follow_only_u
New Member
Download miễn phí Chuyên đề Hệ phương trình và phương trình
V. KHUYNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA CHUYÊN ĐỀ
Ngoài các dạng toán cơ bản hệ phương trình đối xứng dạng 1, dạng 2, hệ phương trình đẳng cấp đã gặp nhiều trong các tài liệu nâng cao, người ta viết đề tài này nhận thấy các tác giả ưa thích các dạng toán giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá sử dụng các bất đẳng thức cơ bản sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ thích hợp và các phương pháp đặc biệt khác, điều đó đòi hỏi học sinh phải tích cực học tập, tìm tòi, đọc tài liệu, sáng tạo hơn trong cách đọc và luyện tập của mình.
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
PHẦN 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNHI. CỦNG CỐ LÝ THUYẾT
A. Hệ phương trình dạng chuẩn đã biết cách giải
1. Hệ phương trình tuyến tính bậc nhất 2 ẩn
2. Hệ phương trình trong đó có 1 Phương trình dạng tuyến tính bậc nhất 2 ẩn
Từ phương trình (1) tính x theo y thay vào (2) tìm được y tìm được nghiệm (x,y) của Hệ phương trình
3. Hệ phương trình
Từ phương trình (1) tính x, thay vào phương trình (2) tìm (x,y) của Hệ phương trình.
4. Hệ phương trình dạng
x, y là 2 nghiệm của phương trình: X2 - SX + P = 0
5. Dạng hệ phương trình đối xứng
a. Hệ phương trình đối xứng loại 1.
Dạng với
Nghĩa là trong từng phương trình, khi ta thay đổi vai trò của x và y thì phương trình không thay đổi
Phương pháp
Đặt
Ta được hệ:
Giải hệ này tìm được S và P
x, y là 2 nghiệm của phương trình t2 - St + P = 0
Chú ý: hệ (I) có nghiệm Hệ (II) có nghiệm thoả mãn
b. Hệ đối xứng loại 2
Là hệ phương trình nếu đổi vị trí 2 ẩn trong hệ thì phương trình này trở thành phương trình kia.
Dạng
Phương pháp
* Trừ theo vế của 2 phương trình ta được phương trình dạng tích.
* nếu (x0, y0) là nghiệm của hệ thì (y0, x0) cũng là nghiệm của hệ.
B. Hệ phương trình đặc biệt
Một số hệ phương trình không đưa được về các dạng chuẩn nhưng có thể giải được bằng các phương pháp khác nhau:
Phương pháp tham số hoá.
Phương pháp đánh giá, phương pháp dùng hệ thức Viet mở rộng.
Phương pháp dùng phương trình hệ quả, phương pháp đặt ẩn phụ………...
…………………………………………………………………………….
Đây là những hệ phương trình giải theo phương pháp đặc biệt chúng ta sẽ đề cập đến ở phần sau bài viết này.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHÚNG
Phương pháp chung để giải hệ phương trình là người làm Toán cố gắng đưa hệ phương trình về dạng chuẩn để giải chúng.
Phương pháp biến đổi đồng nhất.
Loại 1:Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x,y ta tìm cách rút y theo x hay ngược lại (Dạng 2 phần lý thuyết).
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
Lời giải
Nếu xy ta có hệ
Từ (2) x # 0 và
Thay vào phương trình (1) 2 + x2 - 4 = 8 -
Hay x4 - 3x2 + 2 = 0 (x2 - 2)(x2 - 1) = 0
Mà
Hệ có 2 nghiệm: (x,y) là
Nếu xy < 4 ta suy ra x2 < 2
Và ta có:
(loại)
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm như trên.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
Lời giải
Ta thấy x = 0 không thoả mãn phương trình (2)
Với x # 0 từ (2) y + 1 = thay vào (1) ta có phương trình:
Hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là (1;-1);
Loại 2: Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình
Lời giải
Điều kiện:
Phương trình (1)
( Do có đk có x + y > 0)
Thay vào phương trình (2) ta được:
( Do y0)
Với y = 2 ta có x = 2y + 1 = 5
Hệ có nghiệm (x,y) = (5,2)
Loại 3: Một phương trình của hệ là phương trình bậc 2 theo một ẩn (chẳng hạn ẩn y). Lúc đó ta xem x là tham số và biểu diễn được y theo x bằng cách giải phương trình bậc 2 ẩn y.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình
Lời giải:
Biến đổi phương trình (2) về dạng:
Với y = 5x + 4 thay vào phương trình (1) (5x + 4)2 = (5x+ 4)(4-x)
Với y = 4 - x thay vào (1) ta được:
Hệ có 3 nghiệm (x,y) là:
(0;4); (4;0); (- ; 0).
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Điểm quan trọng nhất trong việc giải hệ là phát hiện ẩn phụ
u = f(x,y)
v = g(x,y) có ngay trong từng phương trình hay xuất hiện sau một số phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hay phép chia cho một biểu thức khác 0 để đưa hệ về dạng đơn giản hơn.
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình
Lời giải:
Dễ thấy khi x = 0 thì y = 0
Hệ phương trình có nghiệm: (x = 0; y = 0)
Khi x 0 y 0
Chia hai về của phương trình (1) cho xy và chia hai vế của phương trình (2) cho x2y2 ta được hệ:
Đặt:
Ta có hệ phương trình:
Trường hợp thứ nhất hệ có 4 nghiệm (x,y) là:
Trường hợp thứ (2) hệ có thêm 4 nghiệm (x,y) là:
Kết luận hệ phương trình có 9 nghiệm
Ví dụ 6 : Giải hệ phương trình
Lờigiải
Ta thấy y = 0 không thoả mãn phương trình (1) nên hệ phương trình tương đương với
Đặt ta có hệ
Ta có hệ Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình
Đặt
V= x -y ta có hệ phương trình
Giải hệ (với lưu ý ta có u = 2 ; v = 1
Ta có Hệ phương trình (x = 1 ; y = 0)
vậy Hệ phương trình có nghiệm: (x,y) là (1;0)
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
loại 1: Một phương trình trong hệ có dạng f(x) = f(y)
phương trình còn lại giúp ta giới hạn được x.y để trên hàm f đơn điệu.
Từ đó suy ra x = y
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình
Lời giải
Từ phương trình (2)
xét hàm f(t) = t3 - 5t t[-1 ; 1]
Ta có f’(t) = 3t2 - 5 < 0 t [-1 ; 1]
hàm f(t) x = y thay vào phương trình (2) x8 + x4 -1 = 0
Đặt a = x4 0 ta có a =
Loại 2: Hệ đối xứng loại 2 mà khi giải thường dẫn đến một trong 2 phương trình của hệ có dạng f(x) = 0 hay f(x) = f(y) Trong đó f là hàm đơn điệu
Ví dụ 9: Giải hệ phương trình
Lời giải
Đặt a = x - 1
b = y - 1
Ta được hệ
Trừ theo vế của 2 phương trình trên ta được
xét hàm f(x) = có f’(x) =
và> f(x) >0 t
f(t) đồng biến trên
Từ phương trình (3) a = b thay vào phương trình (1) ta có
Xét hàm g(a) =
Có:
Nên hàm g(a) nghịch biến và do phương trình (4) có nghiệm a = 0 nên ta có nghiệm ban đầu của hệ là (x = 1; y= 1)
V. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Với phương pháp này cần phát hiện các biểu thức không âm trong hệ và nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức cơ bản.
Ví dụ 10. Giải hệ phương trình
Lời giải:
Dễ thấy x > 0, y > 0, z > 0
Không giảm tính tổng quát giả sử :
Ta lại có
Do x dương
Vậy hệ phương trình có nghiệm: x = y = z=
Ví dụ 11. Giải hệ phương trình
Lời giải:
Nếu x = 0 y = 0 z = 0 hệ có nghiệm (x; y; z) = (0; 0; 0)
Nếu x 0 y > 0 z > 0 x > 0
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: (0; 0; 0) và (1; 1; 1)
Ví dụ 12: Giải hệ phương trình
Lời giải:
Cộng theo vế 2 phương trình của hệ ta có:
Ta có:
Dấu “ = “ khi
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm như trên.
Ví dụ 13. Giải hệ phương trình
Lời giải:
Hệ đã cho tương đương với:
Nếu x > 2 thì từ (1) y = 2 < 0
Điều này mâu thuẫn với phương trình (2) có x - 2 và y - 2 cùng dấu.
Tương tự với x ta cũng suy ra điều mâu thuẫn.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = y = 2
VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC
1. Phương pháp sử dụng phương trình hệ quả
Ví dụ 13: Giải hệ phương trình
Lời giải:
Cộng theo vế (1), (2), (3) rồi chia cho 2 ta có phương trình:
x + y + z = 3 (4)
Trừ theo vế của (4) cho (1) z = 2
Trừ theo vế của (4) cho (2) x = 1
Trừ theo vế của (4) cho (3) y = 0
Hệ phương trình có nghiệm: (x; y; z) = (1; 0; 2)
Ví dụ 14: Giải hệ phương trình
Lời giải:
Viết hệ về dạng:
Nhân theo vế của 3 phương trình trên ta được:
Các phương trình (4) và (5) là các phương trình hệ quả
Trường hợp thứ nhất ta có:
Trường hợp thứ hai ta có:
Hệ có nghiệm (x; y; z) = (0; - 1; - 2)
Kết luận: Hệ phương trình có 2 nghiệm (như trên).
2. Phương pháp sử dụng hệ thức Viet mở rộng
Ta sử dụng kết quả: nếu x, y, z thoả mãn
Thì x, y, z là 3 nghiệm của phương trình X3- aX2+ bX - C = 0
Ví dụ 14: Giải hệ phương trình
Lời giải:
Bình phương hai vế của (1) rồi trừ cho (2) ta có:
hay
Bình phương hai vế của (2) rồi trừ cho (3) ta có:
2xy + 2...