cuingoxaydung07cx6
New Member
Chuyên đề Hình học giải tích - Ôn thi Toán đại học
TÌM PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
¾ Phương pháp:
Thông thường ta có 2 cách sau :
- Cách 1: Tìm một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng.
- Cách 2: Tìm phương trình tổng quát của 2 mặt phẳng phân biệt cùng chứa đường thẳng cần tìm.
- Ghi chú: Trong 2 cách, thực chất của việc tìm phương trình đường thẳng là tìm phương trình 2 mặt
phẳng cùng chứa đường thẳng ấy. Cái khó là phải xác định được 2 mặt phẳng phân biệt nào cùng
chứa đường thẳng cần tìm. Thông thường ta hay gặp 3 giả thuyết sau :
+ Đường thẳng (a) đi qua điểm A và cắt đường thẳng d : Khi đó đường thẳng (a) nằm trong mặt
phẳng đi qua A và chứa d.
+ Đường thẳng (a) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d : Khi đó đường thẳng (a) nằm
trong mặt phẳng đi quaA và vuông góc với d.
+ Đường thẳng (a) song song với d1và cắt d2: Khi đó đường thẳng (a) nằm trong mặt phẳng chứa d2 và song song với d1.
Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho
5.* Phương trình mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại A(a, 0, 0);
B(0, b, 0); C(0, 0, c) với a.b.c ≠ 0 viết là :
x
a
+ y
b
+ z
c
= 1
II. Toán trên mặt phẳng
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ M(x0, y0, z0) đến
2
α : Ax + By + Cz + D = 0 là :
MH = 0 0 0
2 2 2
Ax By Cz D
A B C
+ + +
+ +
2. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng α , β có 2 pháp vectơ lần lượt là nG = (A, B, C),
= (A1, B1, C1) 1n
G
Vị trí giữa hai mặt phẳng , là vị trí giữa 2 pháp vectơ α β nG , 1nG :
// β // α ⇔ nG G
G
1n
α ⊥ β ⇔ n ⊥ 1nG
cắt β khác phương α ⇔ nG 1nG
ĐƯỜNG THẲNG
I. Phương trình đường thẳng
1.* Phương trình tham số của đường thẳng Δ qua
M(x0, y0, z0) có vectơ chỉ phương a
G
= (a1, a2, a ) viết là 3
0 1
0
0 3
2
x x ta
y y ta
z z ta
= +⎧⎪ = +⎨⎪ = +⎩
,t ∈ R (Hệ I).
Nếu a1.a2.a3 ≠ 0 ta có phương trình chính tắc là:
x x
a
y y
a
z z
a
− = − = −0
1
0
2
0
3
2.* Phương trình tổng quát của đường thẳng Δ xác định bởi giao tuyến 2 mặt phẳng α và β
viết là :
1 1 1 1
0
0
Ax By Cz D ( )
A x B y C z D ( )
+ + + = α⎧⎨ + + + =⎩ β (II)
Ghi chú:
Cho phương trình đường thẳng Δ xác định bởi hệ (II). Để viết thành phương trình tham
số của đường thẳng ta có thể đặt z = t và tính x, y theo t từ hệ (II) và nhờ hệ (I) ta có được vectơ
chỉ phương và điểm của (hay x = t, Δ
hay y = t, nên chọn lựa ẩn phụ t để phép tính hai biến còn lại theo t được đơn giản).
3.*Phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) :
A x B y C z D
A x B y C z D
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
+ + + =
+ + + =
⎧⎨⎩
3
Có dạng : m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (*) với m, n không đồng thời
bằng 0. Phương trình (*) gọi là phương trình của chùm mặt phẳng xác định bởi đường thẳng (d).
Chú ý :Nếu m= 0 thì n khác 0, chia hai vế của (*) cho n ta có
(*) thành A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Nếu m khác 0 chia hai vế của (*) cho m ta có:
A1x + B1y + C1z + D1 + h (A2x + B2y + C2z + D2) = 0 với
nh
m
= .
Vậy chùm mặt phẳng chứa đường thẳng (d) có dạng:
A1x + B1y + C1z + D1 + h (A2x + B2y + C2z + D2) = 0.
hay A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
Vấn đề 1
TÌM PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
¾ Phương pháp :
Thông thường ta có 3 cách sau :
- Cách 1 : Tìm một điểm và một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng.
- Cách 2 : Tìm một điểm và một pháp vectơ của mặt phẳng.
- Cách 3 : Dùng phương trình chùm mặt phẳng.
Vấn đề 2 :
TÌM PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
¾ Phương pháp :
Thông thường ta có 2 cách sau :
- Cách 1 : Tìm một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng.
- Cách 2 : Tìm phương trình tổng quát của 2 mặt phẳng phân biệt cùng chứa đường thẳng cần tìm.
- Ghi chú : Trong 2 cách, thực chất của việc tìm phương trình đường thẳng là tìm phương trình 2 mặt
phẳng cùng chứa đường thẳng ấy. Cái khó là phải xác định được 2 mặt phẳng phân biệt nào cùng
chứa đường thẳng cần tìm. Thông thường ta hay gặp 3 giả thuyết sau :
+ Đường thẳng (Δ) đi qua điểm A và cắt đường thẳng d : Khi đó đường thẳng (Δ) nằm trong mặt
phẳng đi qua A và chứa d.
+ Đường thẳng (Δ) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d : Khi đó đường thẳng (Δ) nằm
trong mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d.
+ Đường thẳng (Δ) song song với d1 và cắt d2 : Khi đó đường thẳng (Δ) nằm trong mặt phẳng chứa d2
và song song với d1.
Chẳng hạn :
1. Lập phương trình đường thẳng (Δ) đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng a và cắt đường thẳng
ấy.
ª Cách giải :
- (Δ) đi qua A và vuông góc với d nên (Δ) nằm trong mặt phẳng α đi qua A và vuông góc với d.
- (Δ) đi qua A và cắt d nên (Δ) nằm trong mặt phẳng β đi qua A và chứa d. Khi đó (Δ) chính là giao
tuyến của α và β.
2. Lập phương trình đường thẳng (Δ) đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng d1 và d2.
ª Cách giải :
- (Δ) đi qua A và cắt d1 nên (Δ) nằm trong mặt phẳng α đi qua A và chứa d1.
4
- (Δ) đi qua A và cắt d2 nên (Δ) nằm trong mặt phẳng β đi qua A và chứa d2.
Khi đó (Δ) chính là giao tuyến của α và β.
3. Lập phương trình đường thẳng (Δ) đi qua giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng α, vuông
góc với d và nằm trong α.
ª Cách giải :
- Từ giả thuyết ta đã có (Δ) ⊂ α.
- (Δ) qua A và vuông góc với d nên (Δ) nằm trong mặt phẳng β đi qua A và vuông góc với d.
Khi đó (Δ) chính là giao tuyến của α và β.
4. Lập phương trình đường thẳng (Δ) song song với đường thẳng (D) và cắt 2 đường thẳng d1 và d2.
ª Cách giải :
- (Δ) song song với (D) và cắt d1 nên (Δ) nằm trong mặt phẳng α chứa d1 và song song với (D).
- (Δ) song song với (D) và cắt d2 nên (Δ) nằm trong mặt phẳng β chứa d2 và song song với (D).
Khi đó (Δ) chính là giao tuyến của α và β.
Vấn đề 3
HÌNH CHIẾU
Bài toán 1 : Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trên đường thẳng (d)
¾ Phương pháp :
(d)
A
H
- Cách 1 : (d) cho bởi phương trình tham số :
+ H ∈ (d) suy ra dạng tọa độ của điểm H phụ thuộc vào tham số t.
+ Tìm tham số t nhờ điều kiện ⊥ a AH→ d
→
- Cách 2 : (d) cho bởi phương trình chính tắc, gọi H(x, y, z)
+ AH
→ ⊥ a (*) d
→
+ H ∈ (d) : Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*), từ đó tìm được x, y, z.
- Cách 3 : (d) cho bởi phương trình tổng quát :
+ Tìm phương trình mặt phẳng α đi qua A và vuông góc với đường thẳng (d).
+ Giao điểm của (d) và (α) chính là hình chiếu H của A trên (d).
Bài toán 2 : Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trên mặt phẳng (α)
- Cách 1 : Gọi H(x, y, z)
+ H ∈ α (*)
+ AH
→
cùng phương với : Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*), từ đó tìm được x, y, z. nα
→
- Cách 2 :
+ Tìm phương trình đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (α).
+ Giao điểm của (d) và (α) chính là hình chiếu H của A trên mặt phẳng (α).
5
Bài toán 3 : Tìm hình chiếu vuông góc (Δ) của đường thẳng (d) xuống mặt phẳng α.
- Tìm phương trình mặt phẳng β chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng α.
- Hình chiếu (Δ) của d xuống mặt phẳng α chính là giao tuyến của α và β.
Bài toán 4 : Tìm hình chiếu H của A theo phương đường thẳng (d) lên mặt phẳng (α).
¾ Phương pháp :
- Tìm phương trình đường thẳng (Δ) đi qua A và song song với (d).
- Hình chiếu H chính là giao điểm của (Δ) và (α).
Bài toán 5 : Tìm hình chiếu (Δ) của đường thẳng (d) theo phương của đường thẳng (D) lên mặt
phẳng (α). (Δ)
A
H
(d) ¾ Phương pháp :
(D)
d
(Δ)
- Tìm phương trình mặt phẳng (β) chứa (d) và song song với (D)
- Hình chiếu (Δ) chính là giao tuyến của (α) và (β)
Vấn đề4
ĐỐI XỨNG
Bài toán 1 : Tìm điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d.
¾ Phương pháp :
- Tìm hình chiếu H của A trên d.
- H là trung điểm AA’.
Bài toán 2 : Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng α.
¾ Phương pháp :
- Tìm hình chiếu H của A trên α.
- H là trung điểm AA’.
Bài toán 3 : Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua đường thẳng (Δ)
¾ Phương pháp :
- Trường hợp 1 : (Δ) và (D) cắt nhau :
+ Tìm giao điểm M của (D) và (Δ).
(D)
d
(Δ)M
A
A’
+ Tìm một điểm A trên (D) khác với điểm M.
+ Tìm điểm A’ đối xứng vớ...
Download Chuyên đề Hình học giải tích - Ôn thi Toán đại học miễn phí
TÌM PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
¾ Phương pháp:
Thông thường ta có 2 cách sau :
- Cách 1: Tìm một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng.
- Cách 2: Tìm phương trình tổng quát của 2 mặt phẳng phân biệt cùng chứa đường thẳng cần tìm.
- Ghi chú: Trong 2 cách, thực chất của việc tìm phương trình đường thẳng là tìm phương trình 2 mặt
phẳng cùng chứa đường thẳng ấy. Cái khó là phải xác định được 2 mặt phẳng phân biệt nào cùng
chứa đường thẳng cần tìm. Thông thường ta hay gặp 3 giả thuyết sau :
+ Đường thẳng (a) đi qua điểm A và cắt đường thẳng d : Khi đó đường thẳng (a) nằm trong mặt
phẳng đi qua A và chứa d.
+ Đường thẳng (a) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d : Khi đó đường thẳng (a) nằm
trong mặt phẳng đi quaA và vuông góc với d.
+ Đường thẳng (a) song song với d1và cắt d2: Khi đó đường thẳng (a) nằm trong mặt phẳng chứa d2 và song song với d1.
Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho
Tóm tắt nội dung:
+ − + − =0 .5.* Phương trình mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại A(a, 0, 0);
B(0, b, 0); C(0, 0, c) với a.b.c ≠ 0 viết là :
x
a
+ y
b
+ z
c
= 1
II. Toán trên mặt phẳng
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ M(x0, y0, z0) đến
2
α : Ax + By + Cz + D = 0 là :
MH = 0 0 0
2 2 2
Ax By Cz D
A B C
+ + +
+ +
2. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng α , β có 2 pháp vectơ lần lượt là nG = (A, B, C),
= (A1, B1, C1) 1n
G
Vị trí giữa hai mặt phẳng , là vị trí giữa 2 pháp vectơ α β nG , 1nG :
// β // α ⇔ nG G
G
1n
α ⊥ β ⇔ n ⊥ 1nG
cắt β khác phương α ⇔ nG 1nG
ĐƯỜNG THẲNG
I. Phương trình đường thẳng
1.* Phương trình tham số của đường thẳng Δ qua
M(x0, y0, z0) có vectơ chỉ phương a
G
= (a1, a2, a ) viết là 3
0 1
0
0 3
2
x x ta
y y ta
z z ta
= +⎧⎪ = +⎨⎪ = +⎩
,t ∈ R (Hệ I).
Nếu a1.a2.a3 ≠ 0 ta có phương trình chính tắc là:
x x
a
y y
a
z z
a
− = − = −0
1
0
2
0
3
2.* Phương trình tổng quát của đường thẳng Δ xác định bởi giao tuyến 2 mặt phẳng α và β
viết là :
1 1 1 1
0
0
Ax By Cz D ( )
A x B y C z D ( )
+ + + = α⎧⎨ + + + =⎩ β (II)
Ghi chú:
Cho phương trình đường thẳng Δ xác định bởi hệ (II). Để viết thành phương trình tham
số của đường thẳng ta có thể đặt z = t và tính x, y theo t từ hệ (II) và nhờ hệ (I) ta có được vectơ
chỉ phương và điểm của (hay x = t, Δ
hay y = t, nên chọn lựa ẩn phụ t để phép tính hai biến còn lại theo t được đơn giản).
3.*Phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) :
A x B y C z D
A x B y C z D
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
+ + + =
+ + + =
⎧⎨⎩
3
Có dạng : m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (*) với m, n không đồng thời
bằng 0. Phương trình (*) gọi là phương trình của chùm mặt phẳng xác định bởi đường thẳng (d).
Chú ý :Nếu m= 0 thì n khác 0, chia hai vế của (*) cho n ta có
(*) thành A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Nếu m khác 0 chia hai vế của (*) cho m ta có:
A1x + B1y + C1z + D1 + h (A2x + B2y + C2z + D2) = 0 với
nh
m
= .
Vậy chùm mặt phẳng chứa đường thẳng (d) có dạng:
A1x + B1y + C1z + D1 + h (A2x + B2y + C2z + D2) = 0.
hay A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
Vấn đề 1
TÌM PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
¾ Phương pháp :
Thông thường ta có 3 cách sau :
- Cách 1 : Tìm một điểm và một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng.
- Cách 2 : Tìm một điểm và một pháp vectơ của mặt phẳng.
- Cách 3 : Dùng phương trình chùm mặt phẳng.
Vấn đề 2 :
TÌM PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
¾ Phương pháp :
Thông thường ta có 2 cách sau :
- Cách 1 : Tìm một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng.
- Cách 2 : Tìm phương trình tổng quát của 2 mặt phẳng phân biệt cùng chứa đường thẳng cần tìm.
- Ghi chú : Trong 2 cách, thực chất của việc tìm phương trình đường thẳng là tìm phương trình 2 mặt
phẳng cùng chứa đường thẳng ấy. Cái khó là phải xác định được 2 mặt phẳng phân biệt nào cùng
chứa đường thẳng cần tìm. Thông thường ta hay gặp 3 giả thuyết sau :
+ Đường thẳng (Δ) đi qua điểm A và cắt đường thẳng d : Khi đó đường thẳng (Δ) nằm trong mặt
phẳng đi qua A và chứa d.
+ Đường thẳng (Δ) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d : Khi đó đường thẳng (Δ) nằm
trong mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d.
+ Đường thẳng (Δ) song song với d1 và cắt d2 : Khi đó đường thẳng (Δ) nằm trong mặt phẳng chứa d2
và song song với d1.
Chẳng hạn :
1. Lập phương trình đường thẳng (Δ) đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng a và cắt đường thẳng
ấy.
ª Cách giải :
- (Δ) đi qua A và vuông góc với d nên (Δ) nằm trong mặt phẳng α đi qua A và vuông góc với d.
- (Δ) đi qua A và cắt d nên (Δ) nằm trong mặt phẳng β đi qua A và chứa d. Khi đó (Δ) chính là giao
tuyến của α và β.
2. Lập phương trình đường thẳng (Δ) đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng d1 và d2.
ª Cách giải :
- (Δ) đi qua A và cắt d1 nên (Δ) nằm trong mặt phẳng α đi qua A và chứa d1.
4
- (Δ) đi qua A và cắt d2 nên (Δ) nằm trong mặt phẳng β đi qua A và chứa d2.
Khi đó (Δ) chính là giao tuyến của α và β.
3. Lập phương trình đường thẳng (Δ) đi qua giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng α, vuông
góc với d và nằm trong α.
ª Cách giải :
- Từ giả thuyết ta đã có (Δ) ⊂ α.
- (Δ) qua A và vuông góc với d nên (Δ) nằm trong mặt phẳng β đi qua A và vuông góc với d.
Khi đó (Δ) chính là giao tuyến của α và β.
4. Lập phương trình đường thẳng (Δ) song song với đường thẳng (D) và cắt 2 đường thẳng d1 và d2.
ª Cách giải :
- (Δ) song song với (D) và cắt d1 nên (Δ) nằm trong mặt phẳng α chứa d1 và song song với (D).
- (Δ) song song với (D) và cắt d2 nên (Δ) nằm trong mặt phẳng β chứa d2 và song song với (D).
Khi đó (Δ) chính là giao tuyến của α và β.
Vấn đề 3
HÌNH CHIẾU
Bài toán 1 : Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trên đường thẳng (d)
¾ Phương pháp :
(d)
A
H
- Cách 1 : (d) cho bởi phương trình tham số :
+ H ∈ (d) suy ra dạng tọa độ của điểm H phụ thuộc vào tham số t.
+ Tìm tham số t nhờ điều kiện ⊥ a AH→ d
→
- Cách 2 : (d) cho bởi phương trình chính tắc, gọi H(x, y, z)
+ AH
→ ⊥ a (*) d
→
+ H ∈ (d) : Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*), từ đó tìm được x, y, z.
- Cách 3 : (d) cho bởi phương trình tổng quát :
+ Tìm phương trình mặt phẳng α đi qua A và vuông góc với đường thẳng (d).
+ Giao điểm của (d) và (α) chính là hình chiếu H của A trên (d).
Bài toán 2 : Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A trên mặt phẳng (α)
- Cách 1 : Gọi H(x, y, z)
+ H ∈ α (*)
+ AH
→
cùng phương với : Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*), từ đó tìm được x, y, z. nα
→
- Cách 2 :
+ Tìm phương trình đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (α).
+ Giao điểm của (d) và (α) chính là hình chiếu H của A trên mặt phẳng (α).
5
Bài toán 3 : Tìm hình chiếu vuông góc (Δ) của đường thẳng (d) xuống mặt phẳng α.
- Tìm phương trình mặt phẳng β chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng α.
- Hình chiếu (Δ) của d xuống mặt phẳng α chính là giao tuyến của α và β.
Bài toán 4 : Tìm hình chiếu H của A theo phương đường thẳng (d) lên mặt phẳng (α).
¾ Phương pháp :
- Tìm phương trình đường thẳng (Δ) đi qua A và song song với (d).
- Hình chiếu H chính là giao điểm của (Δ) và (α).
Bài toán 5 : Tìm hình chiếu (Δ) của đường thẳng (d) theo phương của đường thẳng (D) lên mặt
phẳng (α). (Δ)
A
H
(d) ¾ Phương pháp :
(D)
d
(Δ)
- Tìm phương trình mặt phẳng (β) chứa (d) và song song với (D)
- Hình chiếu (Δ) chính là giao tuyến của (α) và (β)
Vấn đề4
ĐỐI XỨNG
Bài toán 1 : Tìm điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d.
¾ Phương pháp :
- Tìm hình chiếu H của A trên d.
- H là trung điểm AA’.
Bài toán 2 : Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng α.
¾ Phương pháp :
- Tìm hình chiếu H của A trên α.
- H là trung điểm AA’.
Bài toán 3 : Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua đường thẳng (Δ)
¾ Phương pháp :
- Trường hợp 1 : (Δ) và (D) cắt nhau :
+ Tìm giao điểm M của (D) và (Δ).
(D)
d
(Δ)M
A
A’
+ Tìm một điểm A trên (D) khác với điểm M.
+ Tìm điểm A’ đối xứng vớ...