Download miễn phí Phương pháp giải các phương trình nghiệm nguyên
Cách giải:
- Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn
- Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn x) theo ẩn kia.
- Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của x
- Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của x bằng một số nguyên , ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn y và
- Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
ấy xy và xy + 1 là hai số nguyên liên tiếp, có tích là một số chính phương nên tồn tại một số bằng 0.Xét xy = 0. Từ (1) có nên x = y = 0
Xét xy + 1 = 0. Ta có xy = -1 nên (x , y) = (1 ; -1) hay (-1 ; 1)
Thửa lại, ba cặp số (0 ; 0), (1 ; -1), (-1 ; 1) đều là nghiệm của phương trình đã cho.
PHƯƠNG PHÁP LÙI VÔ HẠN, NGUYÊN TẮC CỰC HẠN
Ví dụ 22: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
Giải:
Hiển nhiên . Đặt với nguyên. Thay vào (1) rồi chia hai vế cho 2 ta được:
(2)
Do đó . Đặt với nguyên. Thay vào (2) rồi chia hai vế cho 2 ta được:
(3)
Do đó . Đặt với nguyên. Thay vào (3) rồi chia hai vế cho 2 được:
(4)
Như vậy nếu (x , y , z) là nghiệm của (1) thì cũng là nghiệm của (1) trong đó .
Lập luận tương tự như trên, cũng là nghiệm của (1) trong đó .
Cứ tiếp tục như vậy ta đi đến: x, y, z chia hết cho với k là số tự nhiên tùy ý. Điều này chỉa xảy ra khi x = y = z = 0.
Đó là nghiệm nguyên duy nhất của (1)
Ví dụ 23:
Tìm ba số nguyên dương đôi một khác nhau x, y, z thỏa mãn :
Giải
Vì vai trò của x, y, z như nhau nên có thể giả sử x < y < z.
Áp dụng bất đẳng thức :
Với mọi x, y, z ≥ 0 ta suy ra x + y + z ≤ 9.
Dấu bằng không xảy ra vì x, y, z đôi một khác nhau.
Vậy x + y + z ≤ 8. (1)
Mặt khác: x + y + z ≥ 1 + 2 + 3 = 6. (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra
Từ đây kết hợp với phương trình ban đầu ta tìm được x, y, z
Vậy (x, y, z) = (1, 2, 3) và các hoán vị của bộ ba số này
PHƯƠNG PHÁP XÉT CHỮ SỐ TẬN CÙNG
Ví dụ 24: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
(1)
Giải: Cho x lần lượt bằng 1; 2; 3; 4, ta có ngay2 nghiệm nguyên dương (x ; y) củ phương trình là (1 ; 1), (3 ; 3)
Nếu x > 4 thì dễ thấy k! với k > 4 đều có chữ số tận cùng bằng 0
1! + 2! + 3! + 4! + … + x! = 33 + 5! + … + x! có chữ số tận cùng bằng 3.
Mặt khác vế phải là số chính phương nên không thể tận cùng là 3.
Vậy phương trình (1) chỉ có hai nghiệm nguyên dương (x ; y) là (1 ; 1) và (3 ; 3)
Ví dụ 25: Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình:
(1)
Giải:
Cho x các giá trị từ đến 9, dễ dàng xác định được chữa số tận cùng của chì nhận các giá trị 1; 5; 9. Mặt khác ta thấy là lũy thừ bậc lẻ của 3 nên chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 3 hay 7, khác với 1; 5; 9.
Vậy (1) không thể xảy ra. Nói các khác phương trình (1) không có nghiệm nguyên dương.
PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM RIÊNG
Cách giải
Xét phương trình (1)
trong đó ,
Không mất tính tổng quát, giả thiết rằng (a, b, c) = 1. Thật vậy, nếu thì ta chia hai vế của phương trình cho d.
Ta có hai định lý:
Định lý 1: Nếu phương trình (1) có nghiệm nguyên thì (a, b) = 1 (*)
Chứng minh: Giả sử là nghiệm nguyên của (1) thì
Nếu a và b có ước chung là thì , trái với giả thiết (a, b, c) = 1.
Vậy (a, b) = 1
Định lý 2: Nếu là một nghiệm của phương trình (1) thì phương trình (1) có vô số nghiệm nguyên và mọi nghiệm nguyên của nó đều có thể biểu diễn dưới dạng:
trong đó t là một số nguyên tùy ý .
Chứng minh:
Bước 1: Mọi cặp số đều là nghiệm nguyên của (1). Thật vậy là nghiệm của (1) nên
Ta có:
Do đó là nghiệm của (1)
Bước 2: Mọi nghiệm (x, y) của (1) đều có dạng với
Thật vậy, do và (x, y) là nghiệm của (1) nên
Trừ từng vế: (2)
Ta có mà (a, b) = 1 ( theo định lý 1) nên
Vậy tồn tại số nguyên t sao cho:
= bt
Tức là: .
Thay vào (2):
Vậy tồn tại số nguyên t sao cho:
Ví dụ:
Ví dụ 26: Tìm mọi nghiệm nguyên của phương trình:
3x – 2y = 5
Giải:
Cách 1: Ta thấy là một nghiệm riêng.
Theo định lý 2, mọi nghiệm nguyên của phương trình là:
(t là số nguyên tùy ý)
Cách 2: Ta thấy là một nghiệm riêng
Theo định lý 2, mọi nghiệm nguyên của phương trình là:
(t là số nguyên tùy ý)
Chú ý: Qua hai cách giải trên, ta thấy có nhiều công thức biểu thị tập hợp các nghiệm nguyên của cùng một phương trình.
Cách tìm một nghiệm riêng của phương trình bậc nhất hai ẩn:
Để tìm một nghiệm nguyên riêng của phương trình , ta có thể dùng phương pháp thử chọn: lần lượt cho x bằng số có giá giá trị tuyệt đối nhỏ rồi tìm giá trị tương ứng của y.
PHƯƠNG PHÁP HẠ BẬC
Ví dụ 27:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
x3 + 2y3 – 4z3 = 0 (1)
Giải
(1) x3 = 4z3 – 2y3 (2)
Rõ ràng vế phải của (2) chia hết cho 2 nên x3 2 do đó x 2. Đặt x = 2x1 (x1). Thay vào (2) ta có :
(2) 8x13 = 4x3 – 2y3 y3 = 2z3 – 4x13 (3)
Lập luận tương tự ta có y 2, đặt y = 2y1 (y1). Biến đổi tương tự, ta được:
z3 = 4y13 + 2x13 (4)
Lập luận tương tự ta có z 2, đặt z = 2z1 (z1). Biến đổi tương tự, ta lại có:
(4) 8z13 = 4y13 + 2x13 x13 + 2y13 – 4z13 = 0 (5)
Rõ ràng nếu bộ số (x0; y0; z0) là nghiệm của (1) thì bộ số cũng là nghiệm của (1), hơn nữa x0, y0, z0 là số chẵn và cũng là số chẵn. Quá trình này có thể tiếp tục mãi và các số là số chẵn với mọi n là số nguyên dương.
Vậy x = y = z = 0
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Ví dụ 1: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
11x + 18y = 120
Giải:
Ta thấy nên . Đặt x = 6k (k nguyên). Thay vào (1) và rút gọn ta được:
11k + 3y = 20
Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (là y) theo k ta được:
Tách riêng giá trị nguyên của biểu thức này:
Lại đặt = t với t nguyên suy ra k = 3t + 1. Do đó:
Thay các biểu thức của x và y vào (1), phương trình được nghiệm đúng.
Vậy các nghiệm nguyên của (10 được biểu thị bởi công thức:
với t là số nguyên tùy ý
Cách giải:
Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn
Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn x) theo ẩn kia.
Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của x
Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của x bằng một số nguyên , ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn y và
Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
Ví dụ 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
5x – 3y = 2xy – 11
Giải: Biểu thị y theo x:
(2x + 3)y = 5x + 11
Dễ thấy 2x + 3 0 ( vì x nguyên ) do đó:
Để phải có
Ta có:
2x + 3
1
-1
7
-7
x
-1
-2
2
-5
y
6
-1
3
2
Thử lại các cặp giá trị trên của (x , y) đều thỏa mãn phương trình đã cho.
Ví dụ 3: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
Giải:
Cách 1: Đưa về phương trình ước số:
Ta có các nhận xét:
Vì (1) chùa y có số mũ chẵn nên có thể giả thiết rằng . Thế thì
nên và cùng tính chẵn lẻ. Tích của chúng bằng 12 nên chúng cùng chẵn.
Với các nhận xét trên ta có hai trường hợp:
x – 1 + y
6
-2
x – 1 - y
2
-6
Do đó:
x - 1
4
-4
y
2
2
x
5
-3
Đáp số: (5 ; 2), (5 ; -2), (-3 ; 2), (-3 ; -2)
Cách 2:
Viết thành phương trình bậc hai đối với x:
Điều kiện cần để (2) có nghiệm nguyên:
là số chính phương
Giả sử thì k + y k – y và k + y 0
(k + y) – (k – y) = 2y nên k + y và k – y cùng tính chẵn lẻ và phải cùng chẵn.
Từ các nhận xét trên ta có:
Do đó: y = 2
Thay vào (2):
Ta có bốn nghiệm: (5 ; 2), (5 ; -2), (-3 ; -2), (-3 ; 2)
Ví dụ 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
(1)
Giải:
Viết thành phương trình bậc hai đối với x:
(2)
Điều kiện cần và đủ để (2) có nghiệm nguyên là là số chính phương
(3)
Giải (3) với nghiệm nguyên ta được
Với y = 5 thay vào (2) được . Ta có:
Với y = -3 thay vào (2) được . Ta có
Đáp số: (-8 ; 5), (-6 ; 5), (6 ; -3), (4 ; -3)
P...