sasiwimonvietnam
New Member
Download miễn phí Giáo trình Xử lý tín hiệu rời rạc (discrete signal processing)
Kỹ thuật biến đổi là một công cụ hữu hiệu để phân tích hệ thống LTI. Biến đổi Z đối với tín hiệu rời rạc có vai trò tương tự như biến đổi Laplace đối với tín hiệu liên tục, và chúng có quan hệ giống nhau với biến đổi Fourier. Tổng chập của hai dãy trong miền thời gian sẽ biến thành tích của hai biến đổi Z tương ứng trong miền biến phức z. Tính chất này sẽ làm đơn giản hóa việc tính đáp ứng của hệ thống với các tín hiệu vào khác nhau. Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng cũng được giải một cách dễ dàng hơn khi dùng công cụ biến đổi Z.
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
g ổn định và h(n) thỏa điều kiện pt(1.49) nên nó là một hệ thống nhân quả.Dãy nhân quả: Dãy x được gọi là nhân quả nếu x(n) = 0 với n<0
Như vậy với hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả có kích thích là dãy nhân quả thì đáp ứng ra của nó được viết lại như sau:
Ví dụ: Xét một hệ thống có đáp ứng xung là h(n) = an u(n), ta có:
Nếu |a| < 1, thì S hội tụ và S = 1/(1-|a|) vì vậy hệ thống có tính ổn định.
Nếu |a| ≥ 1, thì S ® ¥ và hệ thống không ổn định.
4. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG
(LCCDE: Linear Constant-Coefficient Difference Equations)
4.1. Khái niệm: Một hệ thống LTI mà quan hệ giữa tác động x(n) và đáp ứng y(n) của nó thỏa mãn phương trình sai phân truyến tính hệ số hằng bậc N dưới dạng:
được gọi là hệ thống có phương trình sai phân truyến tính hệ số hằng (LCCDE). Trong đó, các hệ số ak và br là các thông số đặc trưng cho hệ thống.
Hệ thống LTI có LCCDE là một lớp con quan trọng của hệ thống LTI trong xử lý tín hiệu số. Ta có thể so sánh nó với mạch R_L_C trong lý thuyết mạch tương tự (được đặc trưng bằng phân trình vi tích phân tuyến tính hệ số hằng).
Ví dụ 1.12: Xét hệ thống tích lũy, như ta biết, đây là một hệ thống LTI, vì vậy có thể biểu diễn bởi một LCCDE. Thậy vậy, ta xem lại hình 1.8, trong đó y(n) là đáp ứng của hệ thống tích lũy ứng với tín hiệu vào x(n), và y(n) đóng vai trò tín hiệu vào của hệ thống vi phân lùi. Vì hệ thống vi phân lùi là hệ thống đảo của hệ thống tích lũy nên:
y(n) - y(n-1) = x(n) (1.56)
Pt(1.56) chính là LCCDE của một hệ thống tích lũy, với N=1, a0 =1, a1=-1, M=0 và b0 =1.
Ta viết lại: y(n) = y(n-1) + x(n) (1.57)
Từ pt(1.57), ta thấy, với mỗi giá trị của n, phải cộng thêm vào x(n) một tổng được tích lũy trước đó y(n-1). Hệ thống tích lũy được biểu diễn bằng sơ đồ khối hình 1.9 và pt(1.57) là một cách biểu diễn đệ qui của hệ thống.
4.2. NGHIỆM CỦA PTSP-TT-HSH
Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng là một dạng quan hệ vào ra mô tả hệ thống LTI. Trong phần này, ta sẽ tìm biểu thức tường minh của đáp ứng y(n) bằng phương pháp trực tiếp. Còn một phương pháp khác để tìm nghiệm của phương trình này là dựa trên biến đổi z sẽ được trình bày trong chương sau, ta gọi là phương pháp gián tiếp.
Tương tự như phương trình vi tích phân tuyến tính hệ số hằng của hệ thống liên tục theo thời gian. Trước tiên, ta tìm nghiệm của phương trình sai phân thuần nhất (homogeneous diference equation), đó là pt (1.55) với vế phải bằng 0. Đây chính là đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào x(n) = 0. Sau đó, ta tìm một nghiệm riêng (particular solution) của pt(1.55) với x(n)(0. Cuối cùng, nghiệm tổng quát (total solution) của LCCDE (1.55) là tổng nghiệm của phương trình sai phân thuần nhất với nghiệm riêng của nó. Thủ tục tìm nghiệm như sau:
a./ Bước 1 Tìm nghiệm của phương trình sai phân thuần nhất (Đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào bằng 0)
Phương trình sai phân thuần nhất có dạng:
(Bằng cách chia 2 vế cho a0 để có dạng (1.58) với a0 = 1)
Ta đã biết rằng, nghiệm của phương trình vi phân thường có dạng hàm mũ, vì vậy, ta giả sử nghiệm của phương trình sai phân thuần nhất có dạng:
y0(n) = an (1.59)
Chỉ số y0(n) được dùng để chỉ rằng đó là nghiệm của phương trình thuần nhất.
Thay vào pt(1.58) ta thu được một phương trình đa thức:
hay: an –N (aN + a1aN-1 + a2aN-2 + … + aN-1a + aN) = 0 (1.60)
Đa thức trong dấu ngoặc đơn được gọi là đa thức đặc trưng (characteristic polynomial) của hệ thống.
Nói chung, đa thức này có N nghiệm, ký hiệu là a1, a2,…, aN, có giá trị thực hay phức. Nếu các hệ số a1, a2,…, aN có giá trị thực, thường gặp trong thực tế, các nghiệm phức nếu có sẽ là các cặp liên hợp phức. Trong N nghiệm cũng có thể có một số nghiệm kép (mutiple-order roots).
a.1/ Trường hợp, tất cả các nghiệm là phân biệt, không có nghiệm kép, thì nghiệm tổng quát của phương trình sai phân thuần nhất là :
y0(n) = A1a n1 + A2a n2 + …+ ANa nN = (1.61)
Ở đây, A1 , A2 ,…, A N là các hằng số tuỳ định. Các hằng số này được xác định dựa vào các điều kiện đầu của hệ thống.
a.2/ Trường hợp có nghiệm bội, giả sử đa thức đặc trưng có nghiệm bội bậc m tại a2 thì ta có:
y0(n) = A1a n1 + (A20 + A21n + A22n2 + … +A2(m-1)nm-1)a n2 + …+ ANa nN
Ví dụ : Xác định đáp ứng với tín hiệu vào x(n) = 0 của một hệ thống được mô tả bởi pt bậc 2 như sau:
y(n) - 3y(n-1) - 4y(n-2) = 0 (1.62)
Giải:
Ta biết nghiệm của pt(1.62) có dạng: y0n) = an, thay vào pt(1.62), ta thu được:
an - 3an-1 - 4an-2 = 0 hay an -2 (a2 - 3a - 4) = 0
và phương trình đặc tính là: (a2 - 3a - 4) = 0
Ta có 2 nghiệm a1 = -1 và a2 = 4, nghiệm của phương trình thuần nhất có dạng tổng quát là:
y0(n) = A1an1 + A2an2 = A1(-1)n + A2(4)n (1.63)
Đáp của hệ thống với tín hiệu vào bằng 0 có thể thu được bằng cách tính giá trị các hằng số C1 và C2 dựa vào các điều kiện đầu. Các điều kiện đầu được cho thường là giá trị của đáp ứng ở các thời điểm n=-1; n = -2;...; n = -N. Ở đây, ta có N=2, và các điều kiện đầu được đánh giá là y(- 1) và y(-2). Từ pt(1.62) ta thu được:
y(0) = 3y(-1) + 4y(-2)
y(1) = 3y(0) - 4y(-1) = 13y(-1) + 12y(-2)
Mặt khác, từ pt(1.63) ta có:
y(0) = A1 + A 2
y(1) = - A 1 + 4 A 2
Suy ra: A 1 + A 2 = 3y(-1) + 4y(-2)
- A 1 + 4 A 2 = 13y(-1) + 12y(-2)
Giải hệ 2 phương trình trên ta được:
A 1 = (-1/5)y(-1) + (4/5)y(-2)
A 2 = (16/5)y(-1) + (16/5)y(-2)
Vậy đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào bằng 0 là:
y0(n) = [(-1/5)y(-1) + (4/5)y(-2)](-1)n + [(16/5)y(-1) + (16/5)y(-2)](4)n (1.64)
Giả sử, y(-2)=0 và y(-1)=5, thì A1=-1 và A2 =16. Ta được:
y0(n) = (-1)n+1 + (4)n+2 , với n ³ 0
b./ Bước 2: Nghiệm riêng của phương trình sai phân
Tương tự như cách tìm nghiệm của phương trình thuần nhất, để tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân khi tín hiệu vào x(n)¹0, ta đoán rằng nghiệm của phương trình có một dạng nào đó, và thế vào PT-SP-TT-HSH đã cho để tìm một nghiệm riêng, ký hiệu yp(n). Ta thấy cách làm này có vẽ mò mẫm!. Nếu tín hiệu vào x(n) được cho bắt đầu từ thời điểm n ³ 0 (nghĩa là x(n)=0 khi n<0), thì dạng của nghiệm riêng thường được chọn là: yp(n) có dạng của x(n) từ điều kiện đầu
Ví dụ :
Tìm đáp ứng y(n), với n ≥ 0, của hệ thống được mô tả bởi pt bậc hai như sau:
y(n) - 3y(n-1) - 4y(n-2) = x(n) + 2x(n-1) (1.67)
tín hiệu vào là: x(n) = 4nu(n). Hãy xác định nghiệm riêng của pt(1.67).
Giải:
Trong ví dụ 1.13, ta đã xác định nghiệm của phương trình sai phân thuần nhất cho hệ thống này, đó là pt(1.63), ta viết lại:
y0(n) = A1(-1)n + A 2(4)n (1.68)
Nghiệm riêng của pt(1.63) được giả thiết có dạng hàm mũ: yp(n) = K(4)nu(n) . Tuy nhiên chúng ta thấy dạng nghiệm này đã được chứa trong nghiệm thuần nhất (1.68). Vì vậy, nghiệm riêng này là thừa (thế vào pt(1.67) ta không xác định được K). Ta chọn một dạng nghiệm riêng khác độc lập tuyến tính với các số hạng chứa trong nghiệm thuần nhất. Trong trường hợp này, ta xử lý giống như trường hợp có nghiệm kép trong phương trình đặc tính. Nghĩa là ta phải giả thiết nghiệm riêng có dạng: yp(n) = Kn(4)nu(n). Thế vào pt(1.67):
Kn(4)nu(n) - 3K(n-1)(4)n-1u(n-1) - 4 K(n-2)(4)n-2u(n-2) = (4)nu(n) + 2(4)n-1u(n-1)Để xác định K, ta ước lượng phương trình này với mọi n ≥ 2, nghĩa là với nh