Download miễn phí Ebook Lượng giác - Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, một số phương pháp lượng giác hóa
MỤC LỤC
TẬP 3 : TÌM GIÁ TRỊLỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
CHƯƠNG 8 : TÌM GIÁ TRỊLỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
I. TÌM GIÁ TRỊLỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
HÀM LƯỢNG GIÁC .1
1. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC .1
BÀI TẬP TỰLUYỆN .9
2. PHƯƠNG PHÁP SỬDỤNG BẤT BẲNG THỨC CƠ BẢN .11
BÀI TẬP TỰLUYỆN .19
3. PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM HÀM SỐ .24
BÀI TẬP TỰLUYỆN .35
II. TÌM GIÁ TRỊLỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
HÀM LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SỐ .38
BÀI TẬP TỰLUYỆN .44
III. TÌM GIÁ TRỊLỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
HÀM LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC .46
BÀI TẬP TỰLUYỆN .53
CHƯƠNG 9 : PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ
I. TÓM TẮT MỘT SỐKỸ THUẬT THƯỜNG DÙNG .57
II. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
TRONG CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ .59
BÀITẬP TỰLUYỆN .63
III. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC .63
BÀI TẬP TỰLUYỆN .86
IV. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH .88
BÀI TẬP TỰLUYỆN .95
V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
TRONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH .95
BÀI TẬP TỰLUYỆN .104
VI. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
TRONG TÌM GIÁ TRỊLỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT.105
BÀI TẬP TỰLUYỆN .111
TÀI LIỆU THAM KHẢO .114
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
bảng biến thiên, ta có :( )
( ) (
√ √
)
[
]
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
(ĐH Kinh Tế Quốc Dân 2000)
www.VNMATH.com
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
29
Giải: Ta có :
( )
√ |
| √ |
|
ớ [
] ườ ợ
ế
[
]
( )
√ (
)
ặ
√ (
)
{
[
]
ố ị ế [
]
[ √ ]
Khi đó, ta xét hàm số
( )
( )
√
√
√
( )
√
√
ố ị ế [ √ ]
Suy ra
[
]
( ) ( )
√
[
]
( ) (√ )
√
ế
[
]
( )
√ (
)
√ √
[
]
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
www.VNMATH.com
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
30
ặ
√ (
)
{
[
]
ố ồng ế [
]
[ √ ]
Khi đó, ta xét hàm số
( )
( )
√
√
√
( )
√
ố ồng ế [ √ ]
Suy ra
[
]
( ) (√ )
√
[
]
( ) ( )
√
Như vậy, từ các giá trị, ta được :
( )
( )
Giải: Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có :
| | | √ | √( )( )
√ √
ặ ớ [
] [ ] ố
( )
( )
√ [
]
Bài 8: Cho 3 số thức thỏa mãn
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
www.VNMATH.com
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
31
( )
( )
( )
Dựa vào bảng biến thiên, ta được
( )
| | | ( )| √
Do đó,
( ) √
{
√
{
√
√
√
√
√
( ) √
{
√
√
√
√
√
( ) [
]
Bài 9: Với . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
www.VNMATH.com
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
32
Giải:
[
]
Ta có :
( )
( )
( )
( )
( )
Dựa vào bảng biến thiên, ta được
( )
( )
Giải: Ta có :
( ) ( )
Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta được
( ) √( )( ) √
√
Đặt [ ]. Ta xét hàm số
( )
( )
( )
( )
Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
www.VNMATH.com
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
33
( )
( )
Dựa vào bảng biến thiên, ta được
( )
( )
Do đó,
( )
{
{
{
( ệ )
Vậy hàm số đã cho không tồn tại giá trị lớn nhất.
Giải: Vì [ ] nên
Mà
{
ố ị ế (
)
Do đó,
( ) ( )
( )
Bài 11: Cho ba số thay đổi trên [ ] và thỏa mãn điều kiện
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
(ĐH Xây Dựng 2000)
www.VNMATH.com
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
34
Tuy nhiên, dấu không thể xảy ra nên đây chưa phải là giá trị nhỏ nhất của hàm số.
ể ằ [ ]
ấ ộ ố [
]
ả ử ằ [
]
Ta xét hàm số
( )
[
]
( )
( )
( )
( )
Dựa vào bảng biến thiên, ta được
( )
Ở đây, dấu xảy ra khi và chỉ khi
Do đó,
{
( ) (
)
www.VNMATH.com
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
35
- BÀI TẬP TỰ LUYỆN
8.1.15. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
[
]
√ [
]
| |
| |
( )
( )
8.1.16. Chứng minh rằng tổng các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
(
) {
}
Là một số hữu tỉ.
(Đề nghị Olympic 30-4, 2006)
- GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
8.1.15.
a. Ta biến đổi
( ) ( )
Đặt [ ]. Ta xét hàm số
( ) ( )
Ta được,
( )
( )
b. Để ý rằng
ớ
| | ố
www.VNMATH.com
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
36
( )
Ta được,
( )
( )
c. Ta biến đổi
( )
(
)
ặ
[ ] ố
( )
Ta được,
( )
( )
d. Kết quả
( )
( ) √
e. Ta biến đổi
( )
( )
Đặt
{
| | | |
| |
Ta xét hàm số
( )
( )
Hàm số trên không tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên ( ] [ )
f. Kết quả
( )
( )
g. Ta biến đổi
( )
Đặt [ ]. Ta xét hàm số
( )
www.VNMATH.com
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
37
Ta được
( )
( )
h. Ta biến đổi
( )
Đặt [ ]. Ta xét hàm số
( )
Ta được,
( )
( )
i. Ta biến đổi
( )
Đặt [ ]. Ta xét hàm số
( )
Ta được,
( )
( )
8.1.16. Ta biến đổi
( )
( )
ặ ( )
ố
( )
( )
Ta được,
{
( ) √
( ) √
( ) ( )
www.VNMATH.com
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
38
II. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM LƯỢNG GIÁC
CHỨA THAM SỐ
- Dạng bài tập này đa phần xoay quanh vấn đề biện luận theo tham số tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, là dạng bài tập ít khi xuất hiện trong các bài thi,
nếu có sẽ nằm trong câu nhỏ của bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ứng
với tham số cho trước. Dạng bài này thuộc dạng bài khó, dùng để phân loại thí
sinh trong các cuộc thi.
- Phương pháp giải dạng bài này tương tự như dạng trên mà chúng tui đã đề cập đến,
tuy nhiên cái khó của dạng bài này là việc khoanh vùng cho tham số để biện luận.
Giải: Ta có :
( )
Đặt | | . Ta xét hàm số
( )
( )
( )
Ta có các trường hợp sau :
- . Khi đó hàm số ( ) nghịch biến trên [ ]
( ) ( )
( ) ( )
- [ ]
( )
( )
(
)
( ) ( )
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số theo tham số
www.VNMATH.com
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
39
Dựa vào bảng biến thiên, ta được
( ) (
)
Nếu [ ] thì
( ) ( )
Nếu [ ] thì
( ) ( )
- . Khi đó hàm số ( ) đồng biến trên [ ]
( ) ( )
( ) ( )
Giải: Ta có :
( ) ( )
Đặt [ √ √ ] và . Ta đưa về hàm số
( ) ( ) ( )
Như vậy, ta đưa bài toán về tìm để ( ) với mọi [ √ √ ]. Hay
[ √ √ ]
Ta xét hàm số
( ) [ √ √ ]
( )
( ) [
Bài 2: Cho hàm số ( ) ( )
Tìm để ( ) với mọi .
www.VNMATH.com
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
40
√
√
( )
( )
√
√
Dựa vào bảng biến thiên, ta được
( )
Hay
Giải: Ta có :
( )
Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có :
√ √
Suy ra
√ √
Ta xét các trường hợp sau
- thì
- thì . Khi đó
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
Bài 3: Cho . Biện luận theo giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
www.VNMATH.com
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
41
( )
( )
- thì . Khi đó
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
- thì đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất khi
( )
Ta được,
√
√
Giải: Ta có :
| | √ | (
)| √
Do đó : . Suy ra miền xác định của hàm số .
Mặt khác, ta biến đổi
( ) ( )
( )
Bài 4: Cho hàm số
Xác định để hàm số có giá trị nhỏ nhất là lớn nhất khi [ ]
www.VNMATH.com
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
42
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
( ) ( ) ( )
√
√
Khi đó
{
√
√
Theo yêu cầu bài toán, ta xét hàm số
( ) √ [ ]
( )
√
√
( ) √ {
Như vậy, rõ ràng ( ) hay hàm số đồng biến trên [ ]. Khi đó
( ) ( )
Vậy giá trị lớn nhất của giá trị nhỏ nhất hàm số là .
Giải: Tương tự bài trên, miền xác định của hàm số .
Ta biến đổi
( )
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
( ) ( )
√
√
Khi đó
( )
Bài 5: Cho hàm số
Tìm để giá trị lớn nhất của hàm số là nhỏ nhất.
(ĐHQG Tp.HCM 1997)
www.VNMATH.com
Chương 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
43
{
√
√
Theo yêu cầu bài toán, ta xét
√
√ (
)
√
ư ậ ị ỏ ấ ủ ị ớ ấ ố
√
ỉ
Giải: Ta đặt thì
ớ [
) ì [ )
( )
( )
Ta viết lại thành
( ) (
)
( )
ặ
[ )
(
)
( )
( ] ố
( ) ( ) ( ]
( )
( )
Giá trị nhỏ nhất của ( ) là giá trị nhỏ nhất của ( ). T...