betruclam2008
New Member
Download miễn phí Đề tài Tăng cường hoạt động nhận thức của học sinh thông qua việc dạy học các yếu tố giải tích nguyên hàm - Tích phân ở trung học phổ thông
Nội dung .Trang
LỜI CẢM ƠN .1
CÁC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN.2
PHẦN MỞ ĐẦU.3
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:.3
II. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: .4
III.KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU:.4
1.Khách Thể Nghiên Cứu: .4
2.Đối Tượng Nghiên Cứu: .4
3.Phạm Vi Nghiên Cứu:.4
IV.GIẢ THUYẾT KHOA HỌC: .4
V.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:.5
VI.LỢI ÍCH CỦA LUẬN VĂN:.5
VII.CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN:.5
PHẦN NỘI DUNG .6
CHƯƠNG I: SỰ PHÁT TRIỂN TRÍ TUỆ CỦA HS THPT SƠ LƯỢC VỀ QUÁ
TRÌNH DẠY HỌC PHÁT TRIỂN TƯ DUY VÀ RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG SÁNG
TẠO CHO HS.6
I.VÀI NÉT VỀ SỰ PHÁT TRIỂN TRÍ TUỆ CỦA HS THPT:.6
1.Đặc điểm hoạt động học tập:.6
2.Đặc điểm của sự phát triển trí tuệ: .6
3.Dạy học và sự phát triển trí tuệ: .7
3.1. Khái niệm về sự phát triển trí tuệ:.7
3.2.Vài nét về chỉ số của sự phát triển trí tuệ:.7
3.3.Quan hệ giữa dạy học và phát triển trí tuệ: .7
Để tải tài liệu này, vui lòng Trả lời bài viết, Mods sẽ gửi Link download cho bạn ngay qua hòm tin nhắn.
Ketnooi -
You must be registered for see links
Ai cần tài liệu gì mà không tìm thấy ở Ketnooi, đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
in cos
(1 tan ) tan
cos
(1 cot ) cot
sin
= + < ≠
= +
= − +
= + = +
= + = − +
∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
u
u aa du C a
a
udu u C
udu u C
du u du u C
u
du u du u C
u
2
2
2
arcsin
1
arccos
1
arctan
1
= +−
= − +−
= ++
∫
∫
∫
du u C
u
du u C
u
du u C
u
1.6.Bảng nguyên hàm mở rộng:
( ) ( )
+
+ +
++ = + ≠ −+
= + ++
= +
∫
∫
∫
m 1
m
ax b ax b
ax b1ax b dx . C (m 1)
a m 1
dx 1 .ln ax b C
ax b a
1e dx .e C
a
= +
−
= + + +
+
= − − − +
−
∫
∫
∫
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
dx xarcsin C
aa x
dx ln x x a C
x a
dx ln x x a C
x a
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
38
( ) ( )+ = − + +∫ 1sin ax b dx cos ax b Ca
( ) ( )+ = + +∫ 1cos ax b dx sin ax b Ca
( ) ( )2
dx 1 cot ax b C ( vôùi a 0)
sin ax b a
= − + + ≠+∫
( ) ( )2
2 2
2 2
dx 1 tan ax b C
cos ax b a
dx 1 xarctan
x a a a
dx 1 x aln C
x a 2a x a
= + ++
=+
−= +− +
∫
∫
∫
= − +∫ tan xdx ln cosx C
= +∫ cot xdx ln sin x C
2 2
2
2 2
2 2
du 1 uarctan C
u a a a
du 1 C
u u
du 1 u aln C
u a 2a u a
du 1 u aln C
a u 2a a u
= ++
= − +
−= +− +
+= +− −
∫
∫
∫
∫
Công thức Newton-Leibnitz: ( ) ( ) ( ) ( )
b
a
b
f x dx F x F b F a
a
= = −∫
1.7.Các tính chất của tích phân:
( )
a
a
f x dx∫ = 0
( )
b
a
f x dx∫ = - ( )
a
b
f x dx∫ (b
b
a
kf x dx∫ = ( )b
a
k f x dx∫ (k là hằng số)
[ ]( ) ( )b
a
f x g x dx±∫ = ( )
b
a
f x dx∫ ( )
b
a
g x dx± ∫
( )
b
a
f x dx∫ = ( )c
a
f x dx∫ = ( )b
c
f x dx∫ (a
b
a
f x dx≥∫
( ) ( ), [ ; ] ( ) ( )
b b
a a
f x g x x a b f x dx g x dx≥ ∈ ⇒ ≥∫ ∫
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
39
2.Các Phương Pháp Và Kiến Thức Giải Các Bài Tập Về
Nguyên Hàm- Tích Phân:
2.1.Sử dụng đạo hàm và định nghĩa nguyên hàm:
Các bài tập sử dụng đạo hàm và định nghĩa nguyên hàm gồm các dạng bài tập
nhằm củng cố lại các công thức tính đạo hàm của hàm số, củng cố lại kiến thức về định
nghĩa nguyên hàm như chứng minh F(x) là nguyên hàm của f(x), xác định nguyên hàm
với điều kiện ràng buộc, tìm điều kiện của tham số để F(x) là nguyên hàm của f(x). Các
dạng bài tập này yêu cầu HS phải thành thạo trong việc tính đạo hàm của các hàm số đã
được học ở lớp 11. Đây là các bài tập nhằm cho HS thấy rõ mối liên hệ chặt chẽ giữa
đạo hàm và nguyên hàm chứ không có tác dụng nhiều trong việc rèn luyện kĩ năng tích
phân.
Các kiến thức cần dùng:
●Bảng công thức tính đạo hàm (cơ sở lý thuyết 1.1)
●Định nghĩa nguyên hàm:
“Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a ; b). Hàm số F(x) được gọi là một
nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b), nếu F’(x) = f(x) với mọi x∈(a ; b)”.
Kí hiệu họ nguyên hàm của f(x) là ( )f x dx∫ . Khi đó:
( )f x dx∫ = F(x) + C.
●F(x) là nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b] khi và chỉ khi
'( ) ( ); ( ; )
( ) ( )'( ) lim ( )
( ) ( )'( ) lim ( )
x a
x b
F x f x vôùi moïi x a b
f x f aF a f a
x a
f x f bF b f b
x b
+
−
+
→
−
→
⎧⎪ = ∈⎪ −⎪ = =⎨ −⎪ −⎪ = =⎪ −⎩
●Vài công thức tính giới hạn của hàm số:
0 0
1
0 0
0 0
0 0
sin 1lim 1 ; lim 1
tanlim 1 ; lim(1 )
arcsin ln(1 )lim 1 ; lim 1
arctan (1 ) 1lim 1 ; lim
x
x x
x
x x
x x
x x
x e
x x
x x e
x
x x
x x
x x
x x
α
α
→ →
→ →
→ →
→ →
−= =
= + =
+= =
+ −= =
Định lí 1:
“Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b), thì với mỗi
hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó”.
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
40
Định lí 2:
“Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b), thì mọi nguyên
hàm của f (x) đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số”.
Các tính chất của nguyên hàm (1.4)
Bảng các nguyên hàm (1.5)
2.1.1.Dạng 1:Chứng minh F(x) là nguyên hàm của f(x):
Phương pháp: Tính đạo hàm của F(x) rồi so sánh với f(x) trên từng khoảng
xác định của f(x).
Ví dụ minh họa:
Bài 1: Kiểm tra F(x) có phải là nguyên hàm của f(x) hay không?
2 2 2 2 4
2 2
2 2 2
(2 )( ) ln( )
8 8
( )
x x a x a aF x x x a
f x x x a
+ += − + +
= +
Giải:
2 2 2 2 4
2 2
4
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 4
2 2 2 2
2 2 2 2 4 4
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
(2 )'( ) [ ln( )
8 8
1 1[(6 ) (2 ) ] (1 )
8 8
(6 )( ) (2 )
8 8
( )(7 )
8
( )[(7 ) ( )] 8 (
8
x x a x a aF x x x a
x a xx a x a x x a
x a x x a x a
x a x a x x a a
x a x a
x a x a x a
x a
x a x a x a x
x a
+ += − + +
= + + + + − ++ + + +
+ + + += −+ +
+ + + −= +
+ + + −= =+
2 2
2 2 2
2 2
) ( )
8
x a x x a f x
x a
+ = + =+
Vậy: F(x) là một nguyên hàm của f(x).
Bài 2:Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của f(x) với:
2 2
ln ; 0( ) 2 4
0 ; 0
x xx vôùimoïi xF x
x
⎧ − >⎪= ⎨⎪ =⎩
ln ; 0
( )
0 ; 0
x x vôùi moïi x
f x
x
>⎧= ⎨ =⎩
Giải:
Ta chứng minh F’(x) = f(x) ,với mọi x>0
Thật vậy 0x∀ > , ta có:
2 2 2 1 2'( ) ( ln )' ln . ln ( )
2 4 2 4
'( ) ( ) , 0 (1)
x x x xF x x x x x x f x
x
F x f x vôùi moïi x
= − = + − = =
⇔ = >
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
41
Chứng minh F’(0+) = f(0)
Ta có:
2 2
0 0
0 0 0 0
( ) (0) 1'(0 ) lim lim ln
0 2 4
1 1 1lim( ln ) lim lim( ln ) lim ( )
2 4 2 2
x x
x x x x
F x f x xF x
x x
xx x x x f x
+ +
+ + + +
+
→ →
→ → → →
⎛ ⎞−= = −⎜ ⎟− ⎝ ⎠
= − = =
0 0 :0 ln ln lnDo x neân vôùi x e tacoù x x x x x e x+→ < < ≤ = < =
0 0 0
:
lim 0 lim ln 0 lim( ln ) 0
: '(0 ) 0 (0) (2)
x x x
Maët khaùc
x x x x x
Vaäy F f
+ + +→ → →
+
= ⇒ = ⇒ =
= =
Kết luận: Từ (1) và (2) suy ra F’(x) = f(x) , với mọi 0x ≥
Bài 3:Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của f(x) với:
( )( ) ln 1
( )
1
F x x x
xf x
x
= − +
= +
Giải:
Tacó:
ln(1 ) ; 0
( ) 0 ; 0
ln(1 ); 0
; 0
1
( ) 0 ; 0
; 0
1
x x vôùimoïi x
F x x
x x vôùi moïi x
x vôùimoïi x
x
f x x
x vôùi moïi x
x
− + >⎧⎪= =⎨⎪− − − <⎩
⎧ >⎪ +⎪= =⎨⎪⎪ <−⎩
10 : '( ) [ ln(1 )]' 1 ( ) (1)
1 1
10 : '( ) [ ln(1 )]' 1 ( ) (2)
1 1
xx tacoù F x x x f x
x x
xx tacoù F x x x f x
x x
∀ > = − + = − = =+ +
∀ < = − − − = − + = =− −
0 0 0
0
( ) (0) ln(1 ) ln(1 )'(0 ) lim lim lim 1 0
0x x x
Taïi x
F x F x x xF
x x x+ + +
+
→ → →
=
− − + +⎛ ⎞= = = − =⎜ ⎟− ⎝ ⎠
Show Desktop.scf
0 0 0
( ) (0) ln(1 ) ln(1 )'(0 ) lim lim lim 1 0
0
: '(0 ) '(0 ) (0) '(0) (0) (3)
(1),(2),(3) '( ) ( )
x x x
F x F x x xF
x x x
Vaäy F F f F f
Töø suy raF x f x vôùimoïi x R
− − −
−
→ → →
+ −
− − − − −⎛ ⎞= = = − − =⎜ ⎟− ⎝ ⎠
= = ⇒ =
= ∈
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
42
Bài tập tương tự:
Chứng minh rằng hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) với:
( )( )
4 5 3
2
2 2 2
2
2
1) ( ) tan 3 5 ; ( ) 5tan 4 tan 3
4 22) ( ) ln ; ( )
3 4 3
1 13) ( ) ln ln 1 ; ( ) ln 1
F x x x f x x x
x xF x f x
x x x
x xF x x x f x x
x x
= + − = + +
⎛ ⎞+ −= =⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠
+ +⎛ ⎞= − + = −⎜ ⎟⎝ ⎠
sin
sin
2
, 0, 0
4) ( ) ; ( ) 1 , 02 1 1, 0
1
( 1) 11 , 0, 05) ( ) ; ( )
11 , 0 , 0
2
x
x
x
x
coxe vôùi moïi xe vôùimoïi x
F x f x
vôùimoïi xx vôùi moïi x
x
x ee xx xF x f xx
x x
⎧ <⎧ <⎪ ⎪= =⎨ ⎨ ≥+ − ≥⎪ ⎪⎩ +⎩
⎧ − +⎧ − ≠⎪≠⎪ ⎪=⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎩ ⎪⎩
2.1.2.Dạng 2:Xác định nguyên hàm với điều kiện ràng buộc:
Phương pháp:
Dùng công thức G(x) = F(x) +C (1) để tìm nguyên hàm của hàm số f(x)
Dùng điều kiện đã cho để tìm hằng số C. Thay C vào (1), ta có nguyên hàm phải
tìm.
Ví dụ minh họa:
Bài 1: Cho hàm số f(x) = xsinx+x2.Tìm nguyên hàm của hàm số g(x) = xcosx
biết rằng nguyên hàm này triệt tiêu khi x π= .
Giải:
: '( ) sin cos 2
: ( ) cos '( ) sin 2
Tacoù f x x x x x
Suyra g x x x f x x x
= + +
= = − −
2: ( ) ( ) cos sin cosDoñoù G x f x x x C x x x C= + − + = + +
( ) 0 1 0 1
: ( ) sin cos 1
Khi x thìG C C
Vaäy G x x x x
π π= = ⇔ − + = ⇔ =
= + +
Bài 2:Chứng minh rằng nguyên hàm của hàm số :
2 1( ) 1 2 3 ... nf x x x nx −= + + + + là
1 1( ) ,
1
nxF x
x
+ −= − biết rằng nguyên hàm này bằng 1 khi
x = 0.
Giải:
2 3
2 3
: ( ) ...
0 (0) 1 1
: ( ) 1 ...
n
n
Tacoù F x x x x x C
Khi x thì F C
Doñoù F x x x x x
= + + + + +
= = ⇔ =
= + + + + +
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
43
1 1
( ) 1 1 .
1 1: ( ) 1. ( )
1 1
n n
F x laø toångcuûa n soá haïngcuûamoät caáp soá nhaâncoù soá haïng ñaàu laø vaø coâng boäi laø x
x xVaäy F x ñpcm
x x
+ +
+
− −= =− −
Bài tập tương tự:
Bài 1:Tìm nguyên hàm của hàm số
4 3
2
3 2 5( ) , 0x xf x x
x
− += ≠ , biết rằng nguyên
hàm này bằng 2 khi x = 1.
Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2 cos
2 6
xf x π⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ , biết rằng n...
(1 tan ) tan
cos
(1 cot ) cot
sin
= + < ≠
= +
= − +
= + = +
= + = − +
∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
u
u aa du C a
a
udu u C
udu u C
du u du u C
u
du u du u C
u
2
2
2
arcsin
1
arccos
1
arctan
1
= +−
= − +−
= ++
∫
∫
∫
du u C
u
du u C
u
du u C
u
1.6.Bảng nguyên hàm mở rộng:
( ) ( )
+
+ +
++ = + ≠ −+
= + ++
= +
∫
∫
∫
m 1
m
ax b ax b
ax b1ax b dx . C (m 1)
a m 1
dx 1 .ln ax b C
ax b a
1e dx .e C
a
= +
−
= + + +
+
= − − − +
−
∫
∫
∫
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
dx xarcsin C
aa x
dx ln x x a C
x a
dx ln x x a C
x a
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
38
( ) ( )+ = − + +∫ 1sin ax b dx cos ax b Ca
( ) ( )+ = + +∫ 1cos ax b dx sin ax b Ca
( ) ( )2
dx 1 cot ax b C ( vôùi a 0)
sin ax b a
= − + + ≠+∫
( ) ( )2
2 2
2 2
dx 1 tan ax b C
cos ax b a
dx 1 xarctan
x a a a
dx 1 x aln C
x a 2a x a
= + ++
=+
−= +− +
∫
∫
∫
= − +∫ tan xdx ln cosx C
= +∫ cot xdx ln sin x C
2 2
2
2 2
2 2
du 1 uarctan C
u a a a
du 1 C
u u
du 1 u aln C
u a 2a u a
du 1 u aln C
a u 2a a u
= ++
= − +
−= +− +
+= +− −
∫
∫
∫
∫
Công thức Newton-Leibnitz: ( ) ( ) ( ) ( )
b
a
b
f x dx F x F b F a
a
= = −∫
1.7.Các tính chất của tích phân:
( )
a
a
f x dx∫ = 0
( )
b
a
f x dx∫ = - ( )
a
b
f x dx∫ (b
b
a
kf x dx∫ = ( )b
a
k f x dx∫ (k là hằng số)
[ ]( ) ( )b
a
f x g x dx±∫ = ( )
b
a
f x dx∫ ( )
b
a
g x dx± ∫
( )
b
a
f x dx∫ = ( )c
a
f x dx∫ = ( )b
c
f x dx∫ (a
b
a
f x dx≥∫
( ) ( ), [ ; ] ( ) ( )
b b
a a
f x g x x a b f x dx g x dx≥ ∈ ⇒ ≥∫ ∫
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
39
2.Các Phương Pháp Và Kiến Thức Giải Các Bài Tập Về
Nguyên Hàm- Tích Phân:
2.1.Sử dụng đạo hàm và định nghĩa nguyên hàm:
Các bài tập sử dụng đạo hàm và định nghĩa nguyên hàm gồm các dạng bài tập
nhằm củng cố lại các công thức tính đạo hàm của hàm số, củng cố lại kiến thức về định
nghĩa nguyên hàm như chứng minh F(x) là nguyên hàm của f(x), xác định nguyên hàm
với điều kiện ràng buộc, tìm điều kiện của tham số để F(x) là nguyên hàm của f(x). Các
dạng bài tập này yêu cầu HS phải thành thạo trong việc tính đạo hàm của các hàm số đã
được học ở lớp 11. Đây là các bài tập nhằm cho HS thấy rõ mối liên hệ chặt chẽ giữa
đạo hàm và nguyên hàm chứ không có tác dụng nhiều trong việc rèn luyện kĩ năng tích
phân.
Các kiến thức cần dùng:
●Bảng công thức tính đạo hàm (cơ sở lý thuyết 1.1)
●Định nghĩa nguyên hàm:
“Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a ; b). Hàm số F(x) được gọi là một
nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b), nếu F’(x) = f(x) với mọi x∈(a ; b)”.
Kí hiệu họ nguyên hàm của f(x) là ( )f x dx∫ . Khi đó:
( )f x dx∫ = F(x) + C.
●F(x) là nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b] khi và chỉ khi
'( ) ( ); ( ; )
( ) ( )'( ) lim ( )
( ) ( )'( ) lim ( )
x a
x b
F x f x vôùi moïi x a b
f x f aF a f a
x a
f x f bF b f b
x b
+
−
+
→
−
→
⎧⎪ = ∈⎪ −⎪ = =⎨ −⎪ −⎪ = =⎪ −⎩
●Vài công thức tính giới hạn của hàm số:
0 0
1
0 0
0 0
0 0
sin 1lim 1 ; lim 1
tanlim 1 ; lim(1 )
arcsin ln(1 )lim 1 ; lim 1
arctan (1 ) 1lim 1 ; lim
x
x x
x
x x
x x
x x
x e
x x
x x e
x
x x
x x
x x
x x
α
α
→ →
→ →
→ →
→ →
−= =
= + =
+= =
+ −= =
Định lí 1:
“Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b), thì với mỗi
hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó”.
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
40
Định lí 2:
“Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b), thì mọi nguyên
hàm của f (x) đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số”.
Các tính chất của nguyên hàm (1.4)
Bảng các nguyên hàm (1.5)
2.1.1.Dạng 1:Chứng minh F(x) là nguyên hàm của f(x):
Phương pháp: Tính đạo hàm của F(x) rồi so sánh với f(x) trên từng khoảng
xác định của f(x).
Ví dụ minh họa:
Bài 1: Kiểm tra F(x) có phải là nguyên hàm của f(x) hay không?
2 2 2 2 4
2 2
2 2 2
(2 )( ) ln( )
8 8
( )
x x a x a aF x x x a
f x x x a
+ += − + +
= +
Giải:
2 2 2 2 4
2 2
4
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 4
2 2 2 2
2 2 2 2 4 4
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
(2 )'( ) [ ln( )
8 8
1 1[(6 ) (2 ) ] (1 )
8 8
(6 )( ) (2 )
8 8
( )(7 )
8
( )[(7 ) ( )] 8 (
8
x x a x a aF x x x a
x a xx a x a x x a
x a x x a x a
x a x a x x a a
x a x a
x a x a x a
x a
x a x a x a x
x a
+ += − + +
= + + + + − ++ + + +
+ + + += −+ +
+ + + −= +
+ + + −= =+
2 2
2 2 2
2 2
) ( )
8
x a x x a f x
x a
+ = + =+
Vậy: F(x) là một nguyên hàm của f(x).
Bài 2:Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của f(x) với:
2 2
ln ; 0( ) 2 4
0 ; 0
x xx vôùimoïi xF x
x
⎧ − >⎪= ⎨⎪ =⎩
ln ; 0
( )
0 ; 0
x x vôùi moïi x
f x
x
>⎧= ⎨ =⎩
Giải:
Ta chứng minh F’(x) = f(x) ,với mọi x>0
Thật vậy 0x∀ > , ta có:
2 2 2 1 2'( ) ( ln )' ln . ln ( )
2 4 2 4
'( ) ( ) , 0 (1)
x x x xF x x x x x x f x
x
F x f x vôùi moïi x
= − = + − = =
⇔ = >
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
41
Chứng minh F’(0+) = f(0)
Ta có:
2 2
0 0
0 0 0 0
( ) (0) 1'(0 ) lim lim ln
0 2 4
1 1 1lim( ln ) lim lim( ln ) lim ( )
2 4 2 2
x x
x x x x
F x f x xF x
x x
xx x x x f x
+ +
+ + + +
+
→ →
→ → → →
⎛ ⎞−= = −⎜ ⎟− ⎝ ⎠
= − = =
0 0 :0 ln ln lnDo x neân vôùi x e tacoù x x x x x e x+→ < < ≤ = < =
0 0 0
:
lim 0 lim ln 0 lim( ln ) 0
: '(0 ) 0 (0) (2)
x x x
Maët khaùc
x x x x x
Vaäy F f
+ + +→ → →
+
= ⇒ = ⇒ =
= =
Kết luận: Từ (1) và (2) suy ra F’(x) = f(x) , với mọi 0x ≥
Bài 3:Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của f(x) với:
( )( ) ln 1
( )
1
F x x x
xf x
x
= − +
= +
Giải:
Tacó:
ln(1 ) ; 0
( ) 0 ; 0
ln(1 ); 0
; 0
1
( ) 0 ; 0
; 0
1
x x vôùimoïi x
F x x
x x vôùi moïi x
x vôùimoïi x
x
f x x
x vôùi moïi x
x
− + >⎧⎪= =⎨⎪− − − <⎩
⎧ >⎪ +⎪= =⎨⎪⎪ <−⎩
10 : '( ) [ ln(1 )]' 1 ( ) (1)
1 1
10 : '( ) [ ln(1 )]' 1 ( ) (2)
1 1
xx tacoù F x x x f x
x x
xx tacoù F x x x f x
x x
∀ > = − + = − = =+ +
∀ < = − − − = − + = =− −
0 0 0
0
( ) (0) ln(1 ) ln(1 )'(0 ) lim lim lim 1 0
0x x x
Taïi x
F x F x x xF
x x x+ + +
+
→ → →
=
− − + +⎛ ⎞= = = − =⎜ ⎟− ⎝ ⎠
Show Desktop.scf
0 0 0
( ) (0) ln(1 ) ln(1 )'(0 ) lim lim lim 1 0
0
: '(0 ) '(0 ) (0) '(0) (0) (3)
(1),(2),(3) '( ) ( )
x x x
F x F x x xF
x x x
Vaäy F F f F f
Töø suy raF x f x vôùimoïi x R
− − −
−
→ → →
+ −
− − − − −⎛ ⎞= = = − − =⎜ ⎟− ⎝ ⎠
= = ⇒ =
= ∈
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
42
Bài tập tương tự:
Chứng minh rằng hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) với:
( )( )
4 5 3
2
2 2 2
2
2
1) ( ) tan 3 5 ; ( ) 5tan 4 tan 3
4 22) ( ) ln ; ( )
3 4 3
1 13) ( ) ln ln 1 ; ( ) ln 1
F x x x f x x x
x xF x f x
x x x
x xF x x x f x x
x x
= + − = + +
⎛ ⎞+ −= =⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠
+ +⎛ ⎞= − + = −⎜ ⎟⎝ ⎠
sin
sin
2
, 0, 0
4) ( ) ; ( ) 1 , 02 1 1, 0
1
( 1) 11 , 0, 05) ( ) ; ( )
11 , 0 , 0
2
x
x
x
x
coxe vôùi moïi xe vôùimoïi x
F x f x
vôùimoïi xx vôùi moïi x
x
x ee xx xF x f xx
x x
⎧ <⎧ <⎪ ⎪= =⎨ ⎨ ≥+ − ≥⎪ ⎪⎩ +⎩
⎧ − +⎧ − ≠⎪≠⎪ ⎪=⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎩ ⎪⎩
2.1.2.Dạng 2:Xác định nguyên hàm với điều kiện ràng buộc:
Phương pháp:
Dùng công thức G(x) = F(x) +C (1) để tìm nguyên hàm của hàm số f(x)
Dùng điều kiện đã cho để tìm hằng số C. Thay C vào (1), ta có nguyên hàm phải
tìm.
Ví dụ minh họa:
Bài 1: Cho hàm số f(x) = xsinx+x2.Tìm nguyên hàm của hàm số g(x) = xcosx
biết rằng nguyên hàm này triệt tiêu khi x π= .
Giải:
: '( ) sin cos 2
: ( ) cos '( ) sin 2
Tacoù f x x x x x
Suyra g x x x f x x x
= + +
= = − −
2: ( ) ( ) cos sin cosDoñoù G x f x x x C x x x C= + − + = + +
( ) 0 1 0 1
: ( ) sin cos 1
Khi x thìG C C
Vaäy G x x x x
π π= = ⇔ − + = ⇔ =
= + +
Bài 2:Chứng minh rằng nguyên hàm của hàm số :
2 1( ) 1 2 3 ... nf x x x nx −= + + + + là
1 1( ) ,
1
nxF x
x
+ −= − biết rằng nguyên hàm này bằng 1 khi
x = 0.
Giải:
2 3
2 3
: ( ) ...
0 (0) 1 1
: ( ) 1 ...
n
n
Tacoù F x x x x x C
Khi x thì F C
Doñoù F x x x x x
= + + + + +
= = ⇔ =
= + + + + +
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN
Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh
GVHD : TS Lê Văn Phúc
43
1 1
( ) 1 1 .
1 1: ( ) 1. ( )
1 1
n n
F x laø toångcuûa n soá haïngcuûamoät caáp soá nhaâncoù soá haïng ñaàu laø vaø coâng boäi laø x
x xVaäy F x ñpcm
x x
+ +
+
− −= =− −
Bài tập tương tự:
Bài 1:Tìm nguyên hàm của hàm số
4 3
2
3 2 5( ) , 0x xf x x
x
− += ≠ , biết rằng nguyên
hàm này bằng 2 khi x = 1.
Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2 cos
2 6
xf x π⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ , biết rằng n...