Download Luận văn Tính ổn định và bền vững của một số tính chất hệ động lực tuyến tính
Mục lục
Danh sách ký hiệu v
Lời mở đầu 1
Phần 1: Bán kính ổn định 9
Chương 1 Hệ liên tục có chậm 10
1.1 ToántửMetzler. . . . . . . . . 11
1.2 Tính ổn định của hệ dương và tựa đa thức đặc trưng . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Bánkínhổnđịnh . . . . . . . . 21
1.4 Tính ổn định không phụ thuộc trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Vídụ. . . . . . . . . . 25
Chương 2 Hệ rời rạc cấp cao 27
2.1 Tính ổn định của hệ dương và đa thức đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Bánkínhổnđịnh . . . . . . . . 31
2.3 Vídụ. . . . . . . . . . 36
Chương 3 Phương trình sai phân 39
3.1 Tính ổn định của phương trình sai phân dương . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Tính ổn định của hệ phương trình sai phân phụ thuộc tham số . . . . . . 45
3.3 Bánkínhổnđịnh . . . . . . . . 47
3.3.1 Hệ sai phân phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.2 Phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 Vídụ. . . . . . . . . . 55
Phần 2: Bán kính điều khiển được 57
Chương 4 Vô hạn chiều 58
4.1 Kiếnthứccơbản . . . . . . . . 59
4.2 Bán kính điều khiển được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.1 Nhiễu trên cảAvàB. . . . . . . 63
4.2.2 Nhiễu trên chỉA. . . . . . . 64
4.2.3 Nhiễu trên chỉB. . . . . . . 65
4.2.4 Bán kính điều khiển được thực và phức . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 Vídụ. . . . . . . . . . 68
Chương 5 Hữu hạn chiều 69
5.1 Kiếnthứccơbản . . . . . . . . 71
5.2 Bán kính điều khiển được có cấu trúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2.1 Nhiễu trên cảAvàB. . . . . . . 74
5.2.2 Nhiễu trên chỉA. . . . . . . 77
5.2.3 Nhiễu trên chỉB. . . . . . . 79
5.3 Tính bán kính điều khiển được có cấu trúc . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Chương 6 Thuật toán tính toán 83
6.1 Mở rộng kết quả của Gu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Thuật toán chia ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2.1 Thực hiện kiểm tra Gu mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.2.2 Tìmtrịriêng . . . . . . . . 90
6.3 Kết quả thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.4 Bán kính ổn định hóa được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Kết luận 97
Danh mục công trình 99
Tài liệu tham khảo 101
Để tải bản DOC Đầy Đủ xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Trong thực tiễn, nhiều bài toán đề cập đến các vấn đề kỹ thuật, vật lý, sinh học, kinh
tế,... thường được mô tả bởi các hệ động lực. Bắt đầu từ những năm cuối của thế kỷ
XIX, tính ổn định của các hệ động lực đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán
học. Nói một cách hình tượng, một hệ động lực được gọi là ổn định tại một trạng thái
cân bằng nào đó nếu các nhiễu nhỏ, sinh ra bởi các điều kiện bên ngoài, tác động lên
cấu trúc của hệ động lực không làm cho hệ động lực thay đổi nhiều so với trạng thái cân
bằng đó. Các kết quả của nhà toán học A. A. Lyapunov [75] có thể được xem như bước
ngoặt cho sự phát triển của lý thuyết ổn định. Và đến ngày nay, tính ổn định đã trở thành
một hướng nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết
hệ động lực nói riêng và lý thuyết hệ thống nói chung.
Vào những năm 1980, các nhà toán học đi tìm kiếm một định lượng nhằm đánh giá
khả năng bảo toàn tính ổn định của hệ thống dưới ảnh hưởng của nhiễu - còn gọi là tính
ổn định bền vững. Điều này xuất phát bởi nhận xét rằng tập các hệ động lực tuyến tính
dừng ổn định là một tập mở, có nghĩa rằng dưới tác động của nhiễu nhỏ thì hệ bị nhiễu
cũng ổn định. Cách tiếp cận đầu tiên của một số nhà toán học như trong tài liệu tham
khảo [37, 124] là dựa vào việc phân tích hệ trên miền tần số. Năm 1986, D. Hinrichsen
và A. J. Pritchard đã đưa ra một hướng tiếp cận khác, đánh giá trực tiếp hệ động lực
trên không gian trạng thái mà không cần thông qua miền tần số, trong các tài liệu
tham khảo [54, 55]. Trong các tài liệu này, các tác giả đã sử dụng khái niệm bán kính ổn
định, tức khoảng cách từ một hệ ổn định đến tập các hệ không ổn định, làm định lượng
nhằm đánh giá khả năng bảo toàn tính ổn định của hệ thống. Hướng nghiên cứu này đã
nhận được rất nhiều sự quan tâm của các nhà toán học, xem [56, 57, 58]. Một nghiên
cứu đầy đủ về bán kính ổn định được đối với đơn nhiễu trên không gian hữu hạn chiều
1
có thể được xem trong bài tổng quan [59].
Trường hợp nhiễu bị giới hạn nhận giá trị thực - gọi là bán kính ổn định thực - dần
nhận được sự quan tâm của các nhà toán học, xem [33, 73, 97]. Đến 1995, kết quả đầy
đủ về bán kính ổn định thực được công bố bởi L. Qiu và các đồng tác giả trong [99]. Sự
phức tạp của công thức bán kính ổn định thực đã dẫn đến nhiều khó khăn trong vấn đề
tính toán bằng máy tính. Một số hướng tiếp cận nhằm giảm độ phức tạp thuật toán chỉ
cho kết quả của các chặn trên, xem [17]. Tuy nhiên, trong trường hợp hệ dương thì kết
quả nhận được là rất đẹp khi bán kính ổn định phức và bán kính ổn định thực trùng nhau
và có thể tính toán được một cách dễ dàng bởi các kết quả của N. K. Sơn và D. Hinrich-
sen trong [61, 62, 104]. Sau đó, bán kính ổn định của hệ dương được nghiên cứu rộng
hơn và sâu hơn bởi các tác giả N. K. Sơn và P. H. A. Ngọc trong [106, 107, 108, 109].
Cần chú ý rằng các kết quả kể trên đều nghiên cứu bán kính ổn định dưới tác động của
đơn nhiễu. Và cũng chính các tác giả N. K. Sơn và P. H. A. Ngọc [87] đã khởi xướng
cho sự phát triển của bán kính ổn định dưới tác động của đa nhiễu. Các mở rộng cho
nhiều loại hệ động lực khác nhau có thể được tìm thấy trong [90, 91, 92] và các trích
dẫn trong bản thân các tài liệu đó.
Bán kính ổn định đối với các hệ động lực trong không gian vô hạn chiều được xem
xét và nghiên cứu gần như song song với các kết quả trên không gian hữu hạn chiều.
Sau kết quả của A. J. Pritchard và S. Townley [96] là rất nhiều kết quả khác, xem
[34, 35, 36, 39, 60, 26, 114] và các trích dẫn trong bản thân các tài liệu đó. Trong đó,
các tác giả A. Fischer, D. Hinrichsen và N. K. Sơn [34, 35] đã nghiên cứu bán kính ổn
định của các hệ dương trên không gian vô hạn chiều thông qua các toán tử Metzler - đối
với hệ liên tục, và toán tử đóng bị chận dương - đối với hệ rời rạc. Tuy nhiên, các kết
quả trên không gian vô hạn chiều chỉ xét cho trường hợp đơn nhiễu. Lúc này, bán kính
ổn định cho trường hợp đa nhiễu trên các không gian vô hạn chiều được xem như là một
bài toán mở - xem [34] - vì các kỹ thuật chứng minh cho đa nhiễu trên các không gian
hữu hạn chiều sử dụng triệt để việc tồn tại của các vectơ riêng. Và đóng góp đầu tiên
của luận án - xem [T5] - là giải quyết bài toán mở đó cho hệ liên tục có chậm sau
u˙(t)= A0u(t)+ A1u(t−h1)+ ...+ ANu(t−hN), t≥ 0,
2
trong đó, các toán tử A i sẽ bị nhiễu dưới dạng
A i ,→ A i+D i∆iE i, i ∈N := {1, ...,N} ,
với D i, E i, i ∈ N , là các toán tử xác định cấu trúc của nhiễu và ∆i, i ∈ N , là các toán
tử chưa biết. Việc giới hạn các toán tử ∆i, i ∈ N , là các toán tử phức, thực hay dương
dẫn đến các định nghĩa tương ứng cho bán kính ổn định phức, thực hay dương. Kết quả
nhận được cho bán kính phức là
1
max
i, j∈N
sup
s∈R
||GPi j(ıs)||
≤ rC≤
1
max
i∈N
sup
s∈R
||GPii(ıs)||
,
trong đó, GPi j(λ) := E i(λI − A0−
N∑
i=1
e−λh i A i)−1D j, i, j ∈ N. Thông qua việc mở rộng
định lý Perron-Frobenius cho đa thức đặc trưng gắn với hệ liên tục có chậm dương, luận
án chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ cho tính ổn định của hệ dương là s(A0+A1+...+AN)<
0, với s(.) là chận trên phổ. Hơn nữa, nếu các toán tử D i và E i, i ∈ N , là dương và
D i =D j (hay E i =E j) với mọi i, j ∈N , thì các bán kính ổn định phức, thực và dương
trùng nhau và được cho bởi công thức đơn giản sau
rC= rR = r+ =
1
max
i∈N
||E i(A0+ A1+ ...+ AN)−1D i||
.
Trong quá trình nghiên cứu tính ổn định của hệ liên tục có chậm, chúng tui nhận ra rằng
sự thay đổi hệ số chậm sẽ làm ảnh hưởng rất lớn đến tính ổn định của hệ. Tuy nhiên
đối với hệ dương, luận án kết luận rằng ngay cả khi có nhiễu nhỏ xuất hiện trong hệ số
chậm, và đa nhiễu xuất hiện trên các toán tử thành phần thì hệ vẫn ổn định thông qua
khái niệm bán kính ổn định không phụ thuộc trễ, xem [T1].
Trong trường hợp hệ rời rạc, kết quả đối với đa nhiễu trên không gian hữu hạn chiều
[87] cũng được luận án mở rộng cho không gian vô hạn chiều, xem [T6, T7]. Cụ thể,
luận án xét đến hệ rời rạc cấp cao
x(t+K +1)= A0x(t+K)+ A1x(t+K −1)...+AKx(t), t ∈N,
trong đó các toán tử A i sẽ bị nhiễu dưới dạng
A i ,→ A i+
N∑
j=1
D i j∆i jE i j, i ∈K := {1, ...,K} ,
3
vớiD i j, E i j, i ∈K , j ∈N là các toán tử xác định cấu trúc của nhiễu và∆i j, i ∈K , j ∈N,
là các toán tử chưa biết. Kết quả nhận được cho bán kính phức là
1
max
|s|=1
{
||G i j,uv(λ)||, i,u ∈K , j,v ∈N
} ≤ rC ≤ 1
max
|s|=1
{
||G i j,i j(λ)||, i ∈K , j ∈N
} ,
trong đó, G i j,uv(λ) := E i j(λI −
K∑
i=0
λ−iA i)−1Duv, i,u ∈ K , j,v ∈ N . Cũng thông qua
việc mở rộng định lý Perron-Frobenius cho đa thức đặc trưng gắn với hệ rời rạc cấp
cao dương, luận án chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ cho tính ổn định của hệ dương là
r(A0+A1+ ...+AK)< 1, với r(.) là bán kính phổ. Hơn nữa, nếu các toán tử D i j và E i j ,
i ∈K , j ∈N , ...
Download miễn phí Luận văn Tính ổn định và bền vững của một số tính chất hệ động lực tuyến tính
Mục lục
Danh sách ký hiệu v
Lời mở đầu 1
Phần 1: Bán kính ổn định 9
Chương 1 Hệ liên tục có chậm 10
1.1 ToántửMetzler. . . . . . . . . 11
1.2 Tính ổn định của hệ dương và tựa đa thức đặc trưng . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Bánkínhổnđịnh . . . . . . . . 21
1.4 Tính ổn định không phụ thuộc trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Vídụ. . . . . . . . . . 25
Chương 2 Hệ rời rạc cấp cao 27
2.1 Tính ổn định của hệ dương và đa thức đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Bánkínhổnđịnh . . . . . . . . 31
2.3 Vídụ. . . . . . . . . . 36
Chương 3 Phương trình sai phân 39
3.1 Tính ổn định của phương trình sai phân dương . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Tính ổn định của hệ phương trình sai phân phụ thuộc tham số . . . . . . 45
3.3 Bánkínhổnđịnh . . . . . . . . 47
3.3.1 Hệ sai phân phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.2 Phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 Vídụ. . . . . . . . . . 55
Phần 2: Bán kính điều khiển được 57
Chương 4 Vô hạn chiều 58
4.1 Kiếnthứccơbản . . . . . . . . 59
4.2 Bán kính điều khiển được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.1 Nhiễu trên cảAvàB. . . . . . . 63
4.2.2 Nhiễu trên chỉA. . . . . . . 64
4.2.3 Nhiễu trên chỉB. . . . . . . 65
4.2.4 Bán kính điều khiển được thực và phức . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 Vídụ. . . . . . . . . . 68
Chương 5 Hữu hạn chiều 69
5.1 Kiếnthứccơbản . . . . . . . . 71
5.2 Bán kính điều khiển được có cấu trúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2.1 Nhiễu trên cảAvàB. . . . . . . 74
5.2.2 Nhiễu trên chỉA. . . . . . . 77
5.2.3 Nhiễu trên chỉB. . . . . . . 79
5.3 Tính bán kính điều khiển được có cấu trúc . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Chương 6 Thuật toán tính toán 83
6.1 Mở rộng kết quả của Gu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Thuật toán chia ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2.1 Thực hiện kiểm tra Gu mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.2.2 Tìmtrịriêng . . . . . . . . 90
6.3 Kết quả thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.4 Bán kính ổn định hóa được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Kết luận 97
Danh mục công trình 99
Tài liệu tham khảo 101
Để tải bản DOC Đầy Đủ xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Tóm tắt nội dung:
Lời mở đầuTrong thực tiễn, nhiều bài toán đề cập đến các vấn đề kỹ thuật, vật lý, sinh học, kinh
tế,... thường được mô tả bởi các hệ động lực. Bắt đầu từ những năm cuối của thế kỷ
XIX, tính ổn định của các hệ động lực đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán
học. Nói một cách hình tượng, một hệ động lực được gọi là ổn định tại một trạng thái
cân bằng nào đó nếu các nhiễu nhỏ, sinh ra bởi các điều kiện bên ngoài, tác động lên
cấu trúc của hệ động lực không làm cho hệ động lực thay đổi nhiều so với trạng thái cân
bằng đó. Các kết quả của nhà toán học A. A. Lyapunov [75] có thể được xem như bước
ngoặt cho sự phát triển của lý thuyết ổn định. Và đến ngày nay, tính ổn định đã trở thành
một hướng nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết
hệ động lực nói riêng và lý thuyết hệ thống nói chung.
Vào những năm 1980, các nhà toán học đi tìm kiếm một định lượng nhằm đánh giá
khả năng bảo toàn tính ổn định của hệ thống dưới ảnh hưởng của nhiễu - còn gọi là tính
ổn định bền vững. Điều này xuất phát bởi nhận xét rằng tập các hệ động lực tuyến tính
dừng ổn định là một tập mở, có nghĩa rằng dưới tác động của nhiễu nhỏ thì hệ bị nhiễu
cũng ổn định. Cách tiếp cận đầu tiên của một số nhà toán học như trong tài liệu tham
khảo [37, 124] là dựa vào việc phân tích hệ trên miền tần số. Năm 1986, D. Hinrichsen
và A. J. Pritchard đã đưa ra một hướng tiếp cận khác, đánh giá trực tiếp hệ động lực
trên không gian trạng thái mà không cần thông qua miền tần số, trong các tài liệu
tham khảo [54, 55]. Trong các tài liệu này, các tác giả đã sử dụng khái niệm bán kính ổn
định, tức khoảng cách từ một hệ ổn định đến tập các hệ không ổn định, làm định lượng
nhằm đánh giá khả năng bảo toàn tính ổn định của hệ thống. Hướng nghiên cứu này đã
nhận được rất nhiều sự quan tâm của các nhà toán học, xem [56, 57, 58]. Một nghiên
cứu đầy đủ về bán kính ổn định được đối với đơn nhiễu trên không gian hữu hạn chiều
1
có thể được xem trong bài tổng quan [59].
Trường hợp nhiễu bị giới hạn nhận giá trị thực - gọi là bán kính ổn định thực - dần
nhận được sự quan tâm của các nhà toán học, xem [33, 73, 97]. Đến 1995, kết quả đầy
đủ về bán kính ổn định thực được công bố bởi L. Qiu và các đồng tác giả trong [99]. Sự
phức tạp của công thức bán kính ổn định thực đã dẫn đến nhiều khó khăn trong vấn đề
tính toán bằng máy tính. Một số hướng tiếp cận nhằm giảm độ phức tạp thuật toán chỉ
cho kết quả của các chặn trên, xem [17]. Tuy nhiên, trong trường hợp hệ dương thì kết
quả nhận được là rất đẹp khi bán kính ổn định phức và bán kính ổn định thực trùng nhau
và có thể tính toán được một cách dễ dàng bởi các kết quả của N. K. Sơn và D. Hinrich-
sen trong [61, 62, 104]. Sau đó, bán kính ổn định của hệ dương được nghiên cứu rộng
hơn và sâu hơn bởi các tác giả N. K. Sơn và P. H. A. Ngọc trong [106, 107, 108, 109].
Cần chú ý rằng các kết quả kể trên đều nghiên cứu bán kính ổn định dưới tác động của
đơn nhiễu. Và cũng chính các tác giả N. K. Sơn và P. H. A. Ngọc [87] đã khởi xướng
cho sự phát triển của bán kính ổn định dưới tác động của đa nhiễu. Các mở rộng cho
nhiều loại hệ động lực khác nhau có thể được tìm thấy trong [90, 91, 92] và các trích
dẫn trong bản thân các tài liệu đó.
Bán kính ổn định đối với các hệ động lực trong không gian vô hạn chiều được xem
xét và nghiên cứu gần như song song với các kết quả trên không gian hữu hạn chiều.
Sau kết quả của A. J. Pritchard và S. Townley [96] là rất nhiều kết quả khác, xem
[34, 35, 36, 39, 60, 26, 114] và các trích dẫn trong bản thân các tài liệu đó. Trong đó,
các tác giả A. Fischer, D. Hinrichsen và N. K. Sơn [34, 35] đã nghiên cứu bán kính ổn
định của các hệ dương trên không gian vô hạn chiều thông qua các toán tử Metzler - đối
với hệ liên tục, và toán tử đóng bị chận dương - đối với hệ rời rạc. Tuy nhiên, các kết
quả trên không gian vô hạn chiều chỉ xét cho trường hợp đơn nhiễu. Lúc này, bán kính
ổn định cho trường hợp đa nhiễu trên các không gian vô hạn chiều được xem như là một
bài toán mở - xem [34] - vì các kỹ thuật chứng minh cho đa nhiễu trên các không gian
hữu hạn chiều sử dụng triệt để việc tồn tại của các vectơ riêng. Và đóng góp đầu tiên
của luận án - xem [T5] - là giải quyết bài toán mở đó cho hệ liên tục có chậm sau
u˙(t)= A0u(t)+ A1u(t−h1)+ ...+ ANu(t−hN), t≥ 0,
2
trong đó, các toán tử A i sẽ bị nhiễu dưới dạng
A i ,→ A i+D i∆iE i, i ∈N := {1, ...,N} ,
với D i, E i, i ∈ N , là các toán tử xác định cấu trúc của nhiễu và ∆i, i ∈ N , là các toán
tử chưa biết. Việc giới hạn các toán tử ∆i, i ∈ N , là các toán tử phức, thực hay dương
dẫn đến các định nghĩa tương ứng cho bán kính ổn định phức, thực hay dương. Kết quả
nhận được cho bán kính phức là
1
max
i, j∈N
sup
s∈R
||GPi j(ıs)||
≤ rC≤
1
max
i∈N
sup
s∈R
||GPii(ıs)||
,
trong đó, GPi j(λ) := E i(λI − A0−
N∑
i=1
e−λh i A i)−1D j, i, j ∈ N. Thông qua việc mở rộng
định lý Perron-Frobenius cho đa thức đặc trưng gắn với hệ liên tục có chậm dương, luận
án chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ cho tính ổn định của hệ dương là s(A0+A1+...+AN)<
0, với s(.) là chận trên phổ. Hơn nữa, nếu các toán tử D i và E i, i ∈ N , là dương và
D i =D j (hay E i =E j) với mọi i, j ∈N , thì các bán kính ổn định phức, thực và dương
trùng nhau và được cho bởi công thức đơn giản sau
rC= rR = r+ =
1
max
i∈N
||E i(A0+ A1+ ...+ AN)−1D i||
.
Trong quá trình nghiên cứu tính ổn định của hệ liên tục có chậm, chúng tui nhận ra rằng
sự thay đổi hệ số chậm sẽ làm ảnh hưởng rất lớn đến tính ổn định của hệ. Tuy nhiên
đối với hệ dương, luận án kết luận rằng ngay cả khi có nhiễu nhỏ xuất hiện trong hệ số
chậm, và đa nhiễu xuất hiện trên các toán tử thành phần thì hệ vẫn ổn định thông qua
khái niệm bán kính ổn định không phụ thuộc trễ, xem [T1].
Trong trường hợp hệ rời rạc, kết quả đối với đa nhiễu trên không gian hữu hạn chiều
[87] cũng được luận án mở rộng cho không gian vô hạn chiều, xem [T6, T7]. Cụ thể,
luận án xét đến hệ rời rạc cấp cao
x(t+K +1)= A0x(t+K)+ A1x(t+K −1)...+AKx(t), t ∈N,
trong đó các toán tử A i sẽ bị nhiễu dưới dạng
A i ,→ A i+
N∑
j=1
D i j∆i jE i j, i ∈K := {1, ...,K} ,
3
vớiD i j, E i j, i ∈K , j ∈N là các toán tử xác định cấu trúc của nhiễu và∆i j, i ∈K , j ∈N,
là các toán tử chưa biết. Kết quả nhận được cho bán kính phức là
1
max
|s|=1
{
||G i j,uv(λ)||, i,u ∈K , j,v ∈N
} ≤ rC ≤ 1
max
|s|=1
{
||G i j,i j(λ)||, i ∈K , j ∈N
} ,
trong đó, G i j,uv(λ) := E i j(λI −
K∑
i=0
λ−iA i)−1Duv, i,u ∈ K , j,v ∈ N . Cũng thông qua
việc mở rộng định lý Perron-Frobenius cho đa thức đặc trưng gắn với hệ rời rạc cấp
cao dương, luận án chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ cho tính ổn định của hệ dương là
r(A0+A1+ ...+AK)< 1, với r(.) là bán kính phổ. Hơn nữa, nếu các toán tử D i j và E i j ,
i ∈K , j ∈N , ...