tranduyanhlaai
New Member
Luận văn: Giải tích ngẫu nhiên đối với các quá trình có bước nhảy : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 15
Nhà xuất bản: ĐHKHTN
Đại học Quốc gia Hà Nội
Ngày: 2013
Chủ đề: Quá trình ngẫu nhiên
Lý thuyết xác suất
Tích phân ngẫu nhiên
Quá trình có bước nhảy
Miêu tả: 55 tr. + CD-ROM + tóm tắt
Luận văn ThS. Lý thuyết xác suất và thống kê toán học -- Trường Đại học Khoa học Tự nhiên. Đại học Quốc gia Hà Nội, 2013
Tập trung nghiên cứu một số vấn đề cơ bản của giải tích ngẫu nhiên đối với các quá trình có bước nhảy. Xây dựng được công thức tích phân ngẫu nhiên đối với các quá trình có bước nhảy: các công thức quan trọng khác như công thức tích phân ngẫu nhiên Itô đối với quá trình có bước nhảy, định lý Girsanov về biến đổi độ đo,... cũng được tác giả đưa ra và chứng minh. Nêu ra một số vấn đề liên quan đến giải tích ngẫu nhiên đối với các quá trình có bước nhảy: công thức Itô cho các quá trình semimartingale và semimartingale mũ có bước nhảy; các quá trình ngẫu nhiên có bước nhảy điển hình Poisson và Lévy. Mở ra cho người viết những hướng nghiên cứu tiếp sau này về giải tích ngẫu nhiên đối với các quá trình có bước nhảy bởi các bài toán trong kinh tế, tài chính và điều khiển học,. . . luôn gặp các quá trình có bước nhảy
Lời nói đầu
Giải tích ngẫu nhiên truyền thống nghiên cứu về vi phân ngẫu nhiên, tích phân
ngẫu nhiên Itô và ứng dụng đối với các hệ động lực chi phối bởi chuyển động
Brown.
Cùng sự phát triển nghiên cứu ứng dụng, người ta nhận thấy giải tích ngẫu
nhiên Itô không đủ nghiên cứu các hệ động lực mô tả và chi phối bởi các quá trình
có bước nhảy. Nhiều quá trình trong thực tế không liên tục theo thời gian mà có
biến đổi theo kiểu nhảy bậc, thí dụ như giá bất động sản hay giá của các tài sản cơ
sở nào đó. Quá trình Poisson và Poisson phức hợp là các ví dụ rất phổ biến dùng
trong kỹ thuật và trong kinh tế tài chính, đó là những quá trình có bước nhảy. Do
đó hình thành nghiên cứu về giải tích ngẫu nhiên đối với các quá trình có bước
nhảy. Trên thế giới, giải tích ngẫu nhiên đối với các quá trình có bước nhảy đã
được nghiên cứu mạnh vào khoảng cuối thế kỷ 20, với các tác giả như R.S.Bass,
R.Cont và P.Tankov với nhiều ứng dụng trong kinh tế, tài chính và trong kỹ thuật.
Chính khả năng ứng dụng thực tế to lớn của lý thuyết này là lý do tui chọn đó là
nội dung nghiên cứu của luận văn này.
Luận văn này đề cập các vấn đề cơ bản của giải tích ngẫu nhiên đối với các
quá trình có bước nhảy, như tích phân ngẫu nhiên, công thức đổi biến Itô, định lý
Girsanov, cùng các quá trình có bước nhảy quan trọng là quá trình Poisson, quá
trình Lévy,... Các tài liệu cơ bản để chuẩn bị cho luận văn này là ba tài liệu quan
trọng của Bass, Cont và cuốn sách về tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi
iiphân ngẫu nhiên của tác giả Philip Protter.
Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Tích phân ngẫu nhiên đối với quá trình có bước nhảy
Chương 3: Các vấn đề liên quan
iii
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phiMục lục
Lời Thank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.Quá trình ngẫu nhiên và các quỹ đạo cadlag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.Quá trình đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2. Chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.Quá trình thích nghi với bộ lọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4.Thời điểm dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.2. Nội dung trực quan của khái niệm "Thời điểm dừng" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5.Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6.Phân tích Doob-Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7.Quá trình khả đoán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.8.Thời điểm dừng khả đoán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.9.Semimartingales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Chương 2. Tích phân ngẫu nhiên đối với quá trình có bước nhảy . . . . . . . . . 11
2.1.Biến phân bậc hai của một quá trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
iv2.1.2. Tính chất của biến phân bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3. Biến phân bậc hai của một số quá trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.Biến phân bậc hai và martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.Biến phân bậc hai và semimartingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.Tích phân ngẫu nhiên đối với quá trình có bước nhảy. . . . . . . . . . . . . 16
2.5.Công thức Itô đối với quá trình có bước nhảy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5.1. Công thức Itô cho các quá trình có bước nhảy hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5.2. Công thức Itô cho quá trình khuếch tán có bước nhảy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.3. Hệ quả của công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Chương 3. Các vấn đề liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.Công thức Itô đối với các quá trình semimartingale và semimartingale
mũ có bước nhảy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.1. Công thức Itô đối với quá trình semimartingale có bước nhảy . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.2. Công thức Itô đối với quá trình semimartingale mũ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.Định lý Girsanov đối với các quá trình có bước nhảy . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.1. Độ đo xác suất tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.2. P-martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.3. Định lý Girsanov đối với các quá trình có bước nhảy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.Quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.1. Định nghĩa quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.2. Quá trình Poisson đối trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.3. Độ đo ngẫu nhiên và các quá trình điểm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.4. Độ đo ngẫu nhiên Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.5. Độ đo ngẫu nhiên Poisson đối trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.6. Tích phân ngẫu nhiên đối với độ đo ngẫu nhiên Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.Quá trình Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.2. Các bước nhảy của quá trình Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
v
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi3.4.3. Quá trình Lévy là một semimartingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.4. Biểu thức phân tích một quá trình Lévy và công thức Lévy-Khintchin . . . . . . . . . 52
Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
viChương 1
Các kiến thức chuẩn bị
Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị cho Luận văn, bao gồm các định
nghĩa về các quá trình: đo được, thích nghi, quá trình ngẫu nhiên, quá trình khả
đoán, quá trình semimartingale, quá trình bước nhảy; thời điểm dừng khả đoán,
martingale, martingale trên, martingale dưới và phân tích Doob-Meyer.
Cho (W;F;P) là một không gian xác suất.
1.1. Quá trình ngẫu nhiên và các quỹ đạo cadlag
Đối tượng nghiên cứu của quá trình ngẫu nhiên là họ các biến ngẫu nhiên phụ
thuộc tham số t 2 T nào đó.
Giả sử T là tập vô hạn nào đó. Nếu với mỗi t 2 T, Xt là biến ngẫu nhiên thì ta
kí hiệu X = fXt;t 2 Tg là hàm ngẫu nhiên với tham biến t 2 T.
• Nếu T là tập đếm được thì ta gọi X = fXt;t 2 Tg là quá trình ngẫu nhiên với
tham số rời rạc.
• Nếu T = N thì ta gọi X = fXn;n 2 Tg là dãy biến ngẫu nhiên.
1
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi• Nếu T thuộc một trong các tập sau: (−¥;+¥);[a;+¥);(−¥;b];(a;b];[a;b];
(a;b];(a;b) thì ta gọi X = fXt;t 2 T g là quá trình ngẫu nhiên với tham số liên
tục.
• Nếu T ⊂ Rd thì ta gọi X = fXt;t 2 T g là trường ngẫu nhiên.
Ta sẽ xét các hàm cadlag f (t) được định nghĩa như sau.
Với mỗi w, ta xét một quỹ đạo f (t) = Xw(t) của quá trình ngẫu nhiên X(t).
Định nghĩa 1.1. Hàm cadlag
Hàm f : [0;T] ! Rd được gọi là cadlag nếu nó liên tục phải có giới hạn trái,
nghĩa là với mỗi t 2 [0;T] các giới hạn
f (t−) = lim
s!t;s
s!t;s>t
f (s) (1.1)
tồn tại và f (t) = f (t+):
Hiển nhiên, mọi hàm liên tục là cadlag song điều ngược lại không đúng. Nếu t
là điểm không liên tục, ta ký hiệu
4 f (t) = f (t) − f (t−) (1.2)
là "cỡ bước nhảy" của f ở t.
Ví dụ hàm cadlag là hàm có bước nhảy ở thời điểm T0, giá trị của nó ở thời điểm
T0 được định nghĩa là giá trị sau bước nhảy f = 1[T0;T)(t): Trong trường hợp này
f (T0−) = 0; f (T0+) = 1 và 4 f (T0) = 1: Tổng quát hơn, cho hàm liên tục g : [0;T] !
R và các hằng số fi; i = 0;1;:::;n −1; t0 = 0 ≤ t1 ≤ ::: ≤ tn = T, thì hàm dưới đây
là hàm cadlag
f (t) = g(t)+
n−1
∑i=0
fi1[ti;ti+1]: (1.3)
Hàm g được giải thích như là thành phần liên tục của f , các bước nhảy của f xuất
hiện ở ti; i ≥ 1 với D f (ti) = fi − fi−1. Không phải mọi hàm cadlag đều có khai
triển thành thành phần liên tục và thành phần bước nhảy.
21.2. Quá trình đo được
1.2.1. Định nghĩa
Một quá trình ngẫu nhiên X : (Xt;t ≥ 0) được gọi là đo được nếu nó đo được đối
với s-trường tích BR+ ⊗ F. Điều đó có nghĩa là, với mọi tập B 2 BR+ ⊗ F, tập
hợp:
f(t;w) : X(t;w) 2 Bg
thuộc về s-trường tích BR+ ⊗ F. Đó là s-trường nhỏ nhất chứa các tập có dạng
[0;t]×A với t 2 R+;A 2 F:
1.2.2. Chú ý
a) Mọi quá trình liên tục là đo được.
b) Nếu X là một quá trình đo được thì mọi quỹ đạo của nó Xw(t) đều là những
hàm thực Borel trên R+:
1.3. Quá trình thích nghi với bộ lọc
a) Một họ các s-trường con Ft ⊂ F được gọi là một bộ lọc thỏa mãn các điều
kiện thông thường nếu:
i) Đó là một họ tăng, tức là Fs ⊂ Ft nếu s < t.
ii) Họ đó là liên tục phải, tức là Ft = T
e>0
Ft+e:
iii) Mọi tập P-bỏ qua được A 2 F đều chứa trong F0 (do đó nằm trong mọi
Ft).
3
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phib) Cho một quá trình ngẫu nhiên X : (Xt;t ≥ 0). Xét họ s-trường FtX sinh bởi
biến ngẫu nhiên Xt(w), tức là FtX = s(Xs;0 ≤ s ≤ t): Khi đó họ (FtX;t ≥ 0)
được gọi là bộ lọc tự nhiên của quá trình X, hay lịch sử của X.
c) Cho một bộ lọc bất kỳ (Ft;t 2 R+) trên (W;F). Một quá trình Y được gọi là
thích nghi với bộ lọc này nếu với mọi t, Yt là đo được với s-trường Ft.
Mọi quá trình X = (Xt;t 2 R+) là thích nghi với lịch sử của nó (FtX;t 2 R+):
d) Cho một quá trình X với lịch sử của nó là (FtX;t 2 R+): Một quá trình Y bất
kỳ là thích nghi với lịch sử (FtX) của quá trình X nếu và chỉ nếu Yt(w) có thể
biểu diễn được dưới dạng
Kết luận
Luận văn đã tập trung nghiên cứu một số vấn đề cơ bản của giải tích ngẫu
nhiên đối với các quá trình có bước nhảy. Trong khuôn khổ của luận văn, người
viết đã xây dựng được công thức tích phân ngẫu nhiên đối với các quá trình có
bước nhảy. Các công thức quan trọng khác như công thức tích phân ngẫu nhiên Itô
đối với quá trình có bước nhảy, định lý Girsanov về biến đổi độ đo,... cũng được
tác giả đưa ra và chứng minh. Ngoài ra trong chương 3, người viết cũng nêu ra một
số vấn đề liên quan đến giải tích ngẫu nhiên đối với các quá trình có bước nhảy. Đó
là công thức Itô cho các quá trình semimartingale và semimartingale mũ có bước
nhảy; các quá trình ngẫu nhiên có bước nhảy điển hình Poisson và Lévy.
Luận văn cũng mở ra cho người viết những hướng nghiên cứu tiếp sau này về
giải tích ngẫu nhiên đối với các quá trình có bước nhảy bởi các bài toán trong kinh
tế, tài chính và điều khiển học,. . . luôn gặp các quá trình có bước nhảy.
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
Nhà xuất bản: ĐHKHTN
Đại học Quốc gia Hà Nội
Ngày: 2013
Chủ đề: Quá trình ngẫu nhiên
Lý thuyết xác suất
Tích phân ngẫu nhiên
Quá trình có bước nhảy
Miêu tả: 55 tr. + CD-ROM + tóm tắt
Luận văn ThS. Lý thuyết xác suất và thống kê toán học -- Trường Đại học Khoa học Tự nhiên. Đại học Quốc gia Hà Nội, 2013
Tập trung nghiên cứu một số vấn đề cơ bản của giải tích ngẫu nhiên đối với các quá trình có bước nhảy. Xây dựng được công thức tích phân ngẫu nhiên đối với các quá trình có bước nhảy: các công thức quan trọng khác như công thức tích phân ngẫu nhiên Itô đối với quá trình có bước nhảy, định lý Girsanov về biến đổi độ đo,... cũng được tác giả đưa ra và chứng minh. Nêu ra một số vấn đề liên quan đến giải tích ngẫu nhiên đối với các quá trình có bước nhảy: công thức Itô cho các quá trình semimartingale và semimartingale mũ có bước nhảy; các quá trình ngẫu nhiên có bước nhảy điển hình Poisson và Lévy. Mở ra cho người viết những hướng nghiên cứu tiếp sau này về giải tích ngẫu nhiên đối với các quá trình có bước nhảy bởi các bài toán trong kinh tế, tài chính và điều khiển học,. . . luôn gặp các quá trình có bước nhảy
Lời nói đầu
Giải tích ngẫu nhiên truyền thống nghiên cứu về vi phân ngẫu nhiên, tích phân
ngẫu nhiên Itô và ứng dụng đối với các hệ động lực chi phối bởi chuyển động
Brown.
Cùng sự phát triển nghiên cứu ứng dụng, người ta nhận thấy giải tích ngẫu
nhiên Itô không đủ nghiên cứu các hệ động lực mô tả và chi phối bởi các quá trình
có bước nhảy. Nhiều quá trình trong thực tế không liên tục theo thời gian mà có
biến đổi theo kiểu nhảy bậc, thí dụ như giá bất động sản hay giá của các tài sản cơ
sở nào đó. Quá trình Poisson và Poisson phức hợp là các ví dụ rất phổ biến dùng
trong kỹ thuật và trong kinh tế tài chính, đó là những quá trình có bước nhảy. Do
đó hình thành nghiên cứu về giải tích ngẫu nhiên đối với các quá trình có bước
nhảy. Trên thế giới, giải tích ngẫu nhiên đối với các quá trình có bước nhảy đã
được nghiên cứu mạnh vào khoảng cuối thế kỷ 20, với các tác giả như R.S.Bass,
R.Cont và P.Tankov với nhiều ứng dụng trong kinh tế, tài chính và trong kỹ thuật.
Chính khả năng ứng dụng thực tế to lớn của lý thuyết này là lý do tui chọn đó là
nội dung nghiên cứu của luận văn này.
Luận văn này đề cập các vấn đề cơ bản của giải tích ngẫu nhiên đối với các
quá trình có bước nhảy, như tích phân ngẫu nhiên, công thức đổi biến Itô, định lý
Girsanov, cùng các quá trình có bước nhảy quan trọng là quá trình Poisson, quá
trình Lévy,... Các tài liệu cơ bản để chuẩn bị cho luận văn này là ba tài liệu quan
trọng của Bass, Cont và cuốn sách về tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi
iiphân ngẫu nhiên của tác giả Philip Protter.
Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Tích phân ngẫu nhiên đối với quá trình có bước nhảy
Chương 3: Các vấn đề liên quan
iii
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phiMục lục
Lời Thank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.Quá trình ngẫu nhiên và các quỹ đạo cadlag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.Quá trình đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2. Chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.Quá trình thích nghi với bộ lọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4.Thời điểm dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.2. Nội dung trực quan của khái niệm "Thời điểm dừng" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5.Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6.Phân tích Doob-Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7.Quá trình khả đoán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.8.Thời điểm dừng khả đoán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.9.Semimartingales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Chương 2. Tích phân ngẫu nhiên đối với quá trình có bước nhảy . . . . . . . . . 11
2.1.Biến phân bậc hai của một quá trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
iv2.1.2. Tính chất của biến phân bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3. Biến phân bậc hai của một số quá trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.Biến phân bậc hai và martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.Biến phân bậc hai và semimartingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.Tích phân ngẫu nhiên đối với quá trình có bước nhảy. . . . . . . . . . . . . 16
2.5.Công thức Itô đối với quá trình có bước nhảy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5.1. Công thức Itô cho các quá trình có bước nhảy hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5.2. Công thức Itô cho quá trình khuếch tán có bước nhảy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.3. Hệ quả của công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Chương 3. Các vấn đề liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.Công thức Itô đối với các quá trình semimartingale và semimartingale
mũ có bước nhảy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.1. Công thức Itô đối với quá trình semimartingale có bước nhảy . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.2. Công thức Itô đối với quá trình semimartingale mũ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.Định lý Girsanov đối với các quá trình có bước nhảy . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.1. Độ đo xác suất tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.2. P-martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.3. Định lý Girsanov đối với các quá trình có bước nhảy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.Quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.1. Định nghĩa quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.2. Quá trình Poisson đối trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.3. Độ đo ngẫu nhiên và các quá trình điểm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.4. Độ đo ngẫu nhiên Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.5. Độ đo ngẫu nhiên Poisson đối trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.6. Tích phân ngẫu nhiên đối với độ đo ngẫu nhiên Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.Quá trình Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.2. Các bước nhảy của quá trình Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
v
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi3.4.3. Quá trình Lévy là một semimartingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.4. Biểu thức phân tích một quá trình Lévy và công thức Lévy-Khintchin . . . . . . . . . 52
Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
viChương 1
Các kiến thức chuẩn bị
Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị cho Luận văn, bao gồm các định
nghĩa về các quá trình: đo được, thích nghi, quá trình ngẫu nhiên, quá trình khả
đoán, quá trình semimartingale, quá trình bước nhảy; thời điểm dừng khả đoán,
martingale, martingale trên, martingale dưới và phân tích Doob-Meyer.
Cho (W;F;P) là một không gian xác suất.
1.1. Quá trình ngẫu nhiên và các quỹ đạo cadlag
Đối tượng nghiên cứu của quá trình ngẫu nhiên là họ các biến ngẫu nhiên phụ
thuộc tham số t 2 T nào đó.
Giả sử T là tập vô hạn nào đó. Nếu với mỗi t 2 T, Xt là biến ngẫu nhiên thì ta
kí hiệu X = fXt;t 2 Tg là hàm ngẫu nhiên với tham biến t 2 T.
• Nếu T là tập đếm được thì ta gọi X = fXt;t 2 Tg là quá trình ngẫu nhiên với
tham số rời rạc.
• Nếu T = N thì ta gọi X = fXn;n 2 Tg là dãy biến ngẫu nhiên.
1
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi• Nếu T thuộc một trong các tập sau: (−¥;+¥);[a;+¥);(−¥;b];(a;b];[a;b];
(a;b];(a;b) thì ta gọi X = fXt;t 2 T g là quá trình ngẫu nhiên với tham số liên
tục.
• Nếu T ⊂ Rd thì ta gọi X = fXt;t 2 T g là trường ngẫu nhiên.
Ta sẽ xét các hàm cadlag f (t) được định nghĩa như sau.
Với mỗi w, ta xét một quỹ đạo f (t) = Xw(t) của quá trình ngẫu nhiên X(t).
Định nghĩa 1.1. Hàm cadlag
Hàm f : [0;T] ! Rd được gọi là cadlag nếu nó liên tục phải có giới hạn trái,
nghĩa là với mỗi t 2 [0;T] các giới hạn
f (t−) = lim
s!t;s
s!t;s>t
f (s) (1.1)
tồn tại và f (t) = f (t+):
Hiển nhiên, mọi hàm liên tục là cadlag song điều ngược lại không đúng. Nếu t
là điểm không liên tục, ta ký hiệu
4 f (t) = f (t) − f (t−) (1.2)
là "cỡ bước nhảy" của f ở t.
Ví dụ hàm cadlag là hàm có bước nhảy ở thời điểm T0, giá trị của nó ở thời điểm
T0 được định nghĩa là giá trị sau bước nhảy f = 1[T0;T)(t): Trong trường hợp này
f (T0−) = 0; f (T0+) = 1 và 4 f (T0) = 1: Tổng quát hơn, cho hàm liên tục g : [0;T] !
R và các hằng số fi; i = 0;1;:::;n −1; t0 = 0 ≤ t1 ≤ ::: ≤ tn = T, thì hàm dưới đây
là hàm cadlag
f (t) = g(t)+
n−1
∑i=0
fi1[ti;ti+1]: (1.3)
Hàm g được giải thích như là thành phần liên tục của f , các bước nhảy của f xuất
hiện ở ti; i ≥ 1 với D f (ti) = fi − fi−1. Không phải mọi hàm cadlag đều có khai
triển thành thành phần liên tục và thành phần bước nhảy.
21.2. Quá trình đo được
1.2.1. Định nghĩa
Một quá trình ngẫu nhiên X : (Xt;t ≥ 0) được gọi là đo được nếu nó đo được đối
với s-trường tích BR+ ⊗ F. Điều đó có nghĩa là, với mọi tập B 2 BR+ ⊗ F, tập
hợp:
f(t;w) : X(t;w) 2 Bg
thuộc về s-trường tích BR+ ⊗ F. Đó là s-trường nhỏ nhất chứa các tập có dạng
[0;t]×A với t 2 R+;A 2 F:
1.2.2. Chú ý
a) Mọi quá trình liên tục là đo được.
b) Nếu X là một quá trình đo được thì mọi quỹ đạo của nó Xw(t) đều là những
hàm thực Borel trên R+:
1.3. Quá trình thích nghi với bộ lọc
a) Một họ các s-trường con Ft ⊂ F được gọi là một bộ lọc thỏa mãn các điều
kiện thông thường nếu:
i) Đó là một họ tăng, tức là Fs ⊂ Ft nếu s < t.
ii) Họ đó là liên tục phải, tức là Ft = T
e>0
Ft+e:
iii) Mọi tập P-bỏ qua được A 2 F đều chứa trong F0 (do đó nằm trong mọi
Ft).
3
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phib) Cho một quá trình ngẫu nhiên X : (Xt;t ≥ 0). Xét họ s-trường FtX sinh bởi
biến ngẫu nhiên Xt(w), tức là FtX = s(Xs;0 ≤ s ≤ t): Khi đó họ (FtX;t ≥ 0)
được gọi là bộ lọc tự nhiên của quá trình X, hay lịch sử của X.
c) Cho một bộ lọc bất kỳ (Ft;t 2 R+) trên (W;F). Một quá trình Y được gọi là
thích nghi với bộ lọc này nếu với mọi t, Yt là đo được với s-trường Ft.
Mọi quá trình X = (Xt;t 2 R+) là thích nghi với lịch sử của nó (FtX;t 2 R+):
d) Cho một quá trình X với lịch sử của nó là (FtX;t 2 R+): Một quá trình Y bất
kỳ là thích nghi với lịch sử (FtX) của quá trình X nếu và chỉ nếu Yt(w) có thể
biểu diễn được dưới dạng
Kết luận
Luận văn đã tập trung nghiên cứu một số vấn đề cơ bản của giải tích ngẫu
nhiên đối với các quá trình có bước nhảy. Trong khuôn khổ của luận văn, người
viết đã xây dựng được công thức tích phân ngẫu nhiên đối với các quá trình có
bước nhảy. Các công thức quan trọng khác như công thức tích phân ngẫu nhiên Itô
đối với quá trình có bước nhảy, định lý Girsanov về biến đổi độ đo,... cũng được
tác giả đưa ra và chứng minh. Ngoài ra trong chương 3, người viết cũng nêu ra một
số vấn đề liên quan đến giải tích ngẫu nhiên đối với các quá trình có bước nhảy. Đó
là công thức Itô cho các quá trình semimartingale và semimartingale mũ có bước
nhảy; các quá trình ngẫu nhiên có bước nhảy điển hình Poisson và Lévy.
Luận văn cũng mở ra cho người viết những hướng nghiên cứu tiếp sau này về
giải tích ngẫu nhiên đối với các quá trình có bước nhảy bởi các bài toán trong kinh
tế, tài chính và điều khiển học,. . . luôn gặp các quá trình có bước nhảy.
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links
Last edited by a moderator: