LINK TẢI LUẬN VĂN MIỄN PHÍ CHO AE KET-NOI
Mở đầu
Hình học xạ ảnh là một môn hình học tổng quát sử dụng công cụ tuyến tính. Nhiều
định lý hình học nổi tiếng cũng như nhiều bài toán hình học hay trở nên đơn giản dưới
góc nhìn của hình học xạ ảnh. Vì vậy, sử dụng hình học xạ ảnh là công cụ hữu hiệu
trong việc giải và sáng tạo các bài toán hình học sơ cấp.
Mục đích của luận văn là trình bày một số khái niệm trong mặt xạ ảnh, mô hình
xạ ảnh của mặt phẳng affine và đặc biệt là ứng dụng hình học xạ ảnh để giải và sáng
tạo một số định lý và bài toán trong hình học sơ cấp.
Nội dung chính của luận văn được trình bày trong hai chương: Chương 1 - Cơ sở lý
thuyết và Chương 2 - Ứng dụng hình học xạ ảnh trong hình học sơ cấp.
Trong chương 1, chúng tui trình bày các kiến thức cơ sở về mặt phẳng xạ ảnh và mô
hình xạ ảnh của mặt phẳng affine. Mục đầu tiên của chương này giới thiệu khái niệm
về mặt phẳng xạ ảnh P 2 liên kết với một không gian véc tơ thực 3 chiều V 3 ; mục tiêu
và tọa độ xạ ảnh; khái niệm và phương trình đường thẳng trong P 2 ; tỷ số kép trong
P 2 và đường bậc hai trong P 2 . Trong mục tiếp theo, chúng tui trình bày mô hình xạ
ảnh của mặt phẳng affine. Mục cuối cùng của chương này giới thiệu về ánh xạ xạ ảnh,
đặc biệt là phép chiếu xuyên tâm, và trình bày về tính đối ngẫu trong không gian xạ
ảnh.
Chương 2 của luận văn trình bày về ứng dụng của mặt phẳng xạ ảnh và mô hình
xạ ảnh của mặt phẳng affine vào việc giải và sáng tạo một số định lý và bài toán hình
học sơ cấp.
Chọn trước một đường thẳng ∆ trong mặt phẳng xạ ảnh P 2 . Khi đó trên tập hợp
A2 = P 2 \ ∆ có cấu trúc mặt phẳng affine. Các điểm nằm trên đường thẳng ∆ khi
đó được gọi là các điểm vô tận. Từ một định lý hay một bài toán trong mặt phẳng
xạ ảnh P 2 , bằng cách chọn đường thẳng ∆ thích hợp ta có thể sáng tạo ra nhiều bài
toán khác nhau trong mặt phẳng affine. Luận văn trình bày việc chuyển đổi này đối
5
với một số định lý nổi tiếng và một số bài toán trong mặt phẳng xạ ảnh. Với cách làm
này, chúng ta thu được nhiều kết quả hay của hình học sơ cấp.
Trong phần cuối của chương 2, chúng tui trình bày ứng dụng của tính đối ngẫu
trong không gian xạ ảnh để sáng tạo các bài toán mới từ một số bài toán cho trước.
Đồng thời, chúng tui trình bày ứng dụng của phép chiếu xuyên tâm trong một số bài
toán chứng minh hình học.
Do thời gian hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất
mong nhận được sự góp ý từ quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Tác giả
Văn Đức Chín
6
Chương 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1
Mặt phẳng xạ ảnh
Ở mục này, chúng tui trình bày sơ lược về mặt phẳng xạ ảnh và một số yếu tố liên
quan được sử dụng trong các phần tiếp theo của luận văn.
1.1.1
Định nghĩa
Cho V 3 là một không gian vectơ thực 3- chiều. Ta ký hiệu [V 3 ] là tập hợp các
không gian vectơ con một chiều của V 3 . Một mặt phẳng xạ ảnh thực liên kết với không
gian V 3 là một bộ ba (P, p, V 3 ), trong đó P là một tập khác rỗng và p : [V 3 ] −→ P
là một song ánh, kí hiệu P 2 . Mỗi phần tử A ∈ P 2 được gọi là một điểm. Nếu điểm
M ∈ P 2 , M = p(V 1 ) và ~0 6= ~x ∈ V 3 , sao cho V 1 = h~xi, khi đó ta gọi ~x là vectơ đại
diện cho điểm M .
Nhận xét: Hai véc tơ cùng thay mặt cho một điểm thì cộng tuyến với nhau. Hai véc
tơ thay mặt cho hai điểm phân biệt thì độc lập tuyến tính.
1.1.2
Mục tiêu và tọa độ xạ ảnh
Trong mặt phẳng xạ ảnh P 2 hệ điểm {M1 , M2 , M3 } được gọi là hệ điểm độc lập nếu
hệ các vectơ thay mặt tương ứng của chúng {~x1 , ~x2 , ~x3 } độc lập tuyến tính.
Hệ điểm {A1 , A2 , A3 ; E} được gọi là một mục tiêu ứng với cơ sở thay mặt {~e1 , ~e2 , ~e3 }
trong P 2 nếu {A1 , A2 , A3 } độc lập và ~e = ~e1 + ~e2 + ~e3 , trong đó ~e 6= ~0 là vectơ đại diện
của E và ~ei là vectơ thay mặt cho Ai , với i = 1, 2, 3.
Giả sử {A1 , A2 , A3 ; E} là mục tiêu ứng với cơ sở {~e1 , ~e2 , ~e3 } và M ∈ P 2 có vectơ đại
diện là ~x. Khi đó, nếu ~x = x1~e1 + x2~e2 + x3~e3 thì bộ ba (x1 : x2 : x3 ) được gọi là tọa
7
độ điểm M đối với mục tiêu đã cho và ta viết M (x1 : x2 : x3 ).
1.1.3
Đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh
Cho V 2 là một không gian véc tơ con 2 chiều của không gian véc tơ V 3 . Kí hiệu
[V 2 ] là tập tất cả các không gian véc tơ con 1 chiều của V 2 . Khi đó tập hợp p([V 2 ])
được gọi là đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh P 2 , ký hiệu là P 1 hay ∆.
Giả sử đường thẳng ∆ đi qua hai điểm phân biệt M1 , M2 ∈ P 2 và điểm X(x1 , x2 , x3 ) ∈
∆. Khi đó ta có
[X] = t1 [M1 ] + t2 [M2 ],
(t21 + t22 6= 0),
với [X], [M1 ], [M2 ] là các ma trận tọa độ cột của các điểm X, M1 , M2 . Từ đó ta có
phương trình của ∆ là a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = 0 (a1 , a2 , a3 không đồng thời bằng 0). Bộ
số (a1 , a2 , a3 ) được gọi là tọa độ của đường thẳng ∆ đối với mục tiêu đã chọn.
1.1.4
Tỉ số kép trong P 2
Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng: Trong P 2 với mục tiêu cho trước, cho bốn điểm
phân biệt A, B, C, D cùng thuộc một đường thẳng. Giả sử
[C] = k1 [A] + l1
và
[D] = k2 [A] + l2 .
Khi đó, tỉ số kép của bốn điểm A, B, C, D được ký hiệu là [A, B, C, D] và được xác
định bởi
l1 l2
: .
k1 k2
Nếu [A, B, C, D] = −1 ta nói A, B, C, D là một hàng điểm điều hòa (hay cặp C, D chia
[A, B, C, D] =
điều hòa cặp điểm A, B).
Tỉ số kép của chùm bốn đường thẳng: Cho chùm bốn đường thẳng phân biệt α, β, γ, δ
trong P 2 . Với mục tiêu cho trước, giả sử bốn đường thẳng α, β, γ, δ có ma trận tọa độ
lần lượt là [α], [β[, [γ[, [δ[. Ta có
[γ] = µ1 [α] + λ1 [β],
[δ] = µ2 [α] + λ2 [β],
trong đó, µ1 , µ2 , λ1 , λ2 là các hệ số thực khác không. Tỉ số kép của chùm bốn đường
thẳng trên được xác định bởi
[α, β, γ, δ] =
8
λ1 λ2
: .
µ1 µ2
Nếu [α, β, γ, δ] = −1 ta nói α, β, γ, δ lập thành chùm đường thẳng điều hòa.
Nhận xét: nếu chùm bốn đường thẳng α, β, γ, δ bị cắt bởi một đường thẳng tương
ứng tại bốn điểm A, B, C, D thì ta có [α, β, γ, δ] = [A, B, C, D]. Đặc biệt, nếu chùm
bốn đường thẳng α, β, γ, δ điều hòa thì A, B, C, D là một hàng điểm điều hòa.
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
Mở đầu
Hình học xạ ảnh là một môn hình học tổng quát sử dụng công cụ tuyến tính. Nhiều
định lý hình học nổi tiếng cũng như nhiều bài toán hình học hay trở nên đơn giản dưới
góc nhìn của hình học xạ ảnh. Vì vậy, sử dụng hình học xạ ảnh là công cụ hữu hiệu
trong việc giải và sáng tạo các bài toán hình học sơ cấp.
Mục đích của luận văn là trình bày một số khái niệm trong mặt xạ ảnh, mô hình
xạ ảnh của mặt phẳng affine và đặc biệt là ứng dụng hình học xạ ảnh để giải và sáng
tạo một số định lý và bài toán trong hình học sơ cấp.
Nội dung chính của luận văn được trình bày trong hai chương: Chương 1 - Cơ sở lý
thuyết và Chương 2 - Ứng dụng hình học xạ ảnh trong hình học sơ cấp.
Trong chương 1, chúng tui trình bày các kiến thức cơ sở về mặt phẳng xạ ảnh và mô
hình xạ ảnh của mặt phẳng affine. Mục đầu tiên của chương này giới thiệu khái niệm
về mặt phẳng xạ ảnh P 2 liên kết với một không gian véc tơ thực 3 chiều V 3 ; mục tiêu
và tọa độ xạ ảnh; khái niệm và phương trình đường thẳng trong P 2 ; tỷ số kép trong
P 2 và đường bậc hai trong P 2 . Trong mục tiếp theo, chúng tui trình bày mô hình xạ
ảnh của mặt phẳng affine. Mục cuối cùng của chương này giới thiệu về ánh xạ xạ ảnh,
đặc biệt là phép chiếu xuyên tâm, và trình bày về tính đối ngẫu trong không gian xạ
ảnh.
Chương 2 của luận văn trình bày về ứng dụng của mặt phẳng xạ ảnh và mô hình
xạ ảnh của mặt phẳng affine vào việc giải và sáng tạo một số định lý và bài toán hình
học sơ cấp.
Chọn trước một đường thẳng ∆ trong mặt phẳng xạ ảnh P 2 . Khi đó trên tập hợp
A2 = P 2 \ ∆ có cấu trúc mặt phẳng affine. Các điểm nằm trên đường thẳng ∆ khi
đó được gọi là các điểm vô tận. Từ một định lý hay một bài toán trong mặt phẳng
xạ ảnh P 2 , bằng cách chọn đường thẳng ∆ thích hợp ta có thể sáng tạo ra nhiều bài
toán khác nhau trong mặt phẳng affine. Luận văn trình bày việc chuyển đổi này đối
5
với một số định lý nổi tiếng và một số bài toán trong mặt phẳng xạ ảnh. Với cách làm
này, chúng ta thu được nhiều kết quả hay của hình học sơ cấp.
Trong phần cuối của chương 2, chúng tui trình bày ứng dụng của tính đối ngẫu
trong không gian xạ ảnh để sáng tạo các bài toán mới từ một số bài toán cho trước.
Đồng thời, chúng tui trình bày ứng dụng của phép chiếu xuyên tâm trong một số bài
toán chứng minh hình học.
Do thời gian hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất
mong nhận được sự góp ý từ quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Tác giả
Văn Đức Chín
6
Chương 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1
Mặt phẳng xạ ảnh
Ở mục này, chúng tui trình bày sơ lược về mặt phẳng xạ ảnh và một số yếu tố liên
quan được sử dụng trong các phần tiếp theo của luận văn.
1.1.1
Định nghĩa
Cho V 3 là một không gian vectơ thực 3- chiều. Ta ký hiệu [V 3 ] là tập hợp các
không gian vectơ con một chiều của V 3 . Một mặt phẳng xạ ảnh thực liên kết với không
gian V 3 là một bộ ba (P, p, V 3 ), trong đó P là một tập khác rỗng và p : [V 3 ] −→ P
là một song ánh, kí hiệu P 2 . Mỗi phần tử A ∈ P 2 được gọi là một điểm. Nếu điểm
M ∈ P 2 , M = p(V 1 ) và ~0 6= ~x ∈ V 3 , sao cho V 1 = h~xi, khi đó ta gọi ~x là vectơ đại
diện cho điểm M .
Nhận xét: Hai véc tơ cùng thay mặt cho một điểm thì cộng tuyến với nhau. Hai véc
tơ thay mặt cho hai điểm phân biệt thì độc lập tuyến tính.
1.1.2
Mục tiêu và tọa độ xạ ảnh
Trong mặt phẳng xạ ảnh P 2 hệ điểm {M1 , M2 , M3 } được gọi là hệ điểm độc lập nếu
hệ các vectơ thay mặt tương ứng của chúng {~x1 , ~x2 , ~x3 } độc lập tuyến tính.
Hệ điểm {A1 , A2 , A3 ; E} được gọi là một mục tiêu ứng với cơ sở thay mặt {~e1 , ~e2 , ~e3 }
trong P 2 nếu {A1 , A2 , A3 } độc lập và ~e = ~e1 + ~e2 + ~e3 , trong đó ~e 6= ~0 là vectơ đại diện
của E và ~ei là vectơ thay mặt cho Ai , với i = 1, 2, 3.
Giả sử {A1 , A2 , A3 ; E} là mục tiêu ứng với cơ sở {~e1 , ~e2 , ~e3 } và M ∈ P 2 có vectơ đại
diện là ~x. Khi đó, nếu ~x = x1~e1 + x2~e2 + x3~e3 thì bộ ba (x1 : x2 : x3 ) được gọi là tọa
7
độ điểm M đối với mục tiêu đã cho và ta viết M (x1 : x2 : x3 ).
1.1.3
Đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh
Cho V 2 là một không gian véc tơ con 2 chiều của không gian véc tơ V 3 . Kí hiệu
[V 2 ] là tập tất cả các không gian véc tơ con 1 chiều của V 2 . Khi đó tập hợp p([V 2 ])
được gọi là đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh P 2 , ký hiệu là P 1 hay ∆.
Giả sử đường thẳng ∆ đi qua hai điểm phân biệt M1 , M2 ∈ P 2 và điểm X(x1 , x2 , x3 ) ∈
∆. Khi đó ta có
[X] = t1 [M1 ] + t2 [M2 ],
(t21 + t22 6= 0),
với [X], [M1 ], [M2 ] là các ma trận tọa độ cột của các điểm X, M1 , M2 . Từ đó ta có
phương trình của ∆ là a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = 0 (a1 , a2 , a3 không đồng thời bằng 0). Bộ
số (a1 , a2 , a3 ) được gọi là tọa độ của đường thẳng ∆ đối với mục tiêu đã chọn.
1.1.4
Tỉ số kép trong P 2
Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng: Trong P 2 với mục tiêu cho trước, cho bốn điểm
phân biệt A, B, C, D cùng thuộc một đường thẳng. Giả sử
[C] = k1 [A] + l1
và
[D] = k2 [A] + l2 .
Khi đó, tỉ số kép của bốn điểm A, B, C, D được ký hiệu là [A, B, C, D] và được xác
định bởi
l1 l2
: .
k1 k2
Nếu [A, B, C, D] = −1 ta nói A, B, C, D là một hàng điểm điều hòa (hay cặp C, D chia
[A, B, C, D] =
điều hòa cặp điểm A, B).
Tỉ số kép của chùm bốn đường thẳng: Cho chùm bốn đường thẳng phân biệt α, β, γ, δ
trong P 2 . Với mục tiêu cho trước, giả sử bốn đường thẳng α, β, γ, δ có ma trận tọa độ
lần lượt là [α], [β[, [γ[, [δ[. Ta có
[γ] = µ1 [α] + λ1 [β],
[δ] = µ2 [α] + λ2 [β],
trong đó, µ1 , µ2 , λ1 , λ2 là các hệ số thực khác không. Tỉ số kép của chùm bốn đường
thẳng trên được xác định bởi
[α, β, γ, δ] =
8
λ1 λ2
: .
µ1 µ2
Nếu [α, β, γ, δ] = −1 ta nói α, β, γ, δ lập thành chùm đường thẳng điều hòa.
Nhận xét: nếu chùm bốn đường thẳng α, β, γ, δ bị cắt bởi một đường thẳng tương
ứng tại bốn điểm A, B, C, D thì ta có [α, β, γ, δ] = [A, B, C, D]. Đặc biệt, nếu chùm
bốn đường thẳng α, β, γ, δ điều hòa thì A, B, C, D là một hàng điểm điều hòa.
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links
Sửa lần cuối: