E(XY) (2.1.2)
Dễ dàng thấy rằng thỏa mãn tính chất của một vô hướng trừ tính chất triệt tiêu.
Thật vậy, nếu = 0 thì không nhất thiết X() =0(biến ngẫu nhiên 0), mà chỉ có P(X() = 0) = 1. Để vượt qua khó khăn này ta nói rằng hai biến ngẫu nhiên X và Y là tương đương nếu P(X() = Y()) = 1. Quan hệ tương đương này đã phân hoạch C thành những lớp các biến ngẫu nhiên tương đương, trong đó hai biến ngẫu nhiên thuộc cùng một lớp là bằng nhau với xác suất 1. Không gian L2(,F,P) là tập các lớp tương đương với vô hướng được xác định theo (2.1.2) hơn nữa, vì mỗi lớp tương đương được xác định duy nhất bằng cách lấy một phầ tử bất kỳ nào đó của lớp làm thay mặt nên ta vẫn dùng ký hiệu X,Y để chỉ các phần tử của L2 và vẫn gọi đó là các biế ngẫu nhiên miễn là nhớ rằng khi nói X thì hiểu rằng X là thay mặt cho cả một lớp các biến ngẫu nhiên tương đương với X.
Định nghĩa 2.1.1
Sự hội tụ trong L2 là sự hội tụ trung bình phương(meansquare), viết tắt là Xn X, nghĩa là dãy các phần tử {Xn}; Xn L2 được gọi là hội tụ đến X khi và chỉ khi:
||Xm- Xn||2 = E|Xn – X|2 0 khi n .
Để chứng tỏ L2 là không gian Hilbert ta còn phải xây dựng tính đầy của L2 nghĩa là nếu ||Xm- Xn||2 0 khi m,n thì tồn tại X L2 sao cho Xn X.
Trước hết ta xét mệnh đề:
Mệnh đề 1:
Nếu Xn L2 và ||Xn+1- Xn||2 < 2-n ; n = 1,2,3,... Thì tồn tại một biến ngẫu nhiên X trên (,F,P) sao cho Xn X với xác suất 1.
Chứng minh
Chọn X0 = 0, rồi đặt Xn = (Xj – Xj-1), khi đó theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
|| ||X||.||Y||
E(|Xj – Xj-1|) = E|Xj – Xj-1| ||Xj – Xj-1|| ||X1|| + 2-j <
Từ đó suy ra tồn tại |Xj – Xj-1| và giới hạn đó hữu hạn với xác suất 1. Như vậy |Xj – Xj-1| = Xn tồn tại và hữu hạn với xác suất 1.
Định lý 2.1.2(định lý về phép chiếu trong không gian Hilbert)
Nếu M là một không gian con đóng của không gian Hilbert H và x ÎH thì:
Tồn tại duy nhất một phần tử M sao cho ||x - ||= ||x - y||
M và ||x-|| = ||x-y|| khi và chỉ khi M và (x-) M
được gọi là chiếu (trực giao) của x lên M viết là = PMx và định lý này được gọi là định lý về phép chiếu trực giao.
Chứng minh
Nếu d = || x – y||2 thì tồn tại một dãy {yn}; yn M sao cho ||yn – x||2 ® d.
Hơn nữa, như đã biết, với u, v bất kỳ thuộc không gian Hilbert, theo quy tắc đường chéo hình bình hành ta có:
||u – v||2 + ||u + v||2 = 2 ( ||u||2 + ||v||2)
Do đó ta xét:
ym – x M ; yn – x M;
Ta có:
||(ym – x) + (yn – x)||2 + ||(ym – x) – (yn – x)||2 = 2(||ym – x)||2 + || yn – x||2) ;
Tức là:
||(ym + yn) – 2x||2 + ||ym – yn||2 = 2(||ym – x)||2 + || yn – x||2);
Mặt khác vì:
(ym + yn)/2 M ;
Suy ra:
0 £ ||ym – yn||2 = -4||(ym + yn)/2 – x||2 + 2(||ym – x)||2 + || yn – x||2)
£ -4d + 2(||ym – x||2 + || yn – x||2) ® 0 khi m, n ®
Từ đó theo chuẩn Cauchy, tồn tại H sao cho ||yn - || ® 0. Và vì M đóng nên M và vì tính liên tục của tích vô hướng nên:
|| x - ||2 = ||x - yn||2 = d
Bây giờ để chứng minh tính duy nhất của ta giả sử có M sao cho:
||x - ||2 = ||x - ||2 = d
Thì dùng tính chất hình bình hành ta được:
0 £ || - ||2 = -4||( - )/2 - x||2 + 2(||- x ||2 + || - x||2) £ -4d + 4d
Suy ra:
=
Nếu M và (x-) M thì là phần tử duy nhất của M được định nghĩa trong phần 1 vì với bất kỳ y M ta có:
||x-y||2 = = || x- ||2 + || -y ||2 ³ || x- ||2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y = .
Ngược lại nếu M và (x-) Ï M thì x không phải là phần tử của M gần x nhất. Thật vậy:
Xét phầ tử = - ay/||y||2.
Với a =
Khi đó ta có:
||x - ||2 =
= ||x - ||2 + || - ||2 + 2
= ||x - ||2 + |a|2/||y||2 -2|a|2/||y||2
=||x - ||2 - |a|2/||y||2 < ||x - ||2
Vậy ||x - ||2 < ||x - ||2
Þ đpcm
2.1.2. Phép xấp xỉ tuyến tính trong L2
Giả sử X1 ,X2 và Y là những biến ngẫu nhiên trong không gian L2, nếu chỉ có thể quan sát được X1, X2 mà ta muốn biết đựoc giá trị của Y bằng cách dùng tổ hợp tuyến tính có dạng = X1 +X2, trong đó ,R sao cho sai sót S dưới đây có trung bình phương đạt giá trị nhỏ nhất, nghĩa là sao cho:
S = E|Y-|2 = E|Y-X1 -X2|2 = || Y-X1 +X2||2 đạt min. Muốn thế ta có thể viết:
S = EY2 + EX12 + EX22 – 2E(YX1) - 2E(YX2) +2E(X1X2)
Lấy đạo hàm riêng của S lần lượt đối với và và cho các đạo hàm đó
triệt tiêu, dẫn đến hệ phương trình cho nghiệm tối ưu và
(2.1.3)
Tuy nhiên có một cách tiếp cận khác, dùng định lí chiếu trong không gian Hilbert L2 cũng đạt được kết quả trên, thật vậy ta đặt vấn đề tìm phần tử trong tập M:
M = {XL2| X = a1x1 +a2x2 với a1, a2 R}
Sao cho “khoảng cách” ||Y - ||2 là nhỏ nhất, nói cách khác, tìm M sao cho ||Y - || = ||X-Y|| như thế theo định lí chiếu trong không gian Hilbert M và thỏa mãn điều kiện trên khi và chỉ khi Y- M và do đó dẫn đến:
=0
Tức là:
Từ tính chất vô hướng đã định nghĩa ở (2.1.2) ta suy ra hệ thức (2.1.3).
2.1.3. Phương trình dự đoán
Cho không gian Hilbert L2, cho một tập con đóng M L2 và một phần tử X L2, khi đó, định lý chiếu trong không gian Hilbert khẳng định rằng tồn tại duy nhất một phần tử M sao cho:
= 0, Y M (2.1.4)
Phương trình (2.1.4) được gọi là phương trình đoán và phần tử = PMX là đoán tốt nhất của X trong M. Nói khác đi đoán tốt nhất của X trong M là chiếu của X trong M.
2.1.4. Quá trình ngẫu nhiên dừng
Khi xét một số hữu hạn các biến ngẫu nhiên ta phải tính ma trận hiệp phương sai để nghiên cứu tính phụ thuộc lẫn nhau của các biến ngẫu nhiên với một chuỗi thời gian {Xt, t T} thì chúng ta cần mở rộng khái niệm ma trận hiệp phương sai đối với một tập vô hạn các biến ngẫu nhiên và muốn thế chúng ta đưa ra các khái niệm hàm tự hiệp phương sai.
Định nghĩa 2.1.4(hàm tự hiệp phương sai)
Nếu {Xt, t T} là một quá trình có Var(Xt) < với mỗi t T thì hàm tự hiệp phương sai của {Xt} được định nghĩa bởi:
= Cov(Xr, Xs) = E[(Xr – Exr) (Xs – Exs)]; r,s T
Định nghĩa 2.1.4 (quá trình ngẫu nhiên dừng)
Chuỗi thời gian {Xt, t Z} được gọi là dừng nếu ba điều kiện duới đây được thỏa mãn:
- E|Xt|2 < , tZ
- Ext = m, tZ
- = t, r, z Z
Chú ý 1:
Quá trình dừng theo nghĩa trên còn được gọi là dừng theo nghĩa rộng. Trong luận văn này nếu không nói gì thêm về quá trình dừng thì ta hiểu dừng theo nghĩa trên.
Chý ý 2:
Dễ thấy rằng nếu {Xt, t T} dừng thì:
, r, z Z
Chính vì vậy với một quá trình dừng thì có thể định nghĩa lại hàm hiệp phương sai bằng cách chỉ định nghĩa thông qua một hàm một biến. Nói khác đi, với quá trình {Xt, t T} dừng thì:
= = Cov(Xt+h, Xt) h,t Z
Hàm số được gọi là hàm tự hiệp phương sai của của {x t} và là giá trị của nó tại trễ h. Hàm tự tương quan của {Xt}, được định nghĩa tại trễ h là:
= Corr(Xt+h, Xt) h,t Z
2.1.5. đoán tuyến tính tối ưu
Cho Xt; t Z là một quá trình dừng có kỳ vọng không và hàm tự hiệp phương sai :
= Cov(Xt+h,Xt) h Z
Ta đặt vấn đề tìm một tổ hợp tuyến tính các X1, X1,, Xn để xấp xỉ tốt nhất Xn+1 hiểu với nghĩa, nếu tổ hợp tuyến tính phải tìm là , nghĩa là = thì E|Xn+1 -|2 đạt min cũng tức là E|Xn+1-| đạt min.
Muốn thế xét tập M: M = {| ,, R}. Dĩ nhiên M là một tập đóng, M L2 hơn nữa việc cực tiểu hóa bình phương chuẩn E| Xn+1 -|2 tương đương với việc cực tiểu hóa bình phương chuẩn || Xn+1 -||2 trong L2 do đó theo định lý chiếu (2.1.1) và theo phương trình dự báo (2.1.4) ta có:
= PMXn+1
Trong trường hợp này phương trình dự báo (2.1.1) cho
= 0 Y M
Và vì Y có dạng Y = nên theo tính tuyến tính của vô hướng ta suy ra:
= 0 ; k = 1, 2, , n
Lại nhớ rằng vô hướng trong L2 = E(XY) ta suy ra
(2.1.5)
Trong đó:
, ,
Định lý chiếu khẳng định phương trình (2.1.5 ) có ít nhất một nghiệm, trường hợp det() = 0 thì có thể có vô số nghiệm nhưng giá trị đoán tối ưu luôn duy nhất
2.1.6. Kỳ vọng có điều kiện và đoán tốt nhất trong L2
Ở trên chúng ta đã nói, nếu Xn L2 ; X L2 thì Xn X khi và chỉ khi
||Xn- X||2 = E|Xn – X|2 0 khi n .
Dưới đây sẽ nêu một số tính chất hiển nhiên của sự hội tụ trung bình bình phương
Mệnh đề 2.1.6
1, Xn hội tụ theo trung bình bình phương khi và chỉ khi E|Xm- Xn|2 0 khi m,n .
2, nếu Xn X thì khi n . Ta có:
- EXn = = EX
- E|X|2 = = EX2
- E(Xn,Yn) = = E(XY)
Định nghĩa 2.1.6 (đoán trung bình phương tốt nhất của Y)
Nếu M là một không gian con đóng của L2 thì đoán trung bình bình phương tốt nhất của Y trong M được định nghĩa là phần tử M sao cho:
Định lý chiếu khẳng định sự tồn tại duy nhất của đoán bình phương tốt nhất của Y trong M và phần tử đó chính là PMY nói khác đi = PMY
Bây giờ bổ xung thêm một í...