Download miễn phí Bài giảng Phương pháp nhóm tái chuẩn hóa
Ưu điểm của phương pháp RG:
• đơn giản hóa việc tính toán đối với những hệ có số bậc tự do lớn trong miền kích
thướcξvô cùng lớn (đã trình bày).
• Motivation: kinh nghiệm ứng dụng các phép biến đổi đối xứng trong Vật lý
việc khảo sát các phép biến đổi đối xứng (quay, tịnh tiến, ) rất hữu ích trong
nhiều lĩnh vực Vật lý.
nhiều khái niệm quan trọng (số lượng tử, bậc suy biến, tích phân chuyển
động, ) đều liên quan đến các tính chất đối xứng của hệ.
VD: đối xứng quay bảo tòan môment, các số lượng từl, m.
hy vọng: sự bất biến đối với các phép biến đổi đối xứng của hệ vĩ mô ở gần
điểm tới hạn sẽ giúp thu được các chỉ số tới hạn tổng quát.
phép biến đổi liên quan đến tính đối xứng của hệ ở gần điểm tới hạn:
phép biến đổi nhóm tái chuẩn hóa (Keneth Wilson, 1971-1972).
phép biến đổi nhóm tái chuẩn hóa: tổ hợp của phép biến đổi Kadanoff và
phép biến đổi kích thước (ch2)
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
Lý thuyết các hiện tượng tới hạnChương 3
Phương pháp nhóm tái chuẩn hóa
Renormalization group method
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.1. Đặt vấn đề
3.1.1. Khó khăn của bài toán về các hiện tượng tới hạn
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
1 cm3 sắt từ 1023 nguyên tử 1023 bậc tự do;
Tìm hàm sóng của hệ bằng phương pháp giải phương trình Schrodinger: vô vọng!
Vật lý hiện đại (lý thuyết trường lượng tử tương đối tính, hiệu ứng Kondo, …) và bài
toán về các hiện tượng tới hạn gặp cùng một khó khăn: số bậc tự do quá lớn.
Giải quyết? Giảm số bậc tự do.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.1. Đặt vấn đề
3.1.2. Extensive & Intensive
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
• Trong cùng điều kiện nhiệt độ, áp suất, chất lỏng 1020 nguyên tử và chất lỏng 1023
nguyên tử có cùng giá trị mật độ năng lượng: tính đồng nhất của một số hệ vĩ mô.
cho phép tái lập tính chất toàn hệ đồng nhất nếu biết tính chất một phần nào đó.
• Giảm thể tích và số bậc tự do đến mức nào để bảo đảm phần được xét có thể đại
diện cho toàn hệ?
Giảm đến độ dài tương quan ξ – kích thước cực tiểu của miền mà tính chất của nó
cũng chính là tính chất của toàn hệ vĩ mô.
• Ưu điểm: ở điều kiện bình thường ξ có độ lớn cỡ vài lần khoảng cách giữa các
nguyên tử số bậc tự do không lớn có thể sử dụng các phương pháp gần đúng.
• Nhược điểm: không thể áp dụng cho bài toán về các hiện tượng tới hạn!
Số bậc tự trong miền kích thước ξ vô cùng lớn.
CT T
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.1. Đặt vấn đề
3.1.3. Phương pháp nhóm tái chuẩn hóa (RG)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
• Ý tưởng RG: tương tự lý thuyết thủy động lực:
Phương pháp thủy động lực:
Thay vì xét các bậc tư do vi mô, đưa ra bậc tự do mới là trị trung bình của
các bậc tự do ban đầu (VD: mật độ ρ(x),…);
viết phương trình cho bậc tự do mới;
bỏ qua tất cả thăng giáng vi mô và cho rằng hàm ρ(x) chỉ chứa thăng giáng
vĩ mô
Bậc tự do mới ở các điểm vĩ mô cách nhau đủ xa;
Số bậc tự do mới (bậc tự do thủy động lực học) giảm đáng kể so với
số bậc tự do vi mô ban đầu.
Phương pháp RG: thay thế các bậc tự do ban đầu bởi một số lượng nhỏ hơn
các bậc tự do hiệu dụng. Việc giảm số bậc tự do tiến hành tuần tự, từng bước.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.1. Đặt vấn đề
3.1.3. Phương pháp nhóm tái chuẩn hóa (tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
• Xét mạng tinh thể sắt từ phẳng có 8 x 8 = 64 ô cơ sở
Số bậc tự do ban đầu: 64;
Mỗi ô có kích thước dài là b và có một spin ô (trung bình của spin tất cả các hạt
trong ô);
Khoảng cách giữa hai spin ô lân cận là b (H.1)
• Các bước giảm số bậc tự do:
Bước 1: 4 ô 1 cụm kích thước 2b
1 spin cụm ≡ trung bình 4 spin ô (H.2)
1 bậc tự do mới
16 bậc tự do hiệu dụng (giảm 4 lần)
H.1 H.2
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.1. Đặt vấn đề
3.1.3. Phương pháp nhóm tái chuẩn hóa (tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Bước 2: co cụm kích thước 2b về kích thước b
không làm thay đổi số bậc tự do nhờ bước 1
khoảng cách giữa hai bậc tự do hiệu dụng là 2b (H.3)
Hai bước dãn và co
giảm số bậc tự do 4 lần; tăng khoảng cách giữa các bậc tự do 2 lần
• Thực hiện tuần tự các bước dãn và co đến khi khoảng cách giữa các bậc tự do
hiệu dụng có giá trị khoảng ξ;
• Ở mỗi giai đoạn, lập tương tác hiệu dụng giữa các bậc tự do mới ≡ lập phương
trình chuyển động cho mật độ ρ(x) trong thủy động lực học.
H.3
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.1. Đặt vấn đề
3.1.3. Phương pháp nhóm tái chuẩn hóa (tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Ưu điểm của phương pháp RG:
• đơn giản hóa việc tính toán đối với những hệ có số bậc tự do lớn trong miền kích
thước ξ vô cùng lớn (đã trình bày).
• Motivation: kinh nghiệm ứng dụng các phép biến đổi đối xứng trong Vật lý
việc khảo sát các phép biến đổi đối xứng (quay, tịnh tiến, …) rất hữu ích trong
nhiều lĩnh vực Vật lý.
nhiều khái niệm quan trọng (số lượng tử, bậc suy biến, tích phân chuyển
động, …) đều liên quan đến các tính chất đối xứng của hệ.
VD: đối xứng quay bảo tòan môment, các số lượng từ l, m.
hy vọng: sự bất biến đối với các phép biến đổi đối xứng của hệ vĩ mô ở gần
điểm tới hạn sẽ giúp thu được các chỉ số tới hạn tổng quát.
phép biến đổi liên quan đến tính đối xứng của hệ ở gần điểm tới hạn:
phép biến đổi nhóm tái chuẩn hóa (Keneth Wilson, 1971-1972).
phép biến đổi nhóm tái chuẩn hóa: tổ hợp của phép biến đổi Kadanoff và
phép biến đổi kích thước (ch2).
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.2. Định nghĩa nhóm tái chuẩn hóa
3.2.3. Trong không gian tọa độ
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
• Để dễ hình dung RG, xét hệ sắt từ đựợc mô tả bằng Hamiltonian Ginzburg –
Landau (tuy rằng không bắt buộc):
kích thước dài: L thể tích hệ: Ld
kích thước cụm: b thể tích cụm: bd
spin cụm: σx
• Hamiltonian GL của hệ (khi không có từ trường ngoài: h=0)
2
'2 4 2
0 2 x 4 x x x yy
x
H[ ] / ( )
2
d bT b a a a c
H (1)
• Viết lại Hamiltonian GL trong trường hợp spin chỉ có một thành phần (n=1) và không
xét năng lượng tự do (bỏ qua số hạng chứa a0)
2
'2 4 2
2 x 4 x x x yy
x
( )
2
d bb u u c
H (2)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.2. Định nghĩa nhóm tái chuẩn hóa
3.2.3. Trong không gian tọa độ (tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
• 1 spin cụm 1 biến ngẫu nhiên
1 tập hợp spin cụm 1 cấu hình spin
• Hàm phân bố
(3)
• Mô tả hàm phân bố bằng ba thông số (u2,u4,c) – các thành phần của vector
~P e H
2 4( , , )u u c
(4)
• điểm trong không gian tham số
Mô tả hàm phân bố (3) bằng một điểm của không gian tham số.
Phép biến đổi
được xem là phép chuyển thành trong cùng không gian tham số
~ ~P e P e H H
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.2. Định nghĩa nhóm tái chuẩn hóa
3.2.3. Trong không gian tọa độ (tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Làm thế nào mô tả toán học các ý tưởng VL của RG (việc co dãn các cụm spin)?
• Định nghĩa phép biến đổi Rs
(5)
• Rs chuyển P thành P’ qua hai bước:
Bước 1:
R ( 1)s s
(6)
Phép bến đổi Kadanoff: chia hệ thành các cụm mới có kích thước dài gấp s
lần kích thước ban đầu.
Spin cụm mới:
K [ ] [ ]s H H
x-
x yy
ds (7)
Số bậc tự do giảm sd lần
( )
d d
d d
L L
b sb
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.2. Định nghĩa nhóm tái chuẩn hóa
3.2.3. Trong không gian tọa độ (tt)
Lý thuyết các hiện...