Download miễn phí Luận văn Ứng dụng quá trình bán markov vào mô hình rủi ro trong bảo hiểm
Mục lục
Lời Thank 2
Lời mở đầu 3
Mục lục 4
1 Thuyết tái tạo 1
1.1 Mục đích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Định nghĩa chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Phương trình tái tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Sử dụng phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 Phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.2 Phép biến đổi Laplace Stieltjes (L-S) . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.3 Một ứng dụng đối với hàm tái tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Ứng dụng của đẳng thức Wald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.1 Đẳng thức Wald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.2 Chặn dưới của hàm tái tạo R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Dáng điệu tiệm cận của quá trình N (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8 Các thời điểm hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8.2 Hàm phân phối của số lần hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.8.3 Dáng điệu tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng . . . . . . . . . . . . . 30
1.10 Dạng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.10.1 Phương pháp cầu phương tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.10.2 Một vài công thức đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.10.3 Ví dụ thực tế về tai nạn ô tô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 Xích Markov 45
2.1 Tính Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.1 Định nghĩa tính Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2 Định nghĩa xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3 Phân loại trạng thái xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.1 Các trạng thái tuần hoàn và không tuần hoàn . . . . . . . . . . . . 50
2.3.2 Các trạng thái ước lượng và không ước lượng được – Tính tối giản . 50
2.3.3 Trạng thái nhất thời và hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4 Số lần chiếm giữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5 Tính xác suất hấp thu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.6 Dáng điệu tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.7 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.8 Một trường hợp trong bảo hiểm xã hội (Janssen (1966)) . . . . . . . . . . . 63
2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.9.1 Thuật toán cho nghiên cứu xích Markov tiệm cận . . . . . . . . . . 65
2.9.2 Mẫu dữ liệu tối giản thực tế trong bảo hiểm xe . . . . . . . . . . . 68
2.9.3 Các ví dụ rút gọn được và không rút gọn được, dạng kết nối chính tắc. 72
3 Quá trình tái tạo Markov, bán Markov và bước ngẫu nhiên Markov 82
3.1 Quá trình (J-X) dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2 Xích bán Markov và xích bán Markov mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3 Các tính chất chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4 Ví dụ về quá trình yêu cầu bồi thường trong bảo hiểm . . . . . . . . . . . 86
3.5 Quá trình tái tạo Markov, quá trình bán-Markov và quá trình đếm liên kết 87
3.6 Các hàm tái tạo Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.7 Phương trình tái tạo Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.8 Dáng điệu tiệm cận của MRP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.8.1 Dáng điệu tiệm cận của hàm tái tạo Markov . . . . . . . . . . . . 92
3.9 Dáng điệu tiệm cận của SMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.9.1 Trường hợp tối giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.9.2 Trường hợp không tối giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.10 MRP trì hoãn và MRP dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.11 Trường hợp nghiên cứu về bảo hiểm xã hội . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.11.1 Mô hình bán Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.11.2 Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.12 Quá trình (J-X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.13 Các hàm của quá trình (J-X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.14 Các bước ngẫu nhiên cổ điển và lý thuyết rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.14.1 Các kí hiệu cơ bản trong bước ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . 103
3.14.2 Sự phân loại các bước ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.15 Các bước ngẫu nhiên bán Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.16 Phân phối cận trên đúng cho các bước ngẫu nhiên bán Markov . . . . . . . 107
4 Các Mô Hình Rủi Ro Trong Bảo Hiểm 109
4.1 Mô hình ngẫu nhiên cổ điển cho lý thuyết rủi ro và xác suất phá sản . . . 109
4.2 Mô hình rủi ro E.S Anderson hay G/G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.2.1 Mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.2.2 Phí bảo hiểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.2.3 Ba quá trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2.4 Xác suất phá sản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.3 Mô hình rủi ro Cramer – Lundberg hay P/G . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3.1 Mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3.2 Xác suất phá sản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3.3 Quản lí rủi ro bằng xác suất phá sản . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.3.4 Ước lượng Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.4 Các mô hình khuyếch tán cho lý thuyết rủi ro và xác suất phá sản . . . . 123
4.4.1 Mô hình rủi ro khuyếch tán đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.4.2 Mô hình rủi ro ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.5 Mô hình rủi ro Bán Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.5.1 Mô hình rủi ro bán Markov (hay SMRM) . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.5.2 Mô hình rủi ro bán Markov tổng quát (hay GSMRM) . . . . . . . . 125
4.5.3 Quá trình đếm số yêu cầu bồi thường . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.5.4 Quá trình tiền bảo hiểm tích lũy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.5.5 Quá trình tiền đóng bảo hiểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.5.6 Quá trình rủi ro và rủi ro của vốn dự trữ . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.5.7 Mô hình rủi ro bán-Markov dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.6 Xác suất phá sản của mô hình rủi ro bán-Markov tổng quát . . . . . . . . 132
4.6.1 Xác suất phá sản và không phá sản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.6.2 Sự thay đổi mức phí bảo hiểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.6.3 Giải pháp tổng quát cho vấn đề tiệm cận xác suất rủi ro . . . . . . 134
Kết luận 137
Tài liệu tham khảo 138
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
2, 3 và với P cho bởi:p = (.26, .60, .14). (2.128)
2.8 Một trường hợp trong bảo hiểm xã hội (Janssen (1966)) 63
Ta thu được kết quả sau:
p
(1)
1 = .257 p
(1)
2 = .597 p
(1)
3 = .146
p
(2)
1 = .255 p
(2)
2 = .594 p
(2)
3 = .151
p
(3)
1 = .254 p
(3)
2 = .590 p
(3)
3 = .156.
Kết quả cho ta thấy sự hội tụ của p(n) về pi tương đối nhanh.
2.8 Một trường hợp trong bảo hiểm xã hội (Janssen (1966))
Để tính toán tiền bảo hiểm và trợ cấp lương hưu cho các trường hợp bệnh nghề nghiệp
như nhiễm bụi silic, ta cần tính toán mức độ trung bình của bệnh tật vào thời điểm cho
trước. Giả sử rằng ta có m mức độ bệnh tật: S1, . . . , Sm, và cuối cùng là trả 100% lương
hưu nhưng chưa tính tiền tử.
Theo Yntema, giả sử rằng người quyết định chính sách bảo hiểm có thể chọn từ mức độ
Si đến Sj với xác suất pij. Giả thiết này dẫn đến việc xây dựng một mô hình xích Markov
với ma trận m×m:
P = [pij ] (2.129)
là ma trận chuyển liên quan đến mức độ bệnh tật.
Các cá thể bắt đầu tại thời điểm 0 với Si là mức độ bệnh. Mức độ trung bình của bệnh
tật sau bước chuyển thứ n là:
Si(n) =
m∑
j=1
p
(n)
ij Sj. (2.130)
Để nghiên cứu sự cân bằng tài chính của tiền quỹ ta phải tính giá trị giới hạn của
Si(n):
Si = lim
n→∞
Si(n) (2.131)
hoặc:
Si = lim
n→∞
m∑
j=1
p
(n)
ij Sj . (2.132)
Giá trị này được tính bởi hệ quả 2.22 với i = 1, . . . , m.
Ví dụ 2.4. Dùng dữ liệu thực tế của bệnh nhiễm bụi silic, Yntema (1962) bắt đầu với các
mức độ nhiễm bệnh như sau: S1 = 10%; S2 = 30%; S3 = 50%; S4 = 70%; S5 = 100%. Sử
dụng dữ liệu ở Hà Lan, ông xét ma trận chuyển P sau:
P =
.90 .10 0 0 0
0 .95 .05 0 0
0 0 .90 .05 .05
0 0 0 .90 .10
0 0 .05 .05 .90
(2.133)
Biểu đồ chuyển kết hợp với ma trận 2.133 được thể hiện trong hình 2.4:
Từ đó ta có:
2.8 Một trường hợp trong bảo hiểm xã hội (Janssen (1966)) 64
i) Tất cả các trạng thái đều không tuần hoàn.
ii) Tập {S3, S4, S5} là một lớp ước lượng được (hồi quy dương).
iii) Các nút trạng thái 1 và 2 là các lớp nhất thời không ước lượng được.
Do đó một xích Markov duy nhất rút gọn được có thể kết hợp được với ma trận P. Vậy,
ta có thể áp dụng hệ quả 2.21. Theo hệ thức 2.132 ta có:
Si = lim
n→∞
5∑
j=3
pijSj (2.134)
Trong đó (pi3, pi4, pi5) là nghiệm duy nhất của hệ tuyến tính:
pi3
pi5
pi4
1
=
=
=
=
.9 · pi3
.05 · pi3
.05 · pi3
pi3
+
+
+
+
0 · pi4
.9 · pi4
.05 · pi4
pi4
+
+
+
+
.05 · pi5,
.05 · pi5,
.9 · pi5,
pi5
(2.135)
Hình 2.4:
Nghiệm của hệ là:
pi3 =
2
9
, pi4 =
3
9
, pi5 =
4
9
. (2.136)
Vì vậy:
S¯i =
(
2
9
50 +
3
9
70 +
4
9
100
)
% (2.137)
Hoặc
S¯j = 79% (2.138)
2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận 65
đây là kết quả của Yntema. Hệ thức 2.138 chứng minh rằng mức độ trung bình của bệnh
tật độc lập với trạng thái ban đầu i.
2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận
2.9.1 Thuật toán cho nghiên cứu xích Markov tiệm cận
Trong phần này ta trình bày một thuật toán hữu ích cho cách giải đầy đủ dáng điệu tiệm
cận của một xích Markov. Nó sẽ diễn tả ví dụ về bảo hiểm xã hội được cho trong phần
trước. Thuật toán, được đưa ra bởi De Dominics, Manca (1984b), hữu ích cho sự phân loại
trạng thái của xích Markov. Nó thể hiện trên đồ thị mô tả các phép chuyển của quá trình
từ trạng thái này sang trạng thái khác. Để biểu diễn các bước của thuật toán ta sẽ theo
ví dụ đã được nêu trong phần trước. Đầu tiên, ta mô tả ngắn gọn lý thuyết đồ thị dạng
Christophidies (1975).
Đặt Γ là không gian trạng thái:
Γ = {x1, x2, ..., xm} (2.139)
Trong đó nút xi mô tả trạng thái thứ i. Γ(xi) mô tả tập hợp các nút có thể đạt được
sau một bước đơn từ xi, ta nói rằng xj ∈ Γ(xi)nếu có một cung nối trực tiếp từ xi đến xj .
Γk(xi) mô tả tập hợp các nút có thể đạt được từ xi theo một đường dẫn có độ dài k.
Cuối cùng, R(xi) là tập hợp của tất cả các nút có thể đạt được từ xi nghĩa là giả sử
Γ0(xi) = {xi} nó có kết quả là:
R(xi) =
p⋃
k=1
Γk(xi) (2.140)
trong đó p ≤ m− 1 là số nguyên nhỏ nhất như vậy
Γp+1(xi) ⊆
p⋃
k=1
Γk(xi). (2.141)
Bây giờ đặt A là ma trận kề của đồ thị. Như đã biết nó cho kết quả là:
aij =
{
1 nếu xj ∈ Γ(xi)
0 nếu xj /∈ Γ(xi) (2.142)
Ma trận kề liên quan đến đồ thị trong hình minh họa 2.4 được thể hiện trong bảng 2.2.
Trạng Thái 1 2 3 4 5
1 1 1 0 0 0
2 0 1 1 0 0
3 0 0 1 1 1
4 0 0 0 1 1
5 0 0 1 1 1
Bảng 2.2: Ma trận kề
Như có thể thấy trong bảng 2.2, các phần tử của giá trị 1 là vị trí của các phần tử khác
2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận 66
0 trong ma trận chuyển 2.133. A có thể được xem là ma trận Boolean. Đặt:
Ak = Ak−1A (2.143)
cho ta:
kaij =
{
1 nếu xj ∈ Γk(xi)
0 nếu xj /∈ Γk(xi) (2.144)
Khi đó, kí hiệu R là ma trận đạt được của đồ thị được định nghĩa như sau:
rij =
{
1 nếu xj ∈ R(xi)
0 nếu xj /∈ R(xi) (2.145)
ta thấy rằng:
R = A0 ∨A1 ∨A2 ∨ ... ∨Am−1. (2.146)
Quan hệ giữa ma trận đạt được và ma trận kề của bảng 2.2 được thể hiện trong bảng
2.3.
Trạng thái 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1 1
2 0 1 1 1 1
3 0 0 1 1 1
4 0 0 1 1 1
5 0 0 1 1 1
Bảng 2.3: Ma trận đạt được
Với ma trận đạt được, ta có thể chia nhỏ tập hợp các trạng thái của quá trình thành
các lớp tương đương gọi là Cs, có kết quả là:
xi, xj ∈ Cs ⇔ rij = rji = 1. (2.147)
Hệ thức 2.147 có nghĩa là các nút của lớp có dạng một vòng tròn và đó là vòng tròn
duy nhất. Ta giả sử rằng, nếu một lớp chứa một nút đơn thì nút đơn đó là một vòng tròn.
Trong ví dụ này, ta có ba lớp sau:
C1 = {1}, C2 = {2}, C3 = {3, 4, 5}. (2.148)
bây giờ nếu có thể xây dựng một hệ thức thứ tự riêng giữa các lớp Cs.
Định nghĩa sau đựơc trình bày là: Cp ≤ Cq⇔Cp = Cq hay ∃ {xt1 , ..., xth} đường dẫn
của các trạng thái
xt1 ∈ Cq,xth ∈ Cp. (2.149)
Nếu nó có thể đi từ lớp Cp đến lớp Cq thì điều đó có nghĩa là Cp ≤ Cq. Khi đó ta có:
C3 ≤ C2 ≤ C1. (2.150)
Áp dụng hệ thức thứ tự này, các lớp trạng thái được chia nhỏ thành hai trạng thái là:
nhất thời và hồi quy. Thuật toán phân biệt sự khác nhau giữa các lớp nhất thời: một lớp
là cực đại nếu các lớp khác không đến được nó, một lớp là nhất thời ngặt nếu một phần
2.9 Phương pháp số giải bài toán tiệm cận 67
tử của hệ không vào được lớp này và sau đó cũng có thể thoát ra khỏi lớp đó. Rõ ràng,
các lớp hồi quy (ước lượng được hay hấp thu) là các lớp cho kết quả rằng khi một phần
tử vào được lớp này thì nó không thể ra được.
Trong ví dụ này, ta được:
C1 là cực đại;
C2 là nhất thời ngặt; (2.151)
C3 là hấp thu.
Quá trình đã đánh giá là duy nhất đơn giản được. Thuật toán này phân loại quá trình như
một hàm của số lượng các lớp và của các trạng thái hấp thu. Sau đó thuật toán đưa ra ma
trận chuyển dạng chính tắc xem Gantmacher (1959). Ma trận này cho ta khả năng để xét
xem bằng cách nào hệ sẽ thác triển vượt thời gian. Với ví dụ này, dạng thác triển tương
ứng với ma trận chuyển vì vậy ta không trình bày phần này.
Dạng thác triển được viết bằng cách đổi thứ tự các dòng và cột của ma trận và cũng
phải quan tâm đến thứ tự của các lớp. Các dòng và cột tương ứng với các trạng thái của
các lớp cực đại đ