Download Đề tài Tìm tập hợp điểm trong chương trình THCS miễn phí
Mục lục
Mục lục.
A. Lời nói đầu.
B. Nội dung.
Phần I. Những vấn đề cơ bản về bài toán tập hợp điểm.
1. Định nghĩa tập hợp điểm (quỹ tích).
2. Phương pháp chủ yếu giải bài toán tập hợp điểm.
3. Phương pháp giới hạn tập hợp điểm.
4. Một vài phương pháp khác giải bài toán quỹ tích.
Phần II. Các tập hợp điểm cơ bản.
I. Tập hợp điểm là đường thẳng hay một phần đường thẳng.
1.Tập hợp điểm là đường trung trực hay một phần đường trung trực.
2. Tập hợp điểm là tia phân giác.
3. Tập hợp điểm là hai đường thẳng song song.
4. Tập hợp điểm là một đường thẳng song song với đường thẳng cho trước.
5. Tập hợp điểm là đường thẳng hợp với đường thẳng cố định một góc không đổi.
II. Tập hợp điểm là đường tròn hay một phần của đường tròn.
1. Tập hợp điểm là đường tròn .
2. Tập hợp điểm là cung tròn.
Phần III. Ứng dụng quỹ tích vào thực tế và giải toán.
Phần IV. Một số bài toán chọn lọc về tập hợp điểm.
I. Các bài toán tập hợp điểm là đường thẳng hay một phần của đoạn thẳng
II. Các bài toán tập hợp điểm là đường tròn hay một phần của đường tròn.
C. Thực nghiệm.
Phần IV. Kết luận.
Phần V. Phụ lục. trang 2
điểm O
trên AB, và MA = MB ( đường kính và dây cung)
Kẻ AH ^ d , do Avà d cố định nên AH cố định .
Kẻ MN ^ d, do MA = MB nên MN = AH
Vậy điểm M di động nhưng luôn cách đường thẳng d một khoảng không đổi bằng AH và M luôn nằm cùng phía với A so với đường thẳng d. Vậy điểm M thuộc đường thẳng D // d cách đường thẳng d một khoảng AH, đi qua trung điểm của AH.
b. Giới hạn:
Với M là điểm tuỳ ý trên D luôn là hình chiếu của một điểm O là tâm của một đường tròn qua A và tiếp xúc với đường thẳng d.
c. Phần đảo:
Lấy điểm M bất kỳ thuộc D, nối A với M cắt d tại B; dựng O là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AB tại M và đường thẳng vuông góc với d tại B.
Vì đường thẳng D // d và đi qua trung điểm của AH ị M là trung điểm của AB. Mà OM ^ AB ị OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB
ị OA=OB . Vẽ đường tròn tâm O bán kính OA, khi đó B ẻ (O; OA). Vì OB ^ d, B ẻ d, B ẻ (O; OA) ị (O; OA) tiếp xúc với đường thẳng d.
d. Kết luận: Tập hợp hình chiếu tâm O của đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng d cố định là đường thẳng D // d nằm cùng một nửa mặt phẳng với điểm A bờ là đường thẳng d, cách đường thẳng a một khoảng bằng nửa khoảng cách từ điểm A đến d.
5. Tập hợp điểm là đường thẳng hợp với đường thẳng cố định một góc không đổi
Bài toán 1:
Cho góc xOy = 900 cố định, điểm A cố định trên tia Ox, điểm B chuyển động trên tia Oy, vẽ D ABC đều ( C và O khác phía đối với AB). Tìm tập hợp trung điểm M của BC.
y
x
z
C
M
D
O
E
A
B
Hướng dẫn giải:
a. Phần thuận:
D ABC đều, AM là trung tuyến ị AM ^ BC
ị é AOB = é AMB = 900
ị tứ giác OBMA nội tiếp được trong một đường tròn
ị é AOM = é ABM, mà é AOM = 600
Mặt khác, do OA cố định, nên M thuộc đường thẳng
hợp với Ox một góc bằng 600
b. Giới hạn:
Khi B º O thì Cº D, nên M º E ( E là trung điểm của OD)
Khi B chạy xa vô tận trên tia Oy thì C chạy xa vô tận trên tia Dz nên M chạy xa vô tận trên tia ED.
Vậy M chuyển động trên tia ED
c. Phần đảo:
Lấy điểm M bất kỳ thuộc tia ED vẽ đường thẳng vuông góc với AM tại M, cắt tia Oy tại B, vẽ D ABC đều.
é AOB = é AMB = 900 ị tứ giác OAMB nội tiếp được trong một đường tròn ị é ABM = é AOM mà é AOM = 600 ị é ABM = 600 . é ABM = 600, éABC =600 ị M, B, C thẳng hàng. D ABC đều, AM ^ BC ị M là trung điểm của BC.
d. Kết luận :
Tập hợp các điểm M là trung điểm của BC là tia ED thuộc đường thẳng hợp với Ox một góc bằng 600.
Bài toán 2:
Cho góc xOy = 900 cố định, điểm A cố định trên tia Ox, điểm B chuyển động trên tia Oy, vẽ D ABC đều ( C và O khác phía đối với AB). Tìm tập hợp các điểm C.
Hướng dẫn giải:
y
x
z
C
D
O
A
B
a. Phần thuận:
Vẽ D OAD đều có O nằm trong góc xOy.
Vì O, A cố định nên D cố định
Xét D OAB và D DAC có:
OA = AD ( do D OAD đều)
é OAB = é DAC ( é OAB +é BAC =
= é DAC + é BAD = 600)
Lại có AB = AC ( D ABC đều),
Do đó DOAB = D DAC (c.g.c)
ị é AOB = é ADC.
Mà é AOB =900, đường thẳng AD cố định. Vậy C thuộc đường thẳng cố định Dz vuông góc với AD tại D
b. Giới hạn:
Khi B º O thì C º D
Khi B chạy xa vô tận trên tia Oy thì C chạy xa vô tận trên tia Dz. Vậy C chuyển động trên tia Dz vuông góc với đường thẳng AD
c. Phần đảo:
Lấy điểm C bất kỳ thuộc tia Dz vẽ đường thẳng AB ( B ẻ Oy ) sao cho éCAB = 600.
Xét D OAB và D DAC có:
+ é AOB = é ADC ( = 900 )
+ OA = AD ( D OAD đều)
+ é OAB = é DAC ( é OAB + é BAD = é DAC + é BAD = 600)
Do đó D OAB = D DAC ( g.c.g) ị AB = AC ị D ABC cân tại A, mà éBAC=600 nên D ABC đều.
d. Kết luận:
Tập hợp các điểm C là tia Dz của đường thẳng vuông góc với AD.
II/ Tập hợp điểm là đường tròn hay một phần của đường tròn
1. Tập hợp điểm là đường tròn
a. Tóm tắt lý thuyết:
+ Tập hợp các điểm M cách điểm O cho trước một khoảng không đổi r ( r >0) là đường tròn tâm O bán kính r.
+ Tập hợp các điểm nhìn đoạn thẳng cố định AB dưới góc 900 là đường tròn đường kính AB.
b. Các bài toán:
1- Tập hợp các điểm M cách điểm O cho trước một khoảng không đổi r ( r >0) là đường tròn tâm O bán kính r.
Bài toán 1:
Một đường thẳng AB = h chuyển động sao cho hai mút của nó chuyển động trên hai đường thẳng vuông góc với nhau. Tìm tập hợp trung điểm M của AB.
Hướng dẫn giải
B
A
y
x
O
M
a. Phần thuận:
Giả sử x và y là hai đường thẳng vuông góc
với nhau tại O, hai điểm A, B lần lượt nằm trên x, y.
Do DAOB vuông tại O, OM là đường trung tuyến
nên: OM = AB = h ( không đổi).
Vậy điểm M luôn cách O một khoảng không đổi AB
ị M thuộc đường tròn tâm O bán kính AB
b. Giới hạn:
Khi A hay B trùng với O thì OM vẫn bằng AB ị M thuộc đường tròn tâm O bán kính AB.
c. Phần đảo:
Lấy điểm M tuỳ ý trên đường tròn (O; h). Trên Ox lấy điểm A sao cho OA = OM.
Kẻ MA cắt Oy tại B, ta cần chứng minh AB = h.
Vì M ẻ (O; h) ị OM = OA =h.
D MOA cân tại M ị é MOA = é MAO (1)
D AOB có é AOB = 900 ị é OBA + é OAB = 900 (2)
Mà é bm + é MOA = 900 (3)
Từ (1), (2), (3) ị é MBO = é MOB ị MB = MO
ị MA = MB = MO ị MA + MB = AB = h
d. Kết luận:
Vậy tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB là đường tròn (O; AB)
Bài toán 2:
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB; C là một điểm di động trên đường tròn; trên tia BC lấy điểm D sao cho CD = CB. Tìm tập hợp điểm D.
Hướng dẫn giải:
a.Phần thuận
é ACB = 900 ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
ị AC ^ BD, mà CD = CB (giả thiết)
ị D ABD cân tại A ị AD = AB = 2R
D
C
A
O
B
Mà 2R không đổi, nên AD không đổi.
Điểm A cố định do đó D thuộc
đường tròn (A; 2R)
b. Giới hạn:
Khi C chuyển động trên (O;R),
D chuyển động trên đường tròn (A; 2R)
c. Phần đảo:
Lấy D bất kỳ thuộc đường tròn (A; 2R), ta có
AD = 2R, BD cắt (O;R) tại C. Ta có AD = AB =2R
ị D ABD cân tại A.
Mặt khác é ACB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
D ABD cân tại A, AC ^ BD ị AC là trung tuyến của D ABD. Vậy C là trung điểm của BD.
d. Kết luận:
Tập hợp các điểm D cần tìm là đường tròn (A; 2R)
2- Tập hợp các điểm nhìn đoạn thẳng cố định AB dưới góc 900 là đường tròn đường kính AB.
Bài toán 1:
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, C là một điểm nằm trên nửa đường tròn đó, kẻ CD vuông góc với AB. Nối O với C, trên OC lấy điểm E sao cho OE = CD. Tìm tập hợp điểm E.
C
A
F
E
E’
O
D’
C’
B
D
Hướng dẫn giải:
a. Phần thuận:
Kẻ bán kính OF ^ AB thì điểm F cố định và
OF// CD nên é OCD = é EOF ( so le trong).
Do OE = CD (gt) và OF = OC ( bán kính của
đường tròn tâm O), vì thế D OEF = D CDO ( c. g. c)
ị é OEF = é ODC = 900 . Điểm E luôn nhìn OF
dưới một góc không đổi 900 nên E thuộc đường tròn đường kính OF.
b. Giới hạn:
Vì điểm C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB nên khi C º A hay Cº B thì D trùng với A hay B lúc đó điểm E trùng với O, còn khi C trùng với F thì D trùng với O, lúc đó E º F . Vậy E chạy trên cả đường tròn đường kính OF.
c. Phần đảo:
Trên nửa đường tròn đường kính OF lấy điểm E’ không trùng với O và F. Tia OE’ cắt đường tròn (O) ở C’ kẻ C’D’ ^ AB . Ta phải chứng minh OE’=C’D’.
Thật vậy, é OE’F = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính OF); C’D’ ^ AB nên é C’D’O = 900, OF = OC’. Do đó D C’D’O = D OE’F nên C’D’ = OE.
d. Kết luận
Tập hợp các điểm E là đường tròn đường kính OF.
Bài toán 2: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB . Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn tại A, M là một điểm di động trên đường thẳng d, BM cắt (O) tại C. Tìm tập hợp các điểm N là trung điểm của BC.
Hướng dẫn giải:
a. Phần thuận
B
M
N
O
A
C
d
N là trung điểm của dây cung BC của đường tròn (O) nên
ị ON ^ BCị é BNO =900, mà OB cố định do đó N thuộc đường
tròn đường kính OB.
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm vào Link, đợi vài giây sau đó bấm Get Website để tải:
Mục lục
Mục lục.
A. Lời nói đầu.
B. Nội dung.
Phần I. Những vấn đề cơ bản về bài toán tập hợp điểm.
1. Định nghĩa tập hợp điểm (quỹ tích).
2. Phương pháp chủ yếu giải bài toán tập hợp điểm.
3. Phương pháp giới hạn tập hợp điểm.
4. Một vài phương pháp khác giải bài toán quỹ tích.
Phần II. Các tập hợp điểm cơ bản.
I. Tập hợp điểm là đường thẳng hay một phần đường thẳng.
1.Tập hợp điểm là đường trung trực hay một phần đường trung trực.
2. Tập hợp điểm là tia phân giác.
3. Tập hợp điểm là hai đường thẳng song song.
4. Tập hợp điểm là một đường thẳng song song với đường thẳng cho trước.
5. Tập hợp điểm là đường thẳng hợp với đường thẳng cố định một góc không đổi.
II. Tập hợp điểm là đường tròn hay một phần của đường tròn.
1. Tập hợp điểm là đường tròn .
2. Tập hợp điểm là cung tròn.
Phần III. Ứng dụng quỹ tích vào thực tế và giải toán.
Phần IV. Một số bài toán chọn lọc về tập hợp điểm.
I. Các bài toán tập hợp điểm là đường thẳng hay một phần của đoạn thẳng
II. Các bài toán tập hợp điểm là đường tròn hay một phần của đường tròn.
C. Thực nghiệm.
Phần IV. Kết luận.
Phần V. Phụ lục. trang 2
điểm O
trên AB, và MA = MB ( đường kính và dây cung)
Kẻ AH ^ d , do Avà d cố định nên AH cố định .
Kẻ MN ^ d, do MA = MB nên MN = AH
Vậy điểm M di động nhưng luôn cách đường thẳng d một khoảng không đổi bằng AH và M luôn nằm cùng phía với A so với đường thẳng d. Vậy điểm M thuộc đường thẳng D // d cách đường thẳng d một khoảng AH, đi qua trung điểm của AH.
b. Giới hạn:
Với M là điểm tuỳ ý trên D luôn là hình chiếu của một điểm O là tâm của một đường tròn qua A và tiếp xúc với đường thẳng d.
c. Phần đảo:
Lấy điểm M bất kỳ thuộc D, nối A với M cắt d tại B; dựng O là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AB tại M và đường thẳng vuông góc với d tại B.
Vì đường thẳng D // d và đi qua trung điểm của AH ị M là trung điểm của AB. Mà OM ^ AB ị OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB
ị OA=OB . Vẽ đường tròn tâm O bán kính OA, khi đó B ẻ (O; OA). Vì OB ^ d, B ẻ d, B ẻ (O; OA) ị (O; OA) tiếp xúc với đường thẳng d.
d. Kết luận: Tập hợp hình chiếu tâm O của đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng d cố định là đường thẳng D // d nằm cùng một nửa mặt phẳng với điểm A bờ là đường thẳng d, cách đường thẳng a một khoảng bằng nửa khoảng cách từ điểm A đến d.
5. Tập hợp điểm là đường thẳng hợp với đường thẳng cố định một góc không đổi
Bài toán 1:
Cho góc xOy = 900 cố định, điểm A cố định trên tia Ox, điểm B chuyển động trên tia Oy, vẽ D ABC đều ( C và O khác phía đối với AB). Tìm tập hợp trung điểm M của BC.
y
x
z
C
M
D
O
E
A
B
Hướng dẫn giải:
a. Phần thuận:
D ABC đều, AM là trung tuyến ị AM ^ BC
ị é AOB = é AMB = 900
ị tứ giác OBMA nội tiếp được trong một đường tròn
ị é AOM = é ABM, mà é AOM = 600
Mặt khác, do OA cố định, nên M thuộc đường thẳng
hợp với Ox một góc bằng 600
b. Giới hạn:
Khi B º O thì Cº D, nên M º E ( E là trung điểm của OD)
Khi B chạy xa vô tận trên tia Oy thì C chạy xa vô tận trên tia Dz nên M chạy xa vô tận trên tia ED.
Vậy M chuyển động trên tia ED
c. Phần đảo:
Lấy điểm M bất kỳ thuộc tia ED vẽ đường thẳng vuông góc với AM tại M, cắt tia Oy tại B, vẽ D ABC đều.
é AOB = é AMB = 900 ị tứ giác OAMB nội tiếp được trong một đường tròn ị é ABM = é AOM mà é AOM = 600 ị é ABM = 600 . é ABM = 600, éABC =600 ị M, B, C thẳng hàng. D ABC đều, AM ^ BC ị M là trung điểm của BC.
d. Kết luận :
Tập hợp các điểm M là trung điểm của BC là tia ED thuộc đường thẳng hợp với Ox một góc bằng 600.
Bài toán 2:
Cho góc xOy = 900 cố định, điểm A cố định trên tia Ox, điểm B chuyển động trên tia Oy, vẽ D ABC đều ( C và O khác phía đối với AB). Tìm tập hợp các điểm C.
Hướng dẫn giải:
y
x
z
C
D
O
A
B
a. Phần thuận:
Vẽ D OAD đều có O nằm trong góc xOy.
Vì O, A cố định nên D cố định
Xét D OAB và D DAC có:
OA = AD ( do D OAD đều)
é OAB = é DAC ( é OAB +é BAC =
= é DAC + é BAD = 600)
Lại có AB = AC ( D ABC đều),
Do đó DOAB = D DAC (c.g.c)
ị é AOB = é ADC.
Mà é AOB =900, đường thẳng AD cố định. Vậy C thuộc đường thẳng cố định Dz vuông góc với AD tại D
b. Giới hạn:
Khi B º O thì C º D
Khi B chạy xa vô tận trên tia Oy thì C chạy xa vô tận trên tia Dz. Vậy C chuyển động trên tia Dz vuông góc với đường thẳng AD
c. Phần đảo:
Lấy điểm C bất kỳ thuộc tia Dz vẽ đường thẳng AB ( B ẻ Oy ) sao cho éCAB = 600.
Xét D OAB và D DAC có:
+ é AOB = é ADC ( = 900 )
+ OA = AD ( D OAD đều)
+ é OAB = é DAC ( é OAB + é BAD = é DAC + é BAD = 600)
Do đó D OAB = D DAC ( g.c.g) ị AB = AC ị D ABC cân tại A, mà éBAC=600 nên D ABC đều.
d. Kết luận:
Tập hợp các điểm C là tia Dz của đường thẳng vuông góc với AD.
II/ Tập hợp điểm là đường tròn hay một phần của đường tròn
1. Tập hợp điểm là đường tròn
a. Tóm tắt lý thuyết:
+ Tập hợp các điểm M cách điểm O cho trước một khoảng không đổi r ( r >0) là đường tròn tâm O bán kính r.
+ Tập hợp các điểm nhìn đoạn thẳng cố định AB dưới góc 900 là đường tròn đường kính AB.
b. Các bài toán:
1- Tập hợp các điểm M cách điểm O cho trước một khoảng không đổi r ( r >0) là đường tròn tâm O bán kính r.
Bài toán 1:
Một đường thẳng AB = h chuyển động sao cho hai mút của nó chuyển động trên hai đường thẳng vuông góc với nhau. Tìm tập hợp trung điểm M của AB.
Hướng dẫn giải
B
A
y
x
O
M
a. Phần thuận:
Giả sử x và y là hai đường thẳng vuông góc
với nhau tại O, hai điểm A, B lần lượt nằm trên x, y.
Do DAOB vuông tại O, OM là đường trung tuyến
nên: OM = AB = h ( không đổi).
Vậy điểm M luôn cách O một khoảng không đổi AB
ị M thuộc đường tròn tâm O bán kính AB
b. Giới hạn:
Khi A hay B trùng với O thì OM vẫn bằng AB ị M thuộc đường tròn tâm O bán kính AB.
c. Phần đảo:
Lấy điểm M tuỳ ý trên đường tròn (O; h). Trên Ox lấy điểm A sao cho OA = OM.
Kẻ MA cắt Oy tại B, ta cần chứng minh AB = h.
Vì M ẻ (O; h) ị OM = OA =h.
D MOA cân tại M ị é MOA = é MAO (1)
D AOB có é AOB = 900 ị é OBA + é OAB = 900 (2)
Mà é bm + é MOA = 900 (3)
Từ (1), (2), (3) ị é MBO = é MOB ị MB = MO
ị MA = MB = MO ị MA + MB = AB = h
d. Kết luận:
Vậy tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB là đường tròn (O; AB)
Bài toán 2:
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB; C là một điểm di động trên đường tròn; trên tia BC lấy điểm D sao cho CD = CB. Tìm tập hợp điểm D.
Hướng dẫn giải:
a.Phần thuận
é ACB = 900 ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
ị AC ^ BD, mà CD = CB (giả thiết)
ị D ABD cân tại A ị AD = AB = 2R
D
C
A
O
B
Mà 2R không đổi, nên AD không đổi.
Điểm A cố định do đó D thuộc
đường tròn (A; 2R)
b. Giới hạn:
Khi C chuyển động trên (O;R),
D chuyển động trên đường tròn (A; 2R)
c. Phần đảo:
Lấy D bất kỳ thuộc đường tròn (A; 2R), ta có
AD = 2R, BD cắt (O;R) tại C. Ta có AD = AB =2R
ị D ABD cân tại A.
Mặt khác é ACB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
D ABD cân tại A, AC ^ BD ị AC là trung tuyến của D ABD. Vậy C là trung điểm của BD.
d. Kết luận:
Tập hợp các điểm D cần tìm là đường tròn (A; 2R)
2- Tập hợp các điểm nhìn đoạn thẳng cố định AB dưới góc 900 là đường tròn đường kính AB.
Bài toán 1:
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, C là một điểm nằm trên nửa đường tròn đó, kẻ CD vuông góc với AB. Nối O với C, trên OC lấy điểm E sao cho OE = CD. Tìm tập hợp điểm E.
C
A
F
E
E’
O
D’
C’
B
D
Hướng dẫn giải:
a. Phần thuận:
Kẻ bán kính OF ^ AB thì điểm F cố định và
OF// CD nên é OCD = é EOF ( so le trong).
Do OE = CD (gt) và OF = OC ( bán kính của
đường tròn tâm O), vì thế D OEF = D CDO ( c. g. c)
ị é OEF = é ODC = 900 . Điểm E luôn nhìn OF
dưới một góc không đổi 900 nên E thuộc đường tròn đường kính OF.
b. Giới hạn:
Vì điểm C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB nên khi C º A hay Cº B thì D trùng với A hay B lúc đó điểm E trùng với O, còn khi C trùng với F thì D trùng với O, lúc đó E º F . Vậy E chạy trên cả đường tròn đường kính OF.
c. Phần đảo:
Trên nửa đường tròn đường kính OF lấy điểm E’ không trùng với O và F. Tia OE’ cắt đường tròn (O) ở C’ kẻ C’D’ ^ AB . Ta phải chứng minh OE’=C’D’.
Thật vậy, é OE’F = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính OF); C’D’ ^ AB nên é C’D’O = 900, OF = OC’. Do đó D C’D’O = D OE’F nên C’D’ = OE.
d. Kết luận
Tập hợp các điểm E là đường tròn đường kính OF.
Bài toán 2: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB . Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn tại A, M là một điểm di động trên đường thẳng d, BM cắt (O) tại C. Tìm tập hợp các điểm N là trung điểm của BC.
Hướng dẫn giải:
a. Phần thuận
B
M
N
O
A
C
d
N là trung điểm của dây cung BC của đường tròn (O) nên
ị ON ^ BCị é BNO =900, mà OB cố định do đó N thuộc đường
tròn đường kính OB.
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm vào Link, đợi vài giây sau đó bấm Get Website để tải:
You must be registered for see links
Last edited by a moderator:
