katchan_virgo_3219
New Member
Download miễn phí Chuyên đề Phương pháp hàm số vào trong giải toán
III - Sử dụng tính đơn điệu, GTLN, GTNN của hàm số để chứng minh bất đẳng thức.
1) Định lý 1: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì f(a) < f(x) < f(b) với mọi x thuộc (a;b)
2) Định lý 2: Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f(a) > f(x) > f(b) với mọi x thuộc (a;b)
3) Định lý 3: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì f(a) f(x) f(b) với mọi x thuộc [a;b]
4) Định lý 4: Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f(a) f(x) f(b) với mọi x thuộc [a;b]
Chú ý: Định lí 1,2,3,4 dùng để chứng minh bất đẳng thức bằng cách xét hàm số.
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
MỞ ĐẦUĐịnh nghĩa hàm số và các khái niệm liên quan đến hàm số đã được trình bày ở chương trình sách giáo khoa lớp 10. Nhưng để hiểu rõ các tính chất và các ứng dụng của hàm số thì cần có kiến thức về giải tích mà cụ thể là đạo hàm của hàm số. Kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm được trình bày ở chương trình sách giáo khoa cuối lớp 11 và đầu lớp 12.
Dùng đạo hàm của hàm số giúp chúng ta tìm được GTLN, GTNN , xét được khoảng đồng biến , nghich biến của hàm số và xét được tính lồi lõm của đồ thị hàm số.
Từ các ứng dụng đạo hàm của hàm số giúp chúng ta giải được một số bài toán trong phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, xét sự hội tụ của dãy số và chứng minh bất đẳng thức.
Trong bài viết này chúng ta tìm hiểu một số ứng dụng của phương pháp hàm số vào trong giải toán.
I- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.
1) Định lí 1: Nếu hàm số f(x) luôn đồng biến (hay luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì số nghiệm của phương trình f(x) = k trên D không nhiều hơn một và f(x) = f(y) Û x = y với mọi x, y Î D.
Chứng minh:
a) Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a tức là f(a) = k.
Nếu x > a thì f(x) > f(a) = k suy ra phương trình vô nghiệm.
Nếu x < a thì f(x) < f(a) = k suy ra phương trình vô nghiệm.
b) Nếu x > y thì f(x) > f(y) suy ra phương trình f(x) = f(y) vô nghiệm.
Nếu x < y thì f(x) < f(y) suy ra phương trình f(x) = f(y) vô nghiệm.
2) Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến ( hay luôn nghịch biến) và hàm số y = g(x) luôn nghịch biến (hay luôn đồng biến) và liên tục trên D thì số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một.
Chứng minh:
Giả sử phương trình f(x) = g(x) có nghiệm x = a tức là f(a) = g(a).
Nếu x > a thì f(x) > f(a) = g(a) > g(x) suy ra phương trình vô nghiệm.
Nếu x < a thì f(x) < f(a) = g(a) < g(x) suy ra phương trình vô nghiệm.
3) Định lí 3: Nếu đồ thị hàm số y = f(x) lồi (lõm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = 0 nếu có nghiệm thì có tối đa 2 nghiệm.
Ví dụ 1: Giải phương trình 3x = 4 - x.
Giải: Tập xác định D= R. Phương trình tương đương với 3x + x - 4 = 0.
Xét hàm số f(x ) = 3x + x - 4 . Hàm số xác định và liên tục trên R
f’(x) = 3x.ln3 + 1 > 0 " x ÎR. Vậy hàm số f(x) đồng biến trên R.
Mặt khác phương trình có một nghiệm x =1. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
Bài tập 1: Giải phương trình:
Bài tập 2: Giải phương trình: .
Ví dụ 2: Giải phương trình :
Giải: Tập xác định D = R. Phương trình đã cho tương đương với
(*)
Xét hàm số f(t) = .Hàm số xác định và liên tục trên khoảng(0;+ ¥)
f’(t) = > 0 "t > 0. Vậy hàm số f(t) đồng biến trên khoảng(0;+ ¥)
Phương trình (*) Û f(x2 +x + 3) = f(2x2 + 4x + 5)
Û x2 +x + 3 = 2x2 + 4x + 5 Û x = - 1 v x = - 2.
Bài tập 1: Giải hệ phương trình
Bài tập 2: Giải hệ phương trình
Bài tập 3: Giải hệ phương trình
Bài tập 4 : Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
Ví dụ 3: Giải phương trình 3x = 2x + 1
Giải: Tập xác định D = R. Phương trình đã cho tương đương với 3x - 2x - 1 = 0.
Xét hàm số f(x) = 3x -2x - 1, f’(x) = 3xln3 - 2, f’’(x) = 3x (ln3)2 > 0 "x Î R.
Mặt khác phương trình co hai nghiệm x = 0 và x =1. Vậy phương trình có đúng hai nghiệm x = 0 và x = 1.
Bài tập 1: Giải phương trình: 2009x + 2010x = 4017x + 2
Bài tập 2: Giải phương trình:
Bài tập 3: Giải phương trình:
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình
Giải: Xét hàm số f(t) = t3 + t2 + t - 2. f’(t) = 3t2 + 2t + 1 > 0 "tÎ R. Vậy hàm số f(t) đồng biến trên R.
Giả sử x = max{x,y,z} hay x³ y và x ³ z suy ra x = f(y) ³ f( z) = y và x= f(y) ³ f(x) = z . Từ đó ta có y ³ z và y ³ x. Suy ra f(y) ³ f(z) hay z ³ x. Do đó x ³ y³ z³ x từ đó x = y = z = 1.
Bài tập 1: Giải hệ phương trình
Bài tập 2: Giải hệ phương trình
Bài tập 3: Giải hệ phương trình
Ví dụ 5: Giải bất phương trình
Giải: Tập xác định D = [- 6; 7] . Xét hàm số f(x) = .
Ta có f’(x) = " x Î (- 6; 7).
Vậy hàm số f(x) đồng biến trên đoạn [- 6; 7]
Mặt khác f(3) = 1. Do đó bất phương trình tương đương với f(x) ³ f(3) Û x ³ 3.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [3; 7]
Bài tập 1: Giải bất phương trình
Bài tập 2: Giải bất phương trình
II - Sử dụng GTLN,GTNN của hàm số để tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm.
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b).
1) Định lý 1: Phương trình f(x) = m có nghiệm thuộc đoạn [a;b] Û
2) Định lý 2: Bất phương trình f(x) ³ m có nghiệm thuộc đoạn [a;b] Û
3) Định lý 3: Bất phương trình f(x) £ m có nghiệm thuộc đoạn [a;b] Û
4) Định lý 4: Bất phương trình f(x) ³ m nghiệm đúng với mọi x Î [a;b] Û
5) Định lý 5: Bất phương trình f(x) £ m nghiệm đúng với mọi x Î [a;b] Û
Chú ý: Định lý 1,2,3,4,5 dùng để giải các bài toán về phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình, bất phương trình chứa tham số.
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau
a) Có nghiệm.
b) Có đúng 1 nghiệm.
c) có 2 nghiệm phân biệt.
Giải : Tập xác định D= [-7;3], Xét hàm số , ta có , f’(x) = 0 Û x= - 6 (Loại) v x = 2.
Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x).
x
-7 2 3
f’(x)
+ 0 -
f(x)
15
-30 10
a) Phương trình có nghiệm khi Û - 30 £ m £ 15
b) Phương trình có đúng 1 nghiệm khi - 30 £ m < 10 hay m = 15.
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 10 £ m < 15.
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình 4(sin4x + cos4x) + (5 - 2m)cos2x + 9 - 3m = 0
a) Có nghiệm.
b) Có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn
Giải : Đặt t = cos2x với - 1 £ t £ 1 . Phương trình trở thành .
Xét hàm số f(t) =
Ta có , f’(t) = 0 Û t = (Loại) v t = . Bảng biến thiên
t
-1 1/2 1
f’(t)
- 0 +
f(t)
8 18/5
7/2
a) Phương trình có nghiệm khi Û 7/2 £ m£ 8.
b) Khi x Î thì 2x Î hay . Phương trình có hai nghiệm thuộc đoạn khi phương trình ẩn t có hai nghiệm t thuộc đoạn hay 7/2 < m £ 18/5
Bài tập 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực
Bài tập 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
Bài tập 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
Bài tập 5: Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt:
Bài tập 6: Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất thuộc đoạn .
Bài tập 7: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn
Bài tập 8: Tìm m để phương trình có nghiệm thực.
Bài tập 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
Bài tập 10:Tìm m để phương trình sau có nghiệm
Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình: nghiệm đúng "x ³ 1
Giải: BPT .
Ta có " x ≠ 0.
Suy ra đồng biến trên khoảng (1; + ¥) .
YCBT
Bài tập 1: Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị x Î
Bài tập 2: Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng
Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình: có nghiệm.
Giải: Chú ý: Nếu tính rồi xét dấu thì thao tác rất phức tạp, dễ nhầm lẫn.
Thủ thuật: Đặt
Suy ra: và tăng; > 0 và giảm hay và tăng
tăng. Suy ra có nghiệm
Bài tập 1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:
Bài tập 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
Ví dụ 5: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
Giải: Đặt ta có
và
Khi đó hệ trở thành
Û là nghiệm của phương trình...