tuyenvothithanhtuyen
New Member
Download miễn phí Luận văn Đánh giá phép biến hình á bảo giác thuận và ngược miền ngoài đường tròn bị cắt những đoạn thẳng theo bán kính
MỤC LỤC
1 MỞ ĐẦU VÀ KÍ HIỆU. 4
1.1 Tổng quan. 4
1.2 Đối tượng và mục đích nghiên cứu . 5
1.3 Các kí hiệu . 8
1.4 Các hàm phụ . 12
2 CÔNG CỤ. 16
2.1 Định nghĩa phép biến hình bảo giác. 16
2.2 Bất đẳng thức Carleman và các hệ quả . 16
2.3 Định nghĩa phép biến hình K– á bảo giác . 20
2.4 Mở rộng bất đẳng thức Carleman . 21
2.5 Mở rộng bất đẳng thức ?? Grotzsch . 26
3 CÁC ĐÁNH GIÁ CHO LỚP H. 31
4 CÁC ĐÁNH GIÁ CHO LỚP G. 44
5 CÁC ĐÁNH GIÁ CHO LỚP F . 49
5.1 Đánh giá lớp hàm F . 49
5.2 Mối liên hệ giữa các miền chuẩn. 52
KẾT LUẬN . 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO . 55
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
r= (2.2)
Tỉ số này được gọi là môđun miền nhị liên D, kí hiệu là ( )mod D .
Chứng minh. PBHBG 11 2f f
−
hình vành khăn 2V lên 1V . Trong
khi đó, PBHBG 12 1f f
−
hình vành khăn 1V lên 2V . Theo bổ đề 2.1, ta
lần lượt có:
2 2
2 1
2 1
R R
r r
≥
và
2 2
1 2
1 2
R R
r r
≥
,
suy ra đẳng thức (2.2). ■
18
Hệ quả 2.2 (Tính bất biến của môđun miền nhị liên) Nếu miền
nhị liên A có các thành phần biên không thoái hóa thành một điểm
được biến bảo giác đơn diệp lên miền nhị liên B thì
( ) ( )mod modA B= (2.3)
Chứng minh. Gọi f là PBHBG đơn diệp miền A lên miền B. Xét
hai PBHBG g miền A lên hình vành khăn { }1 1 1A s r s R= < < và h
miền B lên hình vành khăn { }2 2 2A t r t R= < < . Từ hệ quả 2.1, ta
suy ra
( ) 1
1
mod
R
A
r
= và ( ) 2
2
mod
R
B
r
= .
Gọi h fϕ = thì ϕ là PBHBG đơn diệp miền A lên miền 2A . Khi
đó, theo hệ quả 2.1, ta có 1 2
1 2
R R
r r
= , tức (2.3). ■
Hệ quả 2.3 (Tính đơn điệu của môđun miền nhị liên) Trong
mặt phẳng z cho hai miền nhị liên 1 2,D D với môđun tương ứng là
1
1
R
r
và 2
2
R
r
. Giả sử 1 2D D⊆ và 1D ngăn cách hai thành phần biên của 2D .
Khi đó
1 2
1 2
R R
r r
≤ (2.4)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2D D= .
19
Chứng minh. Giả sử f là PBHBG 2D lên hình vành khăn
2 2r w R< < . Miền nhị liên 1D qua f trở thành miền nhị liên 1D với
biên trong 1C và biên ngoài 2C , trong đó 1C bao quanh hay trùng
đường tròn 2w r= , còn đường tròn 2w R= bao quanh hay trùng với
2C .
Gọi S là diện tích trong của tập mở do 2C bao bọc và s là diện tích
ngoài của tập đóng do 1C bao bọc. Từ tính bất biến của môđun miền
nhị liên, ta suy ra ( ) 11
1
mod
R
D
r
= . Theo bổ đề 2.1, ta có:
2
1
1
S R
s r
≥
trong đó, theo bổ đề 2.1, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1D là hình
vành khăn.
Mặt khác, ta luôn có 22S Rpi≤ và
2
2s rpi≥ . Vậy, ta được
2 2
2 1
2 1
R S R
r s r
≥ ≥
.
Đẳng thức ở (2.4) xảy ra khi và chỉ khi
2 2
2 1
2 1
R S R
r s r
= =
, tức 1D
chính là hình vành khăn 2 2r w R< < hay 1 2D D= . ■
20
2.3 Định nghĩa phép biến hình K – á bảo giác
PBHKABG được định nghĩa bởi nhiều cách, trong đó định nghĩa
hình học dưới đây là tổng quát nhất.
Một song ánh liên tục hai chiều ( )w f z= từ miền A lên miền B, bảo
toàn chiều dương trên biên, được gọi là một PBHKABG nếu tồn tại
một số 1K ≥ sao cho môđun m của tứ giác cong V (tức tỉ lệ giữa hai
cạnh hình chữ nhật tương đương bảo giác với tứ giác cong) bất kỳ
trong A và môđun m của ( )V f V= luôn thỏa
m
m Km
K
≤ ≤ (2.5)
hay
Bất kỳ miền miền nhị liên D nào trong A có môđun M (tức tỉ lệ giữa
bán kính lớn và bán kính nhỏ của hình vành khăn tương đương bảo
giác với D) thì môđun M của ( )D f D= thỏa
1
KKM M M≤ ≤ (2.6)
PBHKABG có một số tính chất cơ bản sau:
a) Nếu 1K = thì PBHKABG trở thành PBHBG.
b) Hợp của 1PBHK ABG và 2PBHK ABG là ( )1 2PBH K K ABG ,
đặc biệt hợp của PBHBG với PBHKABG là PBHKABG.
c) Phép biến hình ngược của PBHKABG cũng là PBHKABG.
Về các trường hợp xảy ra đẳng thức trong (2.5) và (2.6), Grotzschɺɺ ([7],
tr.505) đã chỉ ra:
21
• Nếu ( ) ( ) ( ), ,f z u x y iv x y= + là PBHKABG hình chữ nhật
{ }0 ,0 1V x iy x m y= + < < < <
lên hình chữ nhật
{ }0 , 0 1V u iv u m v= + < < < <
sao cho các đỉnh tương ứng nhau thì
u Kx
m Km
v y
== ⇔ =
(2.7)
x
um
Km
K v y
== ⇔ =
(2.8)
• Nếu ( )w f z= là PBHKABG hình vành khăn
{ }1D z z M= < <
lên hình vành khăn
{ }1D w w M= < <
sao cho 1z = tương ứng 1w = thì
( ) 1 , 1,K KM M f z a z z a−= ⇔ = = (2.9)
( )
1
1
1
, 1.KKM M f z a z z a
−
= ⇔ = = (2.10)
2.4 Mở rộng bất đẳng thức Carleman
Bổ đề 2.2 (Mở rộng bất đẳng thức Carleman cho PBHKABG)
Giả sử ( )w f z= là PBHKABG một hình vành khăn
( ) ( )0 r z R< < < <∞ lên một miền nhị liên D nằm trong mặt
22
phẳng w, không chứa điểm ∞ với biên trong 1C và biên ngoài 2C sao
cho z R= tương ứng với 2C . Gọi S là diện tích trong của miền do 2C
bao bọc, s là diện tích ngoài của tập mở do 1C bao bọc. Khi đó
2
KR
S s
r
≥
(2.11)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ( )
1
1
Kf z a z z b−= + với 0a ≠ .
Chứng minh. Tồn tại PBHBG ( )t g w= miền nhị liên D lên hình
vành khăn 1 1r t R< < sao cho biên ngoài 2C tương ứng với đường
tròn 1t R= . Aùp dụng bổ đề 2.1 cho phép biến hình ngược ( )
1
w g t
−= ,
ta được
2
1
1
R
S s
r
≥
.
Phép biến hình ( )[ ]t g f z= là PBHKABG hình vành khăn r z R< <
lên hình vành khăn 1 1r t R< < . Áp dụng công thức (2.6), ta được
1
1
1
KR R
r r
≥
,
từ đó suy ra
22
1
1
KR R
S s s
r r
≥ ≥
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
( )
1
1
K
t g f z c z z
−
= =
( )1 1 1w g t a t b
−= = +
23
tức là ( )
1
1
K
w f z a z z b
−
= = + , 0a ≠ . ■
Bổ đề 2.3 (Bất đẳng thức diện tích cho miền đa liên) Giả sử
( )w f z= là PBHKABG một hình vành khăn ( ) ( )0 r z R< < < <∞
với một số nhát cắt nằm trên đường tròn 1z R= ( )1r R R< < lên
miền D của mặt phẳng w sao cho các đường tròn z r= , z R= lần
lượt tương ứng với biên trong 1C và biên ngoài 2C của D. Khi đó
( ) ( ) ( )
22
1
1
, , ,
KKR R
S R f S r f s R f
r R
− + ≥ +
(2.12)
trong đó ( )1,s R f là tổng diện tích ngoài của những tập đóng giới hạn
bởi ảnh các nhát cắt trên đường tròn 1z R= bởi f.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ( )
1
1
K
f z a z z b
−
= + , với 0a ≠ .
Chứng minh. Từ định nghĩa ( )1,s R f , ta được
( ) ( ) ( )( )1 1 1, , , *S R f S R f s R f
+ −= +
Lần lượt áp dụng bổ đề 2.2 cho hình vành khăn 1R z R< < và
1r z R< < , ta có
( ) ( )
2
1
1
, ,
KR
S R f S R f
R
− + ≥
,
( ) ( )
2
1
1, ,
KR
S R f S r f
r
− + ≥
.
Kết hợp với ( )* , ta được
24
( ) ( ) ( )
22
1
1
1
, , ,
KKR R
S R f S r f s R f
r R
− +
≥ +
từ đó ta có (2.12).
Theo bổ đề 2.2, đẳng thức ở (2.12) xảy ra ( )
1
1
K
f z a z z b
−
= + , với
0a ≠ . ■
Bổ đề 2.4 Giả sử A là một miền N liên 3 N≤ ≤∞ trong mặt
phẳng biến phức z với biên ngoài C chứa các hình vành khăn
{ } ( ), 1,2,..., 1;1j j jA z r z R j n n= < < = + ≤ ≤∞
với ( ) ( )1 1 2 2 3 1 10 ... n n nr R r R r R r R+ +< < ≤ < ≤ < < ≤ < <∞ .
Kí hiệu 0C và ( )1,2,...,j j n=C là các hợp các đường cong biên của A
lần lượt nằm trên 1z r≤ và 1j jR z r +≤ ≤ (nếu chúng tồn tại). Giả sử
( )w f z= là một PBHKABG miền A lên một miền B của mặt phẳng
biến phức w sao cho ứng với ( )0,1,...,j j n=C và C lần lượt là các
đường cong biên jC và biên ngoài
C của miền B. Kí hiệu S là diện
tích trong của miền giới hạn bởi C , js ...