hong_sjunhen
New Member
LINK TẢI LUẬN VĂN MIỄN PHÍ CHO AE KET-NOI
MỞ ĐẦU
Học phần cơ học lượng tử nâng cao là môn học bắt buộc đối với học viên cao học chuyên ngành Phương pháp Giảng dạy Vật lý và chuyên ngành Vật lý Lý thuyết-Vật lý Toán, nó nhằm bổ sung và nâng cao một số kiến thức cơ học lượng tử như các phương pháp tính gần đúng trong cơ học lượng tử, lý thuyết tán xạ lượng tử, cơ học lượng tử tương đối tính,... Các kiến thức này là cơ sở để học viên tiếp thu các kiến thức về Vật lý thống kê, Vật lý chất rắn, Cơ sở lý thuyết trường lượng tử,...
Với mục tiêu như trên, nội dung của môn học được xây dựng trong 4 chương. Chương I khái quát lại các cơ sở của cơ học lượng tử (cơ sở toán học, các tiên đề của cơ học lượng tử, nguyên lý bất định Heisenberg, phương trình Schrõdinger, sự biến đổi theo thời gian của giá trị trung bình các đại lượng vật lý,...). Chương II trình bày các phương pháp gần đúng để giải phương trình Schrõdinger thường được sử dụng trong cơ học lượng tử. Chương III trình bày lý thuyết tán xạ lượng tử. Chương IV trình bày khái quát cơ học lượng tử tương đối tính, bao gồm một số phương trình cơ bản (Phương trình Klein-Gordon, phương trình Dirac, phương trình Pauli,...), một số khái niệm cơ bản (Mật độ xác suất tương đối tính và mật độ dòng xác suất tương đối tính, spin và mômen từ của hạt vi mô,...). Ngoài ra, các học viên cao học Vật lý Lý thuyết -Vật lý Toán còn có 15 tiết để khảo sát sâu hơn về cấu trúc các trạng thái nguyên tử, lý thuyết lượng tử về bức xạ, hiệu ứng Zeemann dị thường, các trạng thái năng lượng âm, tính bất biến của phương trình Dirac.
Để giúp học viên nắm chắc các kiến thức của môn học, số thời gian dành cho học viên rèn luyện các kỹ năng vận dụng và giải các bài tập, xêmine chiếm 1/4 thời lượng của môn học.
1
2
4
Chương 1
Cơ sở của cơ học lượng tử
1.1 Cơ sở toán học của cơ học lượng tử 1.1.1 Toán tử:
a) Định nghĩa: Toán tử là một phép toán tác dụng vào một hàm này thì biến đổi thành một hàm khác.
ở đây, Aˆ không phụ thuộc vào biến x và phép lấy đạo hàm theo x. Đặc biệt nếu:
C = 0 : Aˆψ(x) = 0, Aˆ là toán tử không, C=1 :Aˆψ(x)=ψ(x),Aˆ làtoántửđơnvị.
+ Phép lấy liên hiệp phức:
Aˆψ(x) = ψ∗(x).
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 5 b) Toán tử tuyến tính: Toán tử Aˆ được gọi là toán tử tuyến tính nếu nó
thoả mãn tính chất sau:
Aˆ(c1ψ1 + c2ψ2) = c1Aˆψ1 + c2Aˆψ2. (1.2)
Tronghệthứctrên,ψ1 vàψ2 làhaihàmbấtkỳ,c1 vàc2 làhaihằngsố bất kỳ.
Ví dụ: Aˆ = (d/dx) là toán tử tuyến tính vì
d (c1ψ1 +c2ψ2)=c1dψ1 +c2dψ2.
Còn toán tử lấy liên hiệp phức không phải là toán tử tuyến tính vì
Aˆ(c1ψ1 + c2ψ2) = (c1ψ1 + c2ψ2)∗ = c∗1ψ1∗ + c∗2ψ2∗ = c∗1Aˆψ1 + c∗2Aˆψ2 ̸= c1Aˆψ1 + c2Aˆψ2.
Các phép tính trên toán tử
dx dxdx
1.1.2
Cho ba toán tử Aˆ,Bˆ,Cˆ. ta định nghĩa các phép tính toán tử sau:
a) Tổng hai toán tử: Sˆ được gọi là tổng của hai toán tử Aˆ,Bˆ, ký hiệu
là
Sˆ ≡ Aˆ + Bˆ nếu ∀ψ(x), Sˆψ(x) = Aˆψ(x) + Bˆψ(x). (1.3) b) Hiệu hai toán tử: Dˆ được gọi là hiệu hai toán tử Aˆ,Bˆ, ký hiệu
Dˆ ≡Aˆ−Bˆ nếu ∀ψ(x),Dˆψ(x)=Aˆψ(x)−Bˆψ(x). (1.4) c) Tích hai toán tử: Pˆ ≡ AˆBˆ là tích của hai toán tử Aˆ và Bˆ nếu
Pˆψ(x) = (AˆBˆ)ψ(x) = Aˆ !Bˆψ(x)" . (1.5) Tích của hai toán tử nói chung là không giao hoán, nghĩa là AˆBˆ ̸= BˆAˆ.
Chẳng hạn, cho thì ta có
Aˆ = d , Bˆ = x dx
AˆBˆψ(x) = d (xψ(x)) = ψ(x) + xdψ(x), dx dx
còn
BˆAˆψ(x) = xdψ(x) ̸= AˆBˆψ(x) = ψ(x) + xdψ(x), dx dx
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 6 rõ ràng BˆAˆ ̸= AˆBˆ, nên Aˆ, Bˆ không giao hoán nhau.
Nếu Aˆ = x2, Bˆ = x thì
AˆBˆψ(x) = x3ψ(x) = BˆAˆψ(x)
hai toán tử Aˆ, Bˆ giao hoán nhau.
d) Giao hoán tử của hai toán tử Aˆ và Bˆ được định nghĩa là [Aˆ,Bˆ] ≡
AˆBˆ − BˆAˆ. Nếu Aˆ và Bˆ giao hoán thì AˆBˆ = BˆAˆ, do đó giao hoán tử của chúng bằng không, nghĩa là [Aˆ, Bˆ] = 0. Nếu hai toán tử không giao hoán thì [Aˆ,Bˆ] = AˆBˆ − BˆAˆ ̸= 0 hay [Aˆ,Bˆ] ̸= 0.
1.1.3 Hàm riêng, trị riêng và phương trình trị riêng của toán tử
Xét một toán tử Aˆ, khi cho Aˆ tác dụng lên một hàm ψ(x) nào đó, ta có thể thu được chính hàm đó nhân với một hằng số:
Aˆψ(x) = aψ(x). (1.6)
(1.6) là một phương trình, dạng của ψ(x) có thể thu được từ việc giải phương trình trên.
Ta bảo ψ(x) là hàm riêng với trị riêng a của toán tử Aˆ. Và việc giải phương trình (1.6) có thể cho ta biết các hàm riêng và trị riêng của toán tử Aˆ. Nếu có s hàm riêng có cùng một trị riêng a, thì ta bảo toán tử Aˆ có trị riêng suy biến bậc s. Các trị riêng có thể biến thiên gián đoạn hay liên tục.
Trong cơ học lượng tử, hàm riêng phải thoả mãn các điều kiện chuẩn sau:
- Hàm ψ(x) phải tồn tại, xác định trên toàn miền biến thiên của các biến độc lập.
- Trong miền tồn tại, hàm ψ(x) và đạo hàm bậc nhất của nó dψ(x)/dx phải hữu hạn, liên tục (trừ một số điểm đặc biệt).
- Hàm ψ(x) phải xác định đơn trị
1.1.4 Toán tử tự liên hợp tuyến tính (toán tử hermitic)
Toán tử tuyến tính Aˆ+ được gọi là toán tử liên hợp tuyến tính với toán tử tuyến tính Aˆ nếu:
∀ψ1(x), ψ2(x), # ψ1∗(x)Aˆψ2(x)dx = # !Aˆ+ψ1(x)"∗ ψ2(x)dx. (1.7) VV
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 7 Nếu Aˆ+ = Aˆ thì ta bảo Aˆ là toán tử tự liên hợp tuyến tính, hay toán
tử hermitic, nghĩa là:
# ψ1∗(x)Aˆψ2(x)dx = # !Aˆψ1(x)"∗ ψ2(x)dx. VV
Nếu ta đưa ra ký hiệu mới về tích vô hướng hai hàm sóng
⟨ψ1(x)|ψ2(x)⟩ = # theo đó (1.8) được viết lại như sau:
(1.8)
(1.9)
ψ1∗(x)ψ2(x)dx, ⟨ψ1(x)|Aˆψ2(x)⟩ = ⟨Aˆψ1(x)|ψ2(x)⟩.
V
Ví dụ 1: Aˆ = (d/dx) có phải là toán tử hermitic không? Muốn biết, ta tính
# +∞ψ∗Aˆφdx=# +∞ψ∗dφdx. −∞ −∞dx
Đặt u = ψ∗, dv = (dφ/dx).dx, thì
# +∞ ψ∗Aˆφdx = ψ∗φ|x=+∞ − # +∞ φdψ∗ dx,
−∞ x=−∞ −∞ dx
vì các hàm ψ(x),φ(x) → 0 khi x → ±∞ nên ψ∗φ|x=+∞ = 0,
x=−∞
# +∞ψ∗Aˆφdx=−# +∞φdψ∗dx̸=# +∞φ$dψ%∗dx=# +∞!Aˆψ"∗φdx.
−∞ −∞ dx −∞ dx −∞
Vậy Aˆ = (d/dx) không phải là toán tử hermitic.
Ví dụ 2: Aˆ = i(d/dx) có phải là toán tử hermitic không? Ta có:
# +∞ ψ∗Aˆφdx = −i# +∞ φdψ∗dx = # +∞ φ$−idψ∗%dx = # +∞ φ$idψ%∗ dx, −∞ −∞ dx −∞ dx −∞ dx
# +∞ ψ∗Aˆφdx = # +∞ !Aˆψ"∗ φdx. ˆ−∞ −∞
Vậy A = i(d/dx) là toán tử hermitic.
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 8 1.1.5 Các tính chất của toán tử hermitic
a) Trị riêng của toán tử hermitic là số thực.
Giả thiết toán tử hermitic Aˆ có trị riêng gián đoạn với phương trình
trị riêng
Ta có: ⟨ψn|Aˆψn⟩ = ⟨Aˆψn|ψn⟩ vì Aˆ hermitic, nghĩa là:
Aˆ ψ n = a n ψ n .
an⟨ψn|ψn⟩ = a∗⟨ψn|ψn⟩ =⇒
Mục lục
1 Cơ sở của cơ học lượng tử 4
1.1 Cơ sở toán học của cơ học lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Toántử: . . . . 4
1.1.2 Các phép tính trên toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Hàm riêng, trị riêng và phương trình trị riêng của toántử . . . . 6
1.1.4 Toán tử tự liên hợp tuyến tính (toán tử hermitic) . . . 6
1.1.5 Các tính chất của toán tử hermitic . . . . . . . . . . . 8
1.2 Các tiên đề của cơ học lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Tiên đề 1: Trạng thái và thông tin . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Tiên đề 2: Các đại lượng động lực . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Tiên đề 3: Phép đo các đại lượng động lực . . . . . . . 10
1.2.4 Giá trị trung bình của biến số động lực . . . . . . . . . 11
1.2.5 Tính hệ số phân tíchci . . . 11
1.3 Sự đo đồng thời hai đại lượng vật lý . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Sự đo chính xác đồng thời hai đại lượng vật lý . . . . . 12
1.3.2 Phép đo hai đại lượng động lực không xác định đồng
thời. Nguyên lý bất định Heisenberg. . . . . . . . . . . 13
1.4 Phương trình Schrõdinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 Phương trình Schrõdinger phụ thuộc thời gian . . . . . 15
1.4.2 Mật độ dòng xác suất. Sự bảo toàn số hạt . . . . . . . 16
1.4.3 Phương trình Schrõdinger không phụ thuộc thời gian.
Trạng thái dừng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Sự biến đổi theo thời gian của các đại lượng động lực . . . . . 19
1.5.1 Đạo hàm của toán tử động lực theo thời gian . . . . . 19
2 Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 22
2.1 Nhiễu loạn dừng trong trường hợp không suy biến . . . . . . . 23
2.2 Lý thuyết nhiễu loạn dừng trong trường hợp có suy biến . . . 26
2.2.1 Lý thuyết nhiễu loạn khi có hai mức gần nhau . . . . . 26
2.2.2 Lý thuyết nhiễu loạn dừng khi có suy biến: . . . . . . . 31
2.3 Hiệu ứng Stark trong nguyên tử Hydro . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 Sự chuyển dời lượng tử của hệ vi mô sang các trạng thái mới
dưới ảnh hưởng của nhiễu loạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6 NguyêntửHêli . . . . 44
2.7 Phương pháp trường tự hợp Hartree-Fok . . . . . . . . . . . . 48
2.7.1 Nguyên lý biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7.2 Phương pháp trường tự hợp Hartree-Fok . . . . . . . . 52
3 Lý thuyết tán xạ lượng tử 57
3.1 Biên độ tán xạ và tiết diện tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.1 Tiết diện tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.2 Biên độ tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1.3 Tán xạ đàn hồi của các hạt không có spin . . . . . . . 60
3.2 Tán xạ đàn hồi trong phép gần đúng Born . . . . . . . . . . . 65
3.3 Phương pháp sóng riêng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4 Cơ học lượng tử tương đối tính 74
4.1 Phương trình Klein-Gordon (K-G) . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Phương trình Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3 Mật độ xác suất và mật độ dòng xác suất trong lý thuyết Dirac 81
4.4 Nghiệm của phương trình Dirac đối với hạt chuyển động tự do 83
4.5 Spin của hạt được mô tả bằng phương trình Dirac . . . . . . . 85
4.6 Chuyển từ phương trình Dirac sang phương trình Pauli. Mô-mentừcủahạt. . . . 87
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
MỞ ĐẦU
Học phần cơ học lượng tử nâng cao là môn học bắt buộc đối với học viên cao học chuyên ngành Phương pháp Giảng dạy Vật lý và chuyên ngành Vật lý Lý thuyết-Vật lý Toán, nó nhằm bổ sung và nâng cao một số kiến thức cơ học lượng tử như các phương pháp tính gần đúng trong cơ học lượng tử, lý thuyết tán xạ lượng tử, cơ học lượng tử tương đối tính,... Các kiến thức này là cơ sở để học viên tiếp thu các kiến thức về Vật lý thống kê, Vật lý chất rắn, Cơ sở lý thuyết trường lượng tử,...
Với mục tiêu như trên, nội dung của môn học được xây dựng trong 4 chương. Chương I khái quát lại các cơ sở của cơ học lượng tử (cơ sở toán học, các tiên đề của cơ học lượng tử, nguyên lý bất định Heisenberg, phương trình Schrõdinger, sự biến đổi theo thời gian của giá trị trung bình các đại lượng vật lý,...). Chương II trình bày các phương pháp gần đúng để giải phương trình Schrõdinger thường được sử dụng trong cơ học lượng tử. Chương III trình bày lý thuyết tán xạ lượng tử. Chương IV trình bày khái quát cơ học lượng tử tương đối tính, bao gồm một số phương trình cơ bản (Phương trình Klein-Gordon, phương trình Dirac, phương trình Pauli,...), một số khái niệm cơ bản (Mật độ xác suất tương đối tính và mật độ dòng xác suất tương đối tính, spin và mômen từ của hạt vi mô,...). Ngoài ra, các học viên cao học Vật lý Lý thuyết -Vật lý Toán còn có 15 tiết để khảo sát sâu hơn về cấu trúc các trạng thái nguyên tử, lý thuyết lượng tử về bức xạ, hiệu ứng Zeemann dị thường, các trạng thái năng lượng âm, tính bất biến của phương trình Dirac.
Để giúp học viên nắm chắc các kiến thức của môn học, số thời gian dành cho học viên rèn luyện các kỹ năng vận dụng và giải các bài tập, xêmine chiếm 1/4 thời lượng của môn học.
1
2
4
Chương 1
Cơ sở của cơ học lượng tử
1.1 Cơ sở toán học của cơ học lượng tử 1.1.1 Toán tử:
a) Định nghĩa: Toán tử là một phép toán tác dụng vào một hàm này thì biến đổi thành một hàm khác.
ở đây, Aˆ không phụ thuộc vào biến x và phép lấy đạo hàm theo x. Đặc biệt nếu:
C = 0 : Aˆψ(x) = 0, Aˆ là toán tử không, C=1 :Aˆψ(x)=ψ(x),Aˆ làtoántửđơnvị.
+ Phép lấy liên hiệp phức:
Aˆψ(x) = ψ∗(x).
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 5 b) Toán tử tuyến tính: Toán tử Aˆ được gọi là toán tử tuyến tính nếu nó
thoả mãn tính chất sau:
Aˆ(c1ψ1 + c2ψ2) = c1Aˆψ1 + c2Aˆψ2. (1.2)
Tronghệthứctrên,ψ1 vàψ2 làhaihàmbấtkỳ,c1 vàc2 làhaihằngsố bất kỳ.
Ví dụ: Aˆ = (d/dx) là toán tử tuyến tính vì
d (c1ψ1 +c2ψ2)=c1dψ1 +c2dψ2.
Còn toán tử lấy liên hiệp phức không phải là toán tử tuyến tính vì
Aˆ(c1ψ1 + c2ψ2) = (c1ψ1 + c2ψ2)∗ = c∗1ψ1∗ + c∗2ψ2∗ = c∗1Aˆψ1 + c∗2Aˆψ2 ̸= c1Aˆψ1 + c2Aˆψ2.
Các phép tính trên toán tử
dx dxdx
1.1.2
Cho ba toán tử Aˆ,Bˆ,Cˆ. ta định nghĩa các phép tính toán tử sau:
a) Tổng hai toán tử: Sˆ được gọi là tổng của hai toán tử Aˆ,Bˆ, ký hiệu
là
Sˆ ≡ Aˆ + Bˆ nếu ∀ψ(x), Sˆψ(x) = Aˆψ(x) + Bˆψ(x). (1.3) b) Hiệu hai toán tử: Dˆ được gọi là hiệu hai toán tử Aˆ,Bˆ, ký hiệu
Dˆ ≡Aˆ−Bˆ nếu ∀ψ(x),Dˆψ(x)=Aˆψ(x)−Bˆψ(x). (1.4) c) Tích hai toán tử: Pˆ ≡ AˆBˆ là tích của hai toán tử Aˆ và Bˆ nếu
Pˆψ(x) = (AˆBˆ)ψ(x) = Aˆ !Bˆψ(x)" . (1.5) Tích của hai toán tử nói chung là không giao hoán, nghĩa là AˆBˆ ̸= BˆAˆ.
Chẳng hạn, cho thì ta có
Aˆ = d , Bˆ = x dx
AˆBˆψ(x) = d (xψ(x)) = ψ(x) + xdψ(x), dx dx
còn
BˆAˆψ(x) = xdψ(x) ̸= AˆBˆψ(x) = ψ(x) + xdψ(x), dx dx
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 6 rõ ràng BˆAˆ ̸= AˆBˆ, nên Aˆ, Bˆ không giao hoán nhau.
Nếu Aˆ = x2, Bˆ = x thì
AˆBˆψ(x) = x3ψ(x) = BˆAˆψ(x)
hai toán tử Aˆ, Bˆ giao hoán nhau.
d) Giao hoán tử của hai toán tử Aˆ và Bˆ được định nghĩa là [Aˆ,Bˆ] ≡
AˆBˆ − BˆAˆ. Nếu Aˆ và Bˆ giao hoán thì AˆBˆ = BˆAˆ, do đó giao hoán tử của chúng bằng không, nghĩa là [Aˆ, Bˆ] = 0. Nếu hai toán tử không giao hoán thì [Aˆ,Bˆ] = AˆBˆ − BˆAˆ ̸= 0 hay [Aˆ,Bˆ] ̸= 0.
1.1.3 Hàm riêng, trị riêng và phương trình trị riêng của toán tử
Xét một toán tử Aˆ, khi cho Aˆ tác dụng lên một hàm ψ(x) nào đó, ta có thể thu được chính hàm đó nhân với một hằng số:
Aˆψ(x) = aψ(x). (1.6)
(1.6) là một phương trình, dạng của ψ(x) có thể thu được từ việc giải phương trình trên.
Ta bảo ψ(x) là hàm riêng với trị riêng a của toán tử Aˆ. Và việc giải phương trình (1.6) có thể cho ta biết các hàm riêng và trị riêng của toán tử Aˆ. Nếu có s hàm riêng có cùng một trị riêng a, thì ta bảo toán tử Aˆ có trị riêng suy biến bậc s. Các trị riêng có thể biến thiên gián đoạn hay liên tục.
Trong cơ học lượng tử, hàm riêng phải thoả mãn các điều kiện chuẩn sau:
- Hàm ψ(x) phải tồn tại, xác định trên toàn miền biến thiên của các biến độc lập.
- Trong miền tồn tại, hàm ψ(x) và đạo hàm bậc nhất của nó dψ(x)/dx phải hữu hạn, liên tục (trừ một số điểm đặc biệt).
- Hàm ψ(x) phải xác định đơn trị
1.1.4 Toán tử tự liên hợp tuyến tính (toán tử hermitic)
Toán tử tuyến tính Aˆ+ được gọi là toán tử liên hợp tuyến tính với toán tử tuyến tính Aˆ nếu:
∀ψ1(x), ψ2(x), # ψ1∗(x)Aˆψ2(x)dx = # !Aˆ+ψ1(x)"∗ ψ2(x)dx. (1.7) VV
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 7 Nếu Aˆ+ = Aˆ thì ta bảo Aˆ là toán tử tự liên hợp tuyến tính, hay toán
tử hermitic, nghĩa là:
# ψ1∗(x)Aˆψ2(x)dx = # !Aˆψ1(x)"∗ ψ2(x)dx. VV
Nếu ta đưa ra ký hiệu mới về tích vô hướng hai hàm sóng
⟨ψ1(x)|ψ2(x)⟩ = # theo đó (1.8) được viết lại như sau:
(1.8)
(1.9)
ψ1∗(x)ψ2(x)dx, ⟨ψ1(x)|Aˆψ2(x)⟩ = ⟨Aˆψ1(x)|ψ2(x)⟩.
V
Ví dụ 1: Aˆ = (d/dx) có phải là toán tử hermitic không? Muốn biết, ta tính
# +∞ψ∗Aˆφdx=# +∞ψ∗dφdx. −∞ −∞dx
Đặt u = ψ∗, dv = (dφ/dx).dx, thì
# +∞ ψ∗Aˆφdx = ψ∗φ|x=+∞ − # +∞ φdψ∗ dx,
−∞ x=−∞ −∞ dx
vì các hàm ψ(x),φ(x) → 0 khi x → ±∞ nên ψ∗φ|x=+∞ = 0,
x=−∞
# +∞ψ∗Aˆφdx=−# +∞φdψ∗dx̸=# +∞φ$dψ%∗dx=# +∞!Aˆψ"∗φdx.
−∞ −∞ dx −∞ dx −∞
Vậy Aˆ = (d/dx) không phải là toán tử hermitic.
Ví dụ 2: Aˆ = i(d/dx) có phải là toán tử hermitic không? Ta có:
# +∞ ψ∗Aˆφdx = −i# +∞ φdψ∗dx = # +∞ φ$−idψ∗%dx = # +∞ φ$idψ%∗ dx, −∞ −∞ dx −∞ dx −∞ dx
# +∞ ψ∗Aˆφdx = # +∞ !Aˆψ"∗ φdx. ˆ−∞ −∞
Vậy A = i(d/dx) là toán tử hermitic.
Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở của cơ học lượng tử 8 1.1.5 Các tính chất của toán tử hermitic
a) Trị riêng của toán tử hermitic là số thực.
Giả thiết toán tử hermitic Aˆ có trị riêng gián đoạn với phương trình
trị riêng
Ta có: ⟨ψn|Aˆψn⟩ = ⟨Aˆψn|ψn⟩ vì Aˆ hermitic, nghĩa là:
Aˆ ψ n = a n ψ n .
an⟨ψn|ψn⟩ = a∗⟨ψn|ψn⟩ =⇒
Mục lục
1 Cơ sở của cơ học lượng tử 4
1.1 Cơ sở toán học của cơ học lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Toántử: . . . . 4
1.1.2 Các phép tính trên toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Hàm riêng, trị riêng và phương trình trị riêng của toántử . . . . 6
1.1.4 Toán tử tự liên hợp tuyến tính (toán tử hermitic) . . . 6
1.1.5 Các tính chất của toán tử hermitic . . . . . . . . . . . 8
1.2 Các tiên đề của cơ học lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Tiên đề 1: Trạng thái và thông tin . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Tiên đề 2: Các đại lượng động lực . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Tiên đề 3: Phép đo các đại lượng động lực . . . . . . . 10
1.2.4 Giá trị trung bình của biến số động lực . . . . . . . . . 11
1.2.5 Tính hệ số phân tíchci . . . 11
1.3 Sự đo đồng thời hai đại lượng vật lý . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Sự đo chính xác đồng thời hai đại lượng vật lý . . . . . 12
1.3.2 Phép đo hai đại lượng động lực không xác định đồng
thời. Nguyên lý bất định Heisenberg. . . . . . . . . . . 13
1.4 Phương trình Schrõdinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 Phương trình Schrõdinger phụ thuộc thời gian . . . . . 15
1.4.2 Mật độ dòng xác suất. Sự bảo toàn số hạt . . . . . . . 16
1.4.3 Phương trình Schrõdinger không phụ thuộc thời gian.
Trạng thái dừng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Sự biến đổi theo thời gian của các đại lượng động lực . . . . . 19
1.5.1 Đạo hàm của toán tử động lực theo thời gian . . . . . 19
2 Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử 22
2.1 Nhiễu loạn dừng trong trường hợp không suy biến . . . . . . . 23
2.2 Lý thuyết nhiễu loạn dừng trong trường hợp có suy biến . . . 26
2.2.1 Lý thuyết nhiễu loạn khi có hai mức gần nhau . . . . . 26
2.2.2 Lý thuyết nhiễu loạn dừng khi có suy biến: . . . . . . . 31
2.3 Hiệu ứng Stark trong nguyên tử Hydro . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 Sự chuyển dời lượng tử của hệ vi mô sang các trạng thái mới
dưới ảnh hưởng của nhiễu loạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6 NguyêntửHêli . . . . 44
2.7 Phương pháp trường tự hợp Hartree-Fok . . . . . . . . . . . . 48
2.7.1 Nguyên lý biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7.2 Phương pháp trường tự hợp Hartree-Fok . . . . . . . . 52
3 Lý thuyết tán xạ lượng tử 57
3.1 Biên độ tán xạ và tiết diện tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.1 Tiết diện tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.2 Biên độ tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1.3 Tán xạ đàn hồi của các hạt không có spin . . . . . . . 60
3.2 Tán xạ đàn hồi trong phép gần đúng Born . . . . . . . . . . . 65
3.3 Phương pháp sóng riêng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4 Cơ học lượng tử tương đối tính 74
4.1 Phương trình Klein-Gordon (K-G) . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Phương trình Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3 Mật độ xác suất và mật độ dòng xác suất trong lý thuyết Dirac 81
4.4 Nghiệm của phương trình Dirac đối với hạt chuyển động tự do 83
4.5 Spin của hạt được mô tả bằng phương trình Dirac . . . . . . . 85
4.6 Chuyển từ phương trình Dirac sang phương trình Pauli. Mô-mentừcủahạt. . . . 87
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links
Last edited by a moderator: