Download Luận văn Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với phát triển tư duy hàm cho học sinh THPT trong dạy học Đại số và Giải tích
Giáo viên cần hình thành và rèn luyện kỹ năng giải phương trình, bất phương trình bằng biến đổi tương đương do áp dụng hằng đẳng thức, các phép biến đổi đồng nhất hay áp dụng định lý về phép biến đổi tương đương. Ngoài ra cũng cần quan tâm rèn luyện kỹ năng giải phương trình, bất phương trình bằng biến đổi hệ quả.
Rèn luyện kỹ năng biến đổi phương trình là một khâu rất quan trọng trong quá trình giải phương trình, biến đổi sai lầm dẫn đến bài toán giải sai. Thế nhưng không dễ dàng gì học sinh nhận ra bước biến đổi của mình là sai lầm.
Để tải bản DOC Đầy Đủ xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Xét theo quan điểm khai thác các tư tưởng chủ đạo của tư duy hàm, chúng tui lưu ý rằng quá trình biến đổi phương trình, bất phương trình là một quá trình mang tính ''động''. Trong quá trình ''động'' đó ta khai thác yếu tố ''tĩnh'' để đạt được mục đích (là tìm nghiệm). Cái thay đổi trong biến đổi phương trình, bất phương trình là hình thức, là dạng, là loại phương trình và bất phương trình. Mục đích của sự biến đổi là giảm nhẹ khó khăn, quy lạ về quen và giữ bất biến tập nghiệm hay kiểm soát được sự thay đổi tập nghiệm sao cho sự thay đổi nếu có đều có thể kiểm tra để loại bỏ nghiệm ngoại lai hay vớt lại được các nghiệm đã bị gạt bỏ trong quá trình biến đổi.
Khi đã đưa được phương trình đã cho về các dạng phương trình mẫu thì sự tương ứng xuất hiện giữa dạng phương trình với các kỹ thuật tính toán, biến đổi hay tập nghiệm chúng tui đã trình bày ở trên được thể hiện.
Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)
Một học sinh thực hiện giải như sau:
Biến đổi phương trình (1) thành: (2)
Bình phương hai vế của phương trình (2) ta được: (3)
Thực hiện phép biến đổi đồng nhất: (4)
Đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai chính tắc:
(5)
Giải phương trình (5) ta được các nghiệm là và
Câu hỏi đặt ra: Hãy xét mối quan hệ giữa các phương trình trong qúa trình biến đổi? Diễn biến của các tập nghiệm của các phương trình đó thay đổi ra sao?
Muốn vậy, học sinh phải xác định được các phép biến đổi sử dụng khi "biến đổi"nắm vững các loại phép biến đổi hệ quả và nắm vững các kiến thức đã học, dù không liên quan trực tiếp đến biến đổi phương trình. Chẳng hạn: Với thì còn nếu a = 1 thì với mọi giá trị của p và q.
Từ đó, ta biết được quan hệ giữa các phương trình:
Dựa vào sơ đồ trên học sinh dễ dàng biết được diễn biến của các tập nghiệm, do đó kết luận được: Nếu thay phương trình (1) bởi phương trình (5) thì có thể vừa thừa nghiệm vừa thiếu nghiệm. Vậy khắc phục điều đó ra sao?
- Thử các giá trị 1 và 2 vào phương trình (1) loại bỏ nghiệm ngoại lai (nếu có), thấy chỉ một giá trị 1 thoả mãn (khắc phục thừa nghiệm).
- Thử các giá trị của x làm cho cơ số luỹ thừa nhận giá trị 1 (khắc phục thiếu nghiệm do việc biến đổi từ (1) sang (2)) ta được x = 3 thoả mãn (1).
Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1 và x = 3.
Muốn nâng cao kỹ năng biến đổi nói chung, kỹ năng biến đổi phương trình nói riêng, đầu tiên giáo viên phải giúp học sinh nắm chắc các khái niệm cơ bản và kiến thức cơ sở, coi trọng học các khái niệm, hiểu rõ những điều cốt lõi của khái niệm, hiểu được cách vận dụng chúng để giải bài tập và đề phòng những sai lầm thường gặp. Chẳng hạn, giá trị tuyệt đối của số thực x là , giá trị tuyệt đối của số thực x phải dựa vào quan hệ của nó với số không để biện luận. Do đó khi gặp phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, hướng suy nghĩ cơ bản khi làm loại toán này là khử dấu giá trị tuyệt đối. Muốn vậy, cần dựa vào ý nghĩa giá trị tuyệt đối để bỏ dấu, phương pháp cụ thể là phương pháp điểm không.
Tuy nhiên, khi tìm giá trị tuyệt đối phải đề phòng vận dụng khái niệm một cách hình thức dẫn đến sai lầm có tính lý thuyết như: Giải và biện luận phương trình thì không phải là chia ra ba trường hợp và để biện luận mà phải căn cứ theo và để giải. ở đây học sinh đã hiểu một cách máy móc, hình thức dẫn đến sai lầm trong phân chia trường hợp và sai lầm không tránh khỏi khi biến đổi phương trình, bất phương trình.
Bên cạnh việc rèn luyện kỹ năng “biến đổi” dựa vào hằng đẳng thức, định nghĩa còn rèn kỹ năng “biến đổi” dựa vào các quy tắc, tính chất, định lý... có điều kiện kèm theo mà điều kiện đó có ý nghĩa quan trọng quy định tính đúng - sai của hằng đẳng thức đó.
ví dụ 2: Giải phương trình:
Một học sinh thực hiện lời giải như sau:
Điều kiện:
Biến đổi phương trình trở thành:
Đặt . Phương trình đã cho có dạng:
Cả hai giá trị t tìm được đều âm (không thỏa mãn điều kiện ) nên phương trình đã cho vô nghiệm.
Hỏi: Hãy xem xét lại phép biến đổi?
. Chưa đúng!
Hỏi: Phép biến đổi này chỉ đúng khi nào?
Khi và
Như vậy, lời giải trên thực hiện không đúng. Sai lầm từ phép biến đổi:
không phải là phép biến đổi tương đương.
Hỏi: Khắc phục điều đó như thế nào?
Hướng 1: Khắc phục sai lầm do biến đổi
Thực hiện phép biến đổi tương đương:
- Xét x > 3, phương trình trở thành:
Giải như trên phương trình vô nghiệm.
- Xét , phương trình trở thành:
Đặt , phương trình có dạng:
Với t = 1, ta được:
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm
Với t = 3, ta được:
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm
Kết luận: Phương trình có hai nghiệm và .
Hướng 2: Khắc phục sai lầm do biến đổi bằng cách thay đổi cách chọn ẩn phụ
Đặt . Suy ra:
Khi đó, phương trình có dạng:
Với ta được:
Với ta được:
Vậy phương trình có hai nghiệm và .
Từ bài toán cho thấy sai lầm trong biến đổi do không suy xét vấn đề một cách kín kẽ, nghiêm ngặt, áp dụng hời hợt, phiến diện có tác dụng tai hại trong quá trình giải toán phương trình, bất phương trình.
Giáo viên có thể yêu cầu học sinh thống kê một số các phép biến đổi đồng nhất thức cơ bản, thường gặp đối với từng mảng kiến thức được học. Đồng thời nhấn mạnh, khắc sâu điều kiện cần để xảy ra phép biến đổi đồng nhất đó. Chẳng hạn, nêu các phép biến đổi đồng nhất khi biến đổi phương trình vô tỷ:
1.
2.
3. và
4.
5.
Sau khi học sinh liệt kê một số dạng đồng nhất thường gặp khi biến đổi phương trình vô tỷ, giáo viên cần giúp học sinh ý thức được việc biến đổi phương trình khi áp dụng phép biến đổi đồng nhất có thể làm thay đổi tập nghiệm, cũng có thể làm mở rộng hay thu hẹp tập nghiệm, tùy thuộc quá trình biến đổi chúng ta tách hay gộp các biểu thức có làm thay đổi tập xác định của bài toán không?
Chẳng hạn như phép biến đổi ở ví dụ trên:
là phép biến đổi
làm thu hẹp tập xác định.
Xuất phát từ định nghĩa căn thức dẫn đến
Do đó nếu thay bởi thì chỉ mới xét trường hợp còn bỏ sót trường hợp .
Giáo viên cần hình thành và rèn luyện kỹ năng giải phương trình, bất phương trình bằng biến đổi tương đương do áp dụng hằng đẳng thức, các phép biến đổi đồng nhất hay áp dụng định lý về phép biến đổi tương đương. Ngoài ra cũng cần quan tâm rèn luyện kỹ năng giải phương trình, bất phương trình bằng biến đổi hệ quả.
Rèn luyện kỹ năng biến đổi phương trình là một khâu rất quan trọng trong quá trình giải phương trình, biến đổi sai lầm dẫn đến bài toán giải sai...
Download miễn phí Luận văn Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với phát triển tư duy hàm cho học sinh THPT trong dạy học Đại số và Giải tích
Giáo viên cần hình thành và rèn luyện kỹ năng giải phương trình, bất phương trình bằng biến đổi tương đương do áp dụng hằng đẳng thức, các phép biến đổi đồng nhất hay áp dụng định lý về phép biến đổi tương đương. Ngoài ra cũng cần quan tâm rèn luyện kỹ năng giải phương trình, bất phương trình bằng biến đổi hệ quả.
Rèn luyện kỹ năng biến đổi phương trình là một khâu rất quan trọng trong quá trình giải phương trình, biến đổi sai lầm dẫn đến bài toán giải sai. Thế nhưng không dễ dàng gì học sinh nhận ra bước biến đổi của mình là sai lầm.
Để tải bản DOC Đầy Đủ xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Tóm tắt nội dung:
ổi phương trình, hầu như khi tiến hành giải phương trình, người ta thường tìm cách biến đổi phương trình đó về phương trình đơn giản hơn và cuối cùng dẫn đến phương trình đã biết cách giải, có thể biến đổi phương trình đó về phương trình tương đương với phương trình đã cho hay là phương trình hệ quả của phương trình đã cho.Xét theo quan điểm khai thác các tư tưởng chủ đạo của tư duy hàm, chúng tui lưu ý rằng quá trình biến đổi phương trình, bất phương trình là một quá trình mang tính ''động''. Trong quá trình ''động'' đó ta khai thác yếu tố ''tĩnh'' để đạt được mục đích (là tìm nghiệm). Cái thay đổi trong biến đổi phương trình, bất phương trình là hình thức, là dạng, là loại phương trình và bất phương trình. Mục đích của sự biến đổi là giảm nhẹ khó khăn, quy lạ về quen và giữ bất biến tập nghiệm hay kiểm soát được sự thay đổi tập nghiệm sao cho sự thay đổi nếu có đều có thể kiểm tra để loại bỏ nghiệm ngoại lai hay vớt lại được các nghiệm đã bị gạt bỏ trong quá trình biến đổi.
Khi đã đưa được phương trình đã cho về các dạng phương trình mẫu thì sự tương ứng xuất hiện giữa dạng phương trình với các kỹ thuật tính toán, biến đổi hay tập nghiệm chúng tui đã trình bày ở trên được thể hiện.
Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)
Một học sinh thực hiện giải như sau:
Biến đổi phương trình (1) thành: (2)
Bình phương hai vế của phương trình (2) ta được: (3)
Thực hiện phép biến đổi đồng nhất: (4)
Đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai chính tắc:
(5)
Giải phương trình (5) ta được các nghiệm là và
Câu hỏi đặt ra: Hãy xét mối quan hệ giữa các phương trình trong qúa trình biến đổi? Diễn biến của các tập nghiệm của các phương trình đó thay đổi ra sao?
Muốn vậy, học sinh phải xác định được các phép biến đổi sử dụng khi "biến đổi"nắm vững các loại phép biến đổi hệ quả và nắm vững các kiến thức đã học, dù không liên quan trực tiếp đến biến đổi phương trình. Chẳng hạn: Với thì còn nếu a = 1 thì với mọi giá trị của p và q.
Từ đó, ta biết được quan hệ giữa các phương trình:
Dựa vào sơ đồ trên học sinh dễ dàng biết được diễn biến của các tập nghiệm, do đó kết luận được: Nếu thay phương trình (1) bởi phương trình (5) thì có thể vừa thừa nghiệm vừa thiếu nghiệm. Vậy khắc phục điều đó ra sao?
- Thử các giá trị 1 và 2 vào phương trình (1) loại bỏ nghiệm ngoại lai (nếu có), thấy chỉ một giá trị 1 thoả mãn (khắc phục thừa nghiệm).
- Thử các giá trị của x làm cho cơ số luỹ thừa nhận giá trị 1 (khắc phục thiếu nghiệm do việc biến đổi từ (1) sang (2)) ta được x = 3 thoả mãn (1).
Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1 và x = 3.
Muốn nâng cao kỹ năng biến đổi nói chung, kỹ năng biến đổi phương trình nói riêng, đầu tiên giáo viên phải giúp học sinh nắm chắc các khái niệm cơ bản và kiến thức cơ sở, coi trọng học các khái niệm, hiểu rõ những điều cốt lõi của khái niệm, hiểu được cách vận dụng chúng để giải bài tập và đề phòng những sai lầm thường gặp. Chẳng hạn, giá trị tuyệt đối của số thực x là , giá trị tuyệt đối của số thực x phải dựa vào quan hệ của nó với số không để biện luận. Do đó khi gặp phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, hướng suy nghĩ cơ bản khi làm loại toán này là khử dấu giá trị tuyệt đối. Muốn vậy, cần dựa vào ý nghĩa giá trị tuyệt đối để bỏ dấu, phương pháp cụ thể là phương pháp điểm không.
Tuy nhiên, khi tìm giá trị tuyệt đối phải đề phòng vận dụng khái niệm một cách hình thức dẫn đến sai lầm có tính lý thuyết như: Giải và biện luận phương trình thì không phải là chia ra ba trường hợp và để biện luận mà phải căn cứ theo và để giải. ở đây học sinh đã hiểu một cách máy móc, hình thức dẫn đến sai lầm trong phân chia trường hợp và sai lầm không tránh khỏi khi biến đổi phương trình, bất phương trình.
Bên cạnh việc rèn luyện kỹ năng “biến đổi” dựa vào hằng đẳng thức, định nghĩa còn rèn kỹ năng “biến đổi” dựa vào các quy tắc, tính chất, định lý... có điều kiện kèm theo mà điều kiện đó có ý nghĩa quan trọng quy định tính đúng - sai của hằng đẳng thức đó.
ví dụ 2: Giải phương trình:
Một học sinh thực hiện lời giải như sau:
Điều kiện:
Biến đổi phương trình trở thành:
Đặt . Phương trình đã cho có dạng:
Cả hai giá trị t tìm được đều âm (không thỏa mãn điều kiện ) nên phương trình đã cho vô nghiệm.
Hỏi: Hãy xem xét lại phép biến đổi?
. Chưa đúng!
Hỏi: Phép biến đổi này chỉ đúng khi nào?
Khi và
Như vậy, lời giải trên thực hiện không đúng. Sai lầm từ phép biến đổi:
không phải là phép biến đổi tương đương.
Hỏi: Khắc phục điều đó như thế nào?
Hướng 1: Khắc phục sai lầm do biến đổi
Thực hiện phép biến đổi tương đương:
- Xét x > 3, phương trình trở thành:
Giải như trên phương trình vô nghiệm.
- Xét , phương trình trở thành:
Đặt , phương trình có dạng:
Với t = 1, ta được:
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm
Với t = 3, ta được:
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm
Kết luận: Phương trình có hai nghiệm và .
Hướng 2: Khắc phục sai lầm do biến đổi bằng cách thay đổi cách chọn ẩn phụ
Đặt . Suy ra:
Khi đó, phương trình có dạng:
Với ta được:
Với ta được:
Vậy phương trình có hai nghiệm và .
Từ bài toán cho thấy sai lầm trong biến đổi do không suy xét vấn đề một cách kín kẽ, nghiêm ngặt, áp dụng hời hợt, phiến diện có tác dụng tai hại trong quá trình giải toán phương trình, bất phương trình.
Giáo viên có thể yêu cầu học sinh thống kê một số các phép biến đổi đồng nhất thức cơ bản, thường gặp đối với từng mảng kiến thức được học. Đồng thời nhấn mạnh, khắc sâu điều kiện cần để xảy ra phép biến đổi đồng nhất đó. Chẳng hạn, nêu các phép biến đổi đồng nhất khi biến đổi phương trình vô tỷ:
1.
2.
3. và
4.
5.
Sau khi học sinh liệt kê một số dạng đồng nhất thường gặp khi biến đổi phương trình vô tỷ, giáo viên cần giúp học sinh ý thức được việc biến đổi phương trình khi áp dụng phép biến đổi đồng nhất có thể làm thay đổi tập nghiệm, cũng có thể làm mở rộng hay thu hẹp tập nghiệm, tùy thuộc quá trình biến đổi chúng ta tách hay gộp các biểu thức có làm thay đổi tập xác định của bài toán không?
Chẳng hạn như phép biến đổi ở ví dụ trên:
là phép biến đổi
làm thu hẹp tập xác định.
Xuất phát từ định nghĩa căn thức dẫn đến
Do đó nếu thay bởi thì chỉ mới xét trường hợp còn bỏ sót trường hợp .
Giáo viên cần hình thành và rèn luyện kỹ năng giải phương trình, bất phương trình bằng biến đổi tương đương do áp dụng hằng đẳng thức, các phép biến đổi đồng nhất hay áp dụng định lý về phép biến đổi tương đương. Ngoài ra cũng cần quan tâm rèn luyện kỹ năng giải phương trình, bất phương trình bằng biến đổi hệ quả.
Rèn luyện kỹ năng biến đổi phương trình là một khâu rất quan trọng trong quá trình giải phương trình, biến đổi sai lầm dẫn đến bài toán giải sai...