LINK TẢI LUẬN VĂN MIỄN PHÍ CHO AE KET-NOI
MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN……………………………………………………………….……… 3
PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ……………….....………………………………… 4
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU………………………………………………... 4
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU………………………………………....... 4
4. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN…………………………………………..……... 4
5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU……………………………………………..…... 5
6. NỘI DUNG LUẬN VĂN……………………………………………..….... 5
PHẦN NỘI DUNG
Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. CHUỖI LŨY THỪA……………………………………………………….. 6
1.1 Định nghĩa …………………………………………………………. 6
1.2 Khoảng hội tụ………………………………………………………... 6
1.3 Các tính chất của chuỗi lũy thừa……………………………………. 7
1.4 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa……………………………... 7
1.5 Một vài khai triển cơ bản……………………………… 8
2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN………………………………………………. 9
2.1 Khái niệm về phương trình vi phân…………………………………… 9
2.2 Phương trình vi phân cấp một……………………………………….… 9
2.3 Phương trình vi phân cấp hai………………………………………... 10
2.4 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất ……….. 10
2.5 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất….. 12
2.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số không đổi………..... 12
2.6.1 Phương trình thuần nhất……………………………... 12
2.6.2 Phương trình không thuần nhất………………………...13
2.7 Phương trình Cauchy-Euler……………………………………………... 14
Chương 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHUỖI
1. PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LŨY THỪA……………………………………. 16
1.1 Phương pháp hệ số bất định………………………………………… 16
1.2 Phương pháp đạo hàm liên tiếp……………………………………. 22
1.3 Điều kiện tồn tại nghiệm dạng chuỗi…………………………….… 24
1.4 Cách tìm nghiệm dạng chuỗi lũy thừa của phương trình vi phân tuyến tính…………………………………………………………………...…….. 25
1.5 Ứng dụng phương pháp chuỗi lũy thừa vào giải một số phương trình vi phân đặc biệt……………………………………………………………….…. 27
1.5.1 Phương trình Airy………………..………………. 27
1.5.2 Phương trình Legendre………………...………….. 30
1.5.3 Phương trình Hermite…………………………….. 34
2. PHƯƠNG PHÁP FROBENIUS……………………………………………. 37
2.1 Phương pháp Frobenius……………………………………….…… 37
2.2 Lý thuyết về phương pháp Frobenius................................................ 38
2.3 Phương trình vi phân có điểm kỳ dị chính quy……………….….... 43
2.4 Cách thực hiện phương pháp Frobenius …………….……………. 48
Chương 3 CÁC BÀI TOÁN
1. GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LŨY
THỪA……………………………………………………………………………. 58
2. GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP FROBENIUS……………………………………………………………………… 77
PHẦN KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Ngày nay, Giải tích Toán học đã có sự biến đổi mạnh mẽ. Trong đó, lĩnh vực phương trình vi phân không ngừng được phát triển vì nó có rất nhiều ứng dụng thực tiễn. Vì thế, các nhà toán học đã nghiên cứu nhiều phương pháp để giải phương trình vi phân như phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Laplace hay ứng dụng tin học để giải. Trong số đó, phương pháp vận dụng chuỗi để giải phương trình vi phân là một phương pháp hay nhưng em không được học trong chương trình đại học. Nhờ cô Trần Thị Thanh Thúy đã gợi ý và tận tình hướng dẫn nên em đã chọn đề tài “Giải phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi” để hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Thực hiện đề tài “Giải một số phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi”, em hướng đến mục đích là rèn luyện khả năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một vấn đề Toán học còn khá mới đối với bản thân. Từ đó, hình thành khả năng trình bày một vấn đề Toán học trừu tượng một cách logic và có hệ thống. Luận văn nhằm nghiên cứu những lớp phương trình vi phân có thể ứng dụng phương pháp chuỗi để giải trên cơ sở tổng hợp lại các khái niệm, định lý, tính chất của chuỗi lũy thừa và phương trình vi phân. Thực hiện bài luận văn này, em có cơ hội củng cố lại những kiến thức về phương trình vi phân, lý thuyết chuỗi và làm quen với cách nghiên cứu khoa học một vấn đề của toán học.
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Các phương pháp được sử dụng trong quá trình hoàn thành luận văn là: Tìm kiếm, tổng hợp các tài liệu từ giáo trình, sách vở, các trang web về phương trình vi phân, chuỗi lũy thừa, nghiệm chuỗi của phương trình vi phân…. Sau đó, phân tích, tổng hợp để trình bày rõ ràng, hợp logic các vấn đề.
4. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN
Nhận đề tài.
Sưu tầm tài liệu liên quan đến đề tài.
Lập đề cương chi tiết.
Nghiên cứu, khai thác, phân tích đề tài.
Thực hiện đề tài.
Trình bày và thông qua GVHD.
Chỉnh sửa và hoàn chỉnh luận văn.
Báo cáo luận văn.
5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Với thời gian và kiến thức có hạn, trong luận văn này em chỉ trình bày các khái niệm, thừa nhận các định lý liên quan đến đề tài mà không chứng minh. Đề tài tập trung vào phương pháp chuỗi lũy thừa và mở rộng là phương pháp Frobenius.
6. NỘI DUNG LUẬN VĂN
Luận văn được chia làm 3 chương như sau:
Chương 1: Kiến thức cơ bản
Chương này chủ yếu trình bày các khái niệm và định lý cơ bản về chuỗi lũy thừa và phương trình vi phân làm nền tảng cho các chương sau.
Chương 2: Giải phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
Chương này trình bày các vấn đề phương pháp chuỗi lũy thừa, phương pháp Frobenius. Đây là nội dung chính của luận văn.
Chương 3: Các bài toán
Chương này trình bày các bài toán với lời giải vận dụng từ các phương pháp được trình bày trong chương 2.
PHẦN NỘI DUNG
Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. CHUỖI LŨY THỪA
1.1 Định nghĩa 1
Chuỗi lũy thừa theo x x0 (hay chuỗi luỹ thừa tâm tại x0) là chuỗi hàm có dạng:
(1.1)
ở đó các a ( n = 0, 1, 2, ...) là các hằng số và được gọi là các hệ số của chuỗi.
Đặc biệt, khi ta được chuỗi (1.2) và được gọi là chuỗi MacLaurin.
1.2 Khoảng hội tụ
Chuỗi (1.1) luôn hội tụ tại .
Tập hợp tất cả các điểm tại đó chuỗi lũy thừa hội tụ là một khoảng có tâm tại . Khoảng này được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa.
∆ Định lý 1 Đối với chuỗi luỹ thừa , chỉ có một trong 3 khả năng sau:
(i) Chuỗi hội tụ chỉ tại
(ii) Chuỗi hội tụ với mọi x.
(iii) Chuỗi hội tụ trong một khoảng tâm tại : , hay ,
hay , hay
Số trong trường hợp (iii) được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. Trong trường hợp (i) ta nói , trường hợp (ii) ta nói
* Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa được tính bởi một trong hai công thức sau:
, (1.3)
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN……………………………………………………………….……… 3
PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ……………….....………………………………… 4
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU………………………………………………... 4
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU………………………………………....... 4
4. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN…………………………………………..……... 4
5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU……………………………………………..…... 5
6. NỘI DUNG LUẬN VĂN……………………………………………..….... 5
PHẦN NỘI DUNG
Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. CHUỖI LŨY THỪA……………………………………………………….. 6
1.1 Định nghĩa …………………………………………………………. 6
1.2 Khoảng hội tụ………………………………………………………... 6
1.3 Các tính chất của chuỗi lũy thừa……………………………………. 7
1.4 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa……………………………... 7
1.5 Một vài khai triển cơ bản……………………………… 8
2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN………………………………………………. 9
2.1 Khái niệm về phương trình vi phân…………………………………… 9
2.2 Phương trình vi phân cấp một……………………………………….… 9
2.3 Phương trình vi phân cấp hai………………………………………... 10
2.4 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất ……….. 10
2.5 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất….. 12
2.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số không đổi………..... 12
2.6.1 Phương trình thuần nhất……………………………... 12
2.6.2 Phương trình không thuần nhất………………………...13
2.7 Phương trình Cauchy-Euler……………………………………………... 14
Chương 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHUỖI
1. PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LŨY THỪA……………………………………. 16
1.1 Phương pháp hệ số bất định………………………………………… 16
1.2 Phương pháp đạo hàm liên tiếp……………………………………. 22
1.3 Điều kiện tồn tại nghiệm dạng chuỗi…………………………….… 24
1.4 Cách tìm nghiệm dạng chuỗi lũy thừa của phương trình vi phân tuyến tính…………………………………………………………………...…….. 25
1.5 Ứng dụng phương pháp chuỗi lũy thừa vào giải một số phương trình vi phân đặc biệt……………………………………………………………….…. 27
1.5.1 Phương trình Airy………………..………………. 27
1.5.2 Phương trình Legendre………………...………….. 30
1.5.3 Phương trình Hermite…………………………….. 34
2. PHƯƠNG PHÁP FROBENIUS……………………………………………. 37
2.1 Phương pháp Frobenius……………………………………….…… 37
2.2 Lý thuyết về phương pháp Frobenius................................................ 38
2.3 Phương trình vi phân có điểm kỳ dị chính quy……………….….... 43
2.4 Cách thực hiện phương pháp Frobenius …………….……………. 48
Chương 3 CÁC BÀI TOÁN
1. GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LŨY
THỪA……………………………………………………………………………. 58
2. GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP FROBENIUS……………………………………………………………………… 77
PHẦN KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Ngày nay, Giải tích Toán học đã có sự biến đổi mạnh mẽ. Trong đó, lĩnh vực phương trình vi phân không ngừng được phát triển vì nó có rất nhiều ứng dụng thực tiễn. Vì thế, các nhà toán học đã nghiên cứu nhiều phương pháp để giải phương trình vi phân như phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Laplace hay ứng dụng tin học để giải. Trong số đó, phương pháp vận dụng chuỗi để giải phương trình vi phân là một phương pháp hay nhưng em không được học trong chương trình đại học. Nhờ cô Trần Thị Thanh Thúy đã gợi ý và tận tình hướng dẫn nên em đã chọn đề tài “Giải phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi” để hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Thực hiện đề tài “Giải một số phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi”, em hướng đến mục đích là rèn luyện khả năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một vấn đề Toán học còn khá mới đối với bản thân. Từ đó, hình thành khả năng trình bày một vấn đề Toán học trừu tượng một cách logic và có hệ thống. Luận văn nhằm nghiên cứu những lớp phương trình vi phân có thể ứng dụng phương pháp chuỗi để giải trên cơ sở tổng hợp lại các khái niệm, định lý, tính chất của chuỗi lũy thừa và phương trình vi phân. Thực hiện bài luận văn này, em có cơ hội củng cố lại những kiến thức về phương trình vi phân, lý thuyết chuỗi và làm quen với cách nghiên cứu khoa học một vấn đề của toán học.
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Các phương pháp được sử dụng trong quá trình hoàn thành luận văn là: Tìm kiếm, tổng hợp các tài liệu từ giáo trình, sách vở, các trang web về phương trình vi phân, chuỗi lũy thừa, nghiệm chuỗi của phương trình vi phân…. Sau đó, phân tích, tổng hợp để trình bày rõ ràng, hợp logic các vấn đề.
4. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN
Nhận đề tài.
Sưu tầm tài liệu liên quan đến đề tài.
Lập đề cương chi tiết.
Nghiên cứu, khai thác, phân tích đề tài.
Thực hiện đề tài.
Trình bày và thông qua GVHD.
Chỉnh sửa và hoàn chỉnh luận văn.
Báo cáo luận văn.
5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Với thời gian và kiến thức có hạn, trong luận văn này em chỉ trình bày các khái niệm, thừa nhận các định lý liên quan đến đề tài mà không chứng minh. Đề tài tập trung vào phương pháp chuỗi lũy thừa và mở rộng là phương pháp Frobenius.
6. NỘI DUNG LUẬN VĂN
Luận văn được chia làm 3 chương như sau:
Chương 1: Kiến thức cơ bản
Chương này chủ yếu trình bày các khái niệm và định lý cơ bản về chuỗi lũy thừa và phương trình vi phân làm nền tảng cho các chương sau.
Chương 2: Giải phương trình vi phân bằng phương pháp chuỗi
Chương này trình bày các vấn đề phương pháp chuỗi lũy thừa, phương pháp Frobenius. Đây là nội dung chính của luận văn.
Chương 3: Các bài toán
Chương này trình bày các bài toán với lời giải vận dụng từ các phương pháp được trình bày trong chương 2.
PHẦN NỘI DUNG
Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. CHUỖI LŨY THỪA
1.1 Định nghĩa 1
Chuỗi lũy thừa theo x x0 (hay chuỗi luỹ thừa tâm tại x0) là chuỗi hàm có dạng:
(1.1)
ở đó các a ( n = 0, 1, 2, ...) là các hằng số và được gọi là các hệ số của chuỗi.
Đặc biệt, khi ta được chuỗi (1.2) và được gọi là chuỗi MacLaurin.
1.2 Khoảng hội tụ
Chuỗi (1.1) luôn hội tụ tại .
Tập hợp tất cả các điểm tại đó chuỗi lũy thừa hội tụ là một khoảng có tâm tại . Khoảng này được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa.
∆ Định lý 1 Đối với chuỗi luỹ thừa , chỉ có một trong 3 khả năng sau:
(i) Chuỗi hội tụ chỉ tại
(ii) Chuỗi hội tụ với mọi x.
(iii) Chuỗi hội tụ trong một khoảng tâm tại : , hay ,
hay , hay
Số trong trường hợp (iii) được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. Trong trường hợp (i) ta nói , trường hợp (ii) ta nói
* Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa được tính bởi một trong hai công thức sau:
, (1.3)
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links