hoahanhdao94
New Member
Download miễn phí Khóa luận Tăng cường hoạt động nhận thức của học sinh thông qua dạy học chương phương pháp tọa độ trong mặt phẳng hình học 10
Nội dung .Trang
LỜI CẢM ƠN .1
CÁC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN.2
PHẦN MỞ ĐẦU.3
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:.3
II. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: .4
III.KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU:.4
1.Khách Thể Nghiên Cứu: .4
2.Đối Tượng Nghiên Cứu: .4
3.Phạm Vi Nghiên Cứu:.4
IV.GIẢ THUYẾT KHOA HỌC: .4
V.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:.5
VI.LỢI ÍCH CỦA LUẬN VĂN:.5
VII.CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN:.5
PHẦN NỘI DUNG .6
CHƯƠNG I: SỰ PHÁT TRIỂN TRÍ TUỆ CỦA HS THPT SƠ LƯỢC VỀ QUÁ
TRÌNH DẠY HỌC PHÁT TRIỂN TƯ DUY VÀ RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG SÁNG
TẠO CHO HS.6
I.VÀI NÉT VỀ SỰ PHÁT TRIỂN TRÍ TUỆ CỦA HS THPT:.6
1.Đặc điểm hoạt động học tập:.6
2.Đặc điểm của sự phát triển trí tuệ: .6
3.Dạy học và sự phát triển trí tuệ: .7
3.1. Khái niệm về sự phát triển trí tuệ:.7
3.2.Vài nét về chỉ số của sự phát triển trí tuệ:.7
3.3.Quan hệ giữa dạy học và phát triển trí tuệ: .7
Để tải tài liệu này, vui lòng Trả lời bài viết, Mods sẽ gửi Link download cho bạn ngay qua hòm tin nhắn.
Ketnooi -
You must be registered for see links
Ai cần tài liệu gì mà không tìm thấy ở Ketnooi, đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
ơng trình:
1∆ : 0111 =++ cybxa
2∆ : 0222 =++ cybxa
Khi đó hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng đó có phương trình
0
2
2
2
2
222
2
1
2
1
111 =+
++−+
++
ba
cybxa
ba
cybxa
và 0
2
2
2
2
222
2
1
2
1
111 =+
++++
++
ba
cybxa
ba
cybxa
2. Góc giữa hai đường thẳng:
Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành 4 góc. Số đo nhỏ nhất
của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b. Hay đơn gảin
hơn là góc giữa a và b.
Kí hiệu: (a, b)
Khi a // b hay a ≡b, ta qui ước góc giữa chúng bằng 0.
3. Cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho 2 đường thẳng lần lượt có phương trình:
1∆ : 0111 =++ cybxa
2∆ : 0222 =++ cybxa
Khi đó cosin của góc tạo bởi 21,∆∆ được tính theo công thức:
Cos ( 21,∆∆ ) = ),cos(
.
212
2
2
2
2
1
2
1
2121 nn
baba
bbaa rr=++
+
Với 21,nn
rr là hai vectơ pháp tuyến tương ứng của 21,∆∆ .
B - HỆ THỐNG BÀI TẬP
Bài 1: Lập phương tình tổng quát của đường thẳng (d) trong mỗi trường hợp sau:
Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc
SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 25
a. (d) đi qua điểm M (2; 1) và có vectơ chỉ phương ar = (7; 3)
b. (d) đi qua điểm N (-5; -8) và có hệ số góc k = -3
Hướng dẫn và giải
a/. VTCP của đường thẳng (d) là da
r = (7; 3) Suy ra VTPT của (d) là: dn
r = (3; -7)
Vậy phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M (2; 1) và nhận dn
r = (3; -7) làm vectơ
pháp tuyến là: 3(x – 2) – 7(y – 1) = 0
⇔ 3x – 7y + 1 = 0
b/. Phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k là: y = kx + m
Ta có: k = – 3 => (d): y = -3x + m
Do N ∈ (d) => -8 = -3(-5) + m
Từ đó suy ra: m = -23
Vậy phương tình tổng quát của (d) là: y = -3x – 23
Hay 3x + y + 23 = 0
Bài 2: Cho điểm M ( 1; 2). Lập phương trình của đường thẳng (∆ ) đi qua điểm M và
chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn có độ dài bằng nhau.
Hướng dẫn giải
Gọi (∆ ) là đường thẳng qua M (1; 2) và chắn trên hai trục tọa độ những đoạn bằng
nhau.
Phương trình đường thẳng (∆ ) theo đoạn chắn có dạng: 1=+
b
y
a
x
Với ⎢⎣
⎡
−=
=⇒=
ba
ba
ba
-
-
-
O
1 3-1
1
2
3
y
x
M (1 ; 2)
2x – y = 0
x – y + 1 = 0
x + y – 3 = 0
Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc
SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 26
a = b => x +y = a thế tọa độ điểm M (1; 2) vào phương trình ta được
a = 1 + 2 = 3
Vậy ( 1∆ ): x + y – 3 = 0
a = - b => x – y = a thế tọa độ điểm M (1; 2) vào phương trình ta được
a = 1 -2 = - 1
Vậy ( 2∆ ): x – y + 1 = 0
Trường hợp đặc biệt khi 0== ba Khi đó (∆ ) đi qua O (0; 0) và M (1; 2)
Ta có PTTS của ( 3∆ ): ⇔−
−=−
−
02
0
01
0 yx 2x – y = 0
Vậy có 3 đường thẳng (∆ ) đi qua M (1; 2) và chắn trên 2 trục tọa độ những đoạn bằng
nhau là:
( 1∆ ): x + y – 3 = 0
( 2∆ ): x – y + 1 = 0
( 3∆ ): 2x – y = 0
Bài 3: Cho ∆ABC có phương trình các đường thẳng AB, BC, CA là:
AB: 2x – 3y – 1= 0
BC: x + 3y + 7 = 0
CA: 5x – 2y + 1 = 0
Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ đỉnh B.
Hướng dẫn giải
- Đường cao BH AC nên nhận AC hay vectơ chỉ phương của AC làm VTPT.
- Đường cao BH qua điểm B là giao điểm của AB và BC.
Giải
Cách 1:
Do BH là đường cao của ∆ABC nên BH ⊥AC.
Vì BH ⊥AC nên đường cao BH nhận AC làm vectơ pháp tuyến.
H
A
B C
Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc
SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 27
Vì AB ∩AC = {A} nên tọa độ của điểm A thỏa mãn hệ phương trình:
)
11
7;
11
5(
11
7
11
5
0125
0132 −−⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
−=
⇒⎩⎨
⎧
=+−
=−−
A
y
x
yx
yx
Vì BC ∩ AC = {C} nên tọa độ của điểm C thỏa mãn hệ phương trình:
)2;1(
2
1
0125
073 −−⇒⎩⎨
⎧
−=
−=⇒⎩⎨
⎧
=+−
=++
C
y
x
yx
yx
Vậy AC = ( )
11
15;
11
6 −−
Tương tự BC ∩AB = {B} suy ra B (-2; - )
3
5
Vậy phương trình đường cao BH đi qua điểm B (-2; - )
3
5 và nhận
AC = ( )
11
15;
11
6 −− làm vectơ pháp tuyến là:
–
11
6 (x + 2) –
11
15 (y +
3
5 ) = 0
⇔ – 6x – 12 – 15y – 25 = 0
⇔ 6x + 15y + 37 = 0
Cách 2:
Do BH là đường cao của ∆ABC nên BH ⊥AC.
Vậy đường cao BH nhận vectơ chỉ phương của đường thẳng AC làm VTPT.
VTPT của đường thẳng AC là: )2;5( −=ACnr
Suy ra VTCP của đường thẳng AC là: )5;2(=ACur
Do B là giao điểm của hai đường thẳng AB và BC nên tọa độ giao điểm của B là
nghiệm của hệ phương trình:
)
3
5;2(
3
5
2
073
0132 −−⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−=
⇒⎩⎨
⎧
=++
=−−
B
y
x
yx
yx
Vậy phương trình đường cao BH qua điểm B (-2; -
3
5 ) và nhận )5;2(=ACur làm VTPT
là:
2(x + 2) + 5(y +
3
5 ) = 0
⇔ 6x + 15y + 37 = 0
Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc
SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 28
Bài 4: Cho ∆ABC có phương trình 3 cạnh
AB: 2x + y + 4 = 0
AC: 2x – y – 4 = 0
BC: x + 2y – 7 = 0
Gọi H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Ba
điểm H, G, O có thẳng hàng không ? Tìm hệ thức liên hệ giữa GH và GO.
Hướng dẫn giải:
- Vẽ hình minh họa bài toán:
- đoán 3 điểm O, H, G thẳng hàng
Và GH = 2 GO.
- Như vậy cần xác định tọa độ của O, G, H
Và chứng minh: GH = 2 OG
Giải:
Dễ dàng xác định tọa độ 3 điểm A, B, C là: A (0; - 4); B (-5; 6); C (3; 2)
Gọi H (x, y) là trực tâm của ∆ABC
Ta có: =AH (x; y + 4), )6;3(=AC
=BH (x + 5; y – 6), )4;8( −=BC
Vì H là trực tâm nên:
⎩⎨
⎧
=
=⇔⎩⎨
⎧
=−+
=−−⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
2
3
02163
01648
0.
0.
y
x
yx
yx
ACBH
BCAH
=> H (3; 2)
Trọng tâm G = ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=++−+−
3
4;
3
2
3
264;
3
350
Gọi O (x0, y0) là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, khi đó:
( )
)1;
2
5(
1
2
5
3126
452010
)2()3()4()0(
)6()5()4(0
0
0
00
00
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
22
22
−⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−=⇔
⎩⎨
⎧
−=+
=+−⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+−=++−
−++=++−⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ =
=
O
y
x
yx
yx
yxyx
yxyx
OCOA
OBOA
G
H
B
A
O
C
Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc
SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 29
=> GH = 2 OG
Suy ra 3 điểm H, O, G thẳng hàng và GH = 2GO.
Bài 5: Cho 2 đường thẳng
1∆ : x + 2y – 3 = 0
2∆ : 3x – y + 2 = 0
Viết phương trình đường thẳng (∆ ) đi qua điểm P (3; 1) và cắt 1∆ , 2∆ lần lượt ở A, B
sao cho (∆ ) tạo với 1∆ và 2∆ một tam giác cân có cạnh đáy là AB.
Hướng dẫn giải
- Gọi O là giao điểm của 1∆ và 2∆
- ∆ OAB cân tại O nên (∆ ) sẽ vuông góc với các đường phân giác của góc AOB
P
2
1
A
B
O
Giải
Gọi O là giao điểm của 1∆ và 2∆
Phương trình các đường phân giác góc O là:
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+−−=−+
+−=−+
10
23
5
32
10
23
5
32
yxyx
yxyx
( ) ( )( ) ( )⎢⎢⎣
⎡
=+−−++
=−−++−⇔
⎢⎢⎣
⎡
+−−=−+
+−=−+⇔
022312232
022312232
)23()32(2
)23()32(2
yx
yx
yxyx
yxyx
Do đường thẳng (∆) đi qua điểm P (3; 1) và vuông góc với các đường phân giác nói trên
nên có phương trình là:
⎢⎢⎣
⎡
=+−+−−
=+−−++
0625)32()122(
0)625()23()122(
yx
yx
Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc
SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 30
Cách khác
Phương trình của (∆ ) có dạng:a(x – 3) + b(y – 1) = 0 (a2 + b2 ≠ 0)
hay ax + by – (3a + b) = 0
( 1∆ ): x + 2y – 3 = 0
( 2∆ ): 3x – y + 2 = 0
VTPT của ∆ , 1∆ , 2∆ lần lượt là: nr = (a; b), 1nr = (1; 2), 2nr = (3; -1)
Tam giác ABC là tam giác cân có cạnh đáy AB, nên:
BA ˆˆ = hay (∆ , 1∆ ) = (∆ , 2∆ ) (góc nhọn)
=> Cos (∆ , 1∆ ) = Cos (∆ , 2∆ )
10
3
5
2
.
.
.
.
2
2
1
1 baba
nn
nn
nn
nn −=+⇔=⇔ rr
rr
rr
rr
⎢⎢⎣
⎡
−−=+
−=+⇔
−=+⇔
)3()2(2
3)2(2
3)2(2
baba
baba
baba
⎢⎢⎣
⎡
−=+
+=−⇔
ba
ba
)221()23(
)122()23(
Với ba )122()23( +=− , chọn b = )23( −
Ta có: 122 +=a
Vậy phương trình của ∆ là: 0)625()23()122( =+−−++ yx
Với ba )221()23( −=+ , chọn b = )23( + ,
Ta có: 221−=a
Vậy phương trình của (∆ ) là: 0625)32()122( =+−+−− yx
Bài 6:. Tìm điểm M trên đường thẳng (∆): x – y + 2=0 cách đều hai điểm E (0; 4) và
F (4; -9)
Hướng dẫn giải
M
I E F
d
∆
Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc
SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 31
- Kiểm tra được E (0; 4) và F (4; -9) không thuộc (∆)
- M cách đều 2 điểm E và F M nằm trên đường trung trực (d) của EF.
Vậy {M} = (∆) ∩ (d)
Hoặc:
M ∈ (∆) => tọa độ M thỏa mãn phương trình (∆)
ME = MF =>M?
Giải
Cách 1: Kiểm tra được E (0; 4) và F (4; -9) không thuộc (∆)
Ta có: EF = (4; -13)
Gọi I là trung điểm của EF => I = (2; 5
2
− )
Gọi (d) là đường trung trực của đoạn thẳng EF
Suy ra (d) đi qua điểm I và nhận EF làm VTPT.
Vậy phương trình đường thẳng (d) là: 4(x – 2) – 13(y 5
2
+ ) = 0
4x – 13y –
2
81 = 0
8x – 26y – 81 = 0
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
−=
⇔
⎩⎨
⎧
=−−
=+−
18
97;
18
133
18
97
18
133
081268
02
M
y
x
yx
yx
Cách 2: Phương trình tham số của đường thẳng (∆ ) là: (∆ ):⎩⎨
⎧
+−=
=
tx
ty
2
M ∈ (∆ ) => M(-2 + t; t), t∈R
Theo giả thiết: ME = MF
⇔ ME2 = MF2
⇔ ( –2 + t)2 + (4 – t)2 = (4 + 2 – t)2 + (– 9 – t)2
⇔ 4 – 4t + t2 + 16 – 8t + t2 = 36 – 12t + t2 + 81 + 18t + t2
⇔ 18t + 97 = 0
Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc
SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 32
⇔ t =
18
97−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−⇒
18
97;
18
133M
Bài 7: Cho A (...
1∆ : 0111 =++ cybxa
2∆ : 0222 =++ cybxa
Khi đó hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng đó có phương trình
0
2
2
2
2
222
2
1
2
1
111 =+
++−+
++
ba
cybxa
ba
cybxa
và 0
2
2
2
2
222
2
1
2
1
111 =+
++++
++
ba
cybxa
ba
cybxa
2. Góc giữa hai đường thẳng:
Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành 4 góc. Số đo nhỏ nhất
của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b. Hay đơn gảin
hơn là góc giữa a và b.
Kí hiệu: (a, b)
Khi a // b hay a ≡b, ta qui ước góc giữa chúng bằng 0.
3. Cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho 2 đường thẳng lần lượt có phương trình:
1∆ : 0111 =++ cybxa
2∆ : 0222 =++ cybxa
Khi đó cosin của góc tạo bởi 21,∆∆ được tính theo công thức:
Cos ( 21,∆∆ ) = ),cos(
.
212
2
2
2
2
1
2
1
2121 nn
baba
bbaa rr=++
+
Với 21,nn
rr là hai vectơ pháp tuyến tương ứng của 21,∆∆ .
B - HỆ THỐNG BÀI TẬP
Bài 1: Lập phương tình tổng quát của đường thẳng (d) trong mỗi trường hợp sau:
Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc
SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 25
a. (d) đi qua điểm M (2; 1) và có vectơ chỉ phương ar = (7; 3)
b. (d) đi qua điểm N (-5; -8) và có hệ số góc k = -3
Hướng dẫn và giải
a/. VTCP của đường thẳng (d) là da
r = (7; 3) Suy ra VTPT của (d) là: dn
r = (3; -7)
Vậy phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M (2; 1) và nhận dn
r = (3; -7) làm vectơ
pháp tuyến là: 3(x – 2) – 7(y – 1) = 0
⇔ 3x – 7y + 1 = 0
b/. Phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k là: y = kx + m
Ta có: k = – 3 => (d): y = -3x + m
Do N ∈ (d) => -8 = -3(-5) + m
Từ đó suy ra: m = -23
Vậy phương tình tổng quát của (d) là: y = -3x – 23
Hay 3x + y + 23 = 0
Bài 2: Cho điểm M ( 1; 2). Lập phương trình của đường thẳng (∆ ) đi qua điểm M và
chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn có độ dài bằng nhau.
Hướng dẫn giải
Gọi (∆ ) là đường thẳng qua M (1; 2) và chắn trên hai trục tọa độ những đoạn bằng
nhau.
Phương trình đường thẳng (∆ ) theo đoạn chắn có dạng: 1=+
b
y
a
x
Với ⎢⎣
⎡
−=
=⇒=
ba
ba
ba
-
-
-
O
1 3-1
1
2
3
y
x
M (1 ; 2)
2x – y = 0
x – y + 1 = 0
x + y – 3 = 0
Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc
SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 26
a = b => x +y = a thế tọa độ điểm M (1; 2) vào phương trình ta được
a = 1 + 2 = 3
Vậy ( 1∆ ): x + y – 3 = 0
a = - b => x – y = a thế tọa độ điểm M (1; 2) vào phương trình ta được
a = 1 -2 = - 1
Vậy ( 2∆ ): x – y + 1 = 0
Trường hợp đặc biệt khi 0== ba Khi đó (∆ ) đi qua O (0; 0) và M (1; 2)
Ta có PTTS của ( 3∆ ): ⇔−
−=−
−
02
0
01
0 yx 2x – y = 0
Vậy có 3 đường thẳng (∆ ) đi qua M (1; 2) và chắn trên 2 trục tọa độ những đoạn bằng
nhau là:
( 1∆ ): x + y – 3 = 0
( 2∆ ): x – y + 1 = 0
( 3∆ ): 2x – y = 0
Bài 3: Cho ∆ABC có phương trình các đường thẳng AB, BC, CA là:
AB: 2x – 3y – 1= 0
BC: x + 3y + 7 = 0
CA: 5x – 2y + 1 = 0
Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ đỉnh B.
Hướng dẫn giải
- Đường cao BH AC nên nhận AC hay vectơ chỉ phương của AC làm VTPT.
- Đường cao BH qua điểm B là giao điểm của AB và BC.
Giải
Cách 1:
Do BH là đường cao của ∆ABC nên BH ⊥AC.
Vì BH ⊥AC nên đường cao BH nhận AC làm vectơ pháp tuyến.
H
A
B C
Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc
SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 27
Vì AB ∩AC = {A} nên tọa độ của điểm A thỏa mãn hệ phương trình:
)
11
7;
11
5(
11
7
11
5
0125
0132 −−⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
−=
⇒⎩⎨
⎧
=+−
=−−
A
y
x
yx
yx
Vì BC ∩ AC = {C} nên tọa độ của điểm C thỏa mãn hệ phương trình:
)2;1(
2
1
0125
073 −−⇒⎩⎨
⎧
−=
−=⇒⎩⎨
⎧
=+−
=++
C
y
x
yx
yx
Vậy AC = ( )
11
15;
11
6 −−
Tương tự BC ∩AB = {B} suy ra B (-2; - )
3
5
Vậy phương trình đường cao BH đi qua điểm B (-2; - )
3
5 và nhận
AC = ( )
11
15;
11
6 −− làm vectơ pháp tuyến là:
–
11
6 (x + 2) –
11
15 (y +
3
5 ) = 0
⇔ – 6x – 12 – 15y – 25 = 0
⇔ 6x + 15y + 37 = 0
Cách 2:
Do BH là đường cao của ∆ABC nên BH ⊥AC.
Vậy đường cao BH nhận vectơ chỉ phương của đường thẳng AC làm VTPT.
VTPT của đường thẳng AC là: )2;5( −=ACnr
Suy ra VTCP của đường thẳng AC là: )5;2(=ACur
Do B là giao điểm của hai đường thẳng AB và BC nên tọa độ giao điểm của B là
nghiệm của hệ phương trình:
)
3
5;2(
3
5
2
073
0132 −−⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−=
⇒⎩⎨
⎧
=++
=−−
B
y
x
yx
yx
Vậy phương trình đường cao BH qua điểm B (-2; -
3
5 ) và nhận )5;2(=ACur làm VTPT
là:
2(x + 2) + 5(y +
3
5 ) = 0
⇔ 6x + 15y + 37 = 0
Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc
SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 28
Bài 4: Cho ∆ABC có phương trình 3 cạnh
AB: 2x + y + 4 = 0
AC: 2x – y – 4 = 0
BC: x + 2y – 7 = 0
Gọi H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Ba
điểm H, G, O có thẳng hàng không ? Tìm hệ thức liên hệ giữa GH và GO.
Hướng dẫn giải:
- Vẽ hình minh họa bài toán:
- đoán 3 điểm O, H, G thẳng hàng
Và GH = 2 GO.
- Như vậy cần xác định tọa độ của O, G, H
Và chứng minh: GH = 2 OG
Giải:
Dễ dàng xác định tọa độ 3 điểm A, B, C là: A (0; - 4); B (-5; 6); C (3; 2)
Gọi H (x, y) là trực tâm của ∆ABC
Ta có: =AH (x; y + 4), )6;3(=AC
=BH (x + 5; y – 6), )4;8( −=BC
Vì H là trực tâm nên:
⎩⎨
⎧
=
=⇔⎩⎨
⎧
=−+
=−−⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
2
3
02163
01648
0.
0.
y
x
yx
yx
ACBH
BCAH
=> H (3; 2)
Trọng tâm G = ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=++−+−
3
4;
3
2
3
264;
3
350
Gọi O (x0, y0) là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, khi đó:
( )
)1;
2
5(
1
2
5
3126
452010
)2()3()4()0(
)6()5()4(0
0
0
00
00
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
22
22
−⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−=⇔
⎩⎨
⎧
−=+
=+−⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+−=++−
−++=++−⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ =
=
O
y
x
yx
yx
yxyx
yxyx
OCOA
OBOA
G
H
B
A
O
C
Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc
SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 29
=> GH = 2 OG
Suy ra 3 điểm H, O, G thẳng hàng và GH = 2GO.
Bài 5: Cho 2 đường thẳng
1∆ : x + 2y – 3 = 0
2∆ : 3x – y + 2 = 0
Viết phương trình đường thẳng (∆ ) đi qua điểm P (3; 1) và cắt 1∆ , 2∆ lần lượt ở A, B
sao cho (∆ ) tạo với 1∆ và 2∆ một tam giác cân có cạnh đáy là AB.
Hướng dẫn giải
- Gọi O là giao điểm của 1∆ và 2∆
- ∆ OAB cân tại O nên (∆ ) sẽ vuông góc với các đường phân giác của góc AOB
P
2
1
A
B
O
Giải
Gọi O là giao điểm của 1∆ và 2∆
Phương trình các đường phân giác góc O là:
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+−−=−+
+−=−+
10
23
5
32
10
23
5
32
yxyx
yxyx
( ) ( )( ) ( )⎢⎢⎣
⎡
=+−−++
=−−++−⇔
⎢⎢⎣
⎡
+−−=−+
+−=−+⇔
022312232
022312232
)23()32(2
)23()32(2
yx
yx
yxyx
yxyx
Do đường thẳng (∆) đi qua điểm P (3; 1) và vuông góc với các đường phân giác nói trên
nên có phương trình là:
⎢⎢⎣
⎡
=+−+−−
=+−−++
0625)32()122(
0)625()23()122(
yx
yx
Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc
SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 30
Cách khác
Phương trình của (∆ ) có dạng:a(x – 3) + b(y – 1) = 0 (a2 + b2 ≠ 0)
hay ax + by – (3a + b) = 0
( 1∆ ): x + 2y – 3 = 0
( 2∆ ): 3x – y + 2 = 0
VTPT của ∆ , 1∆ , 2∆ lần lượt là: nr = (a; b), 1nr = (1; 2), 2nr = (3; -1)
Tam giác ABC là tam giác cân có cạnh đáy AB, nên:
BA ˆˆ = hay (∆ , 1∆ ) = (∆ , 2∆ ) (góc nhọn)
=> Cos (∆ , 1∆ ) = Cos (∆ , 2∆ )
10
3
5
2
.
.
.
.
2
2
1
1 baba
nn
nn
nn
nn −=+⇔=⇔ rr
rr
rr
rr
⎢⎢⎣
⎡
−−=+
−=+⇔
−=+⇔
)3()2(2
3)2(2
3)2(2
baba
baba
baba
⎢⎢⎣
⎡
−=+
+=−⇔
ba
ba
)221()23(
)122()23(
Với ba )122()23( +=− , chọn b = )23( −
Ta có: 122 +=a
Vậy phương trình của ∆ là: 0)625()23()122( =+−−++ yx
Với ba )221()23( −=+ , chọn b = )23( + ,
Ta có: 221−=a
Vậy phương trình của (∆ ) là: 0625)32()122( =+−+−− yx
Bài 6:. Tìm điểm M trên đường thẳng (∆): x – y + 2=0 cách đều hai điểm E (0; 4) và
F (4; -9)
Hướng dẫn giải
M
I E F
d
∆
Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc
SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 31
- Kiểm tra được E (0; 4) và F (4; -9) không thuộc (∆)
- M cách đều 2 điểm E và F M nằm trên đường trung trực (d) của EF.
Vậy {M} = (∆) ∩ (d)
Hoặc:
M ∈ (∆) => tọa độ M thỏa mãn phương trình (∆)
ME = MF =>M?
Giải
Cách 1: Kiểm tra được E (0; 4) và F (4; -9) không thuộc (∆)
Ta có: EF = (4; -13)
Gọi I là trung điểm của EF => I = (2; 5
2
− )
Gọi (d) là đường trung trực của đoạn thẳng EF
Suy ra (d) đi qua điểm I và nhận EF làm VTPT.
Vậy phương trình đường thẳng (d) là: 4(x – 2) – 13(y 5
2
+ ) = 0
4x – 13y –
2
81 = 0
8x – 26y – 81 = 0
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
−=
⇔
⎩⎨
⎧
=−−
=+−
18
97;
18
133
18
97
18
133
081268
02
M
y
x
yx
yx
Cách 2: Phương trình tham số của đường thẳng (∆ ) là: (∆ ):⎩⎨
⎧
+−=
=
tx
ty
2
M ∈ (∆ ) => M(-2 + t; t), t∈R
Theo giả thiết: ME = MF
⇔ ME2 = MF2
⇔ ( –2 + t)2 + (4 – t)2 = (4 + 2 – t)2 + (– 9 – t)2
⇔ 4 – 4t + t2 + 16 – 8t + t2 = 36 – 12t + t2 + 81 + 18t + t2
⇔ 18t + 97 = 0
Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc
SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 32
⇔ t =
18
97−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−⇒
18
97;
18
133M
Bài 7: Cho A (...