manloveman1979
New Member
Download miễn phí Luận văn Một số định lý thác triển hội tụ trong lý thuyết hàm hình học
MỤC LỤC
Trang
Lời nói đầu . . . 1
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. . . 3
1.1. Không gian phức hyperbolic . . 3
1.2. Không gian phức nhúng hyperbolic . . 7
1.3. Một số định lý thác triển ánh xạ chỉnh hình . . 11
Chương 2: Một số định lý thác triển hội tụ . . 19
2.1. Định lý thác triển hội tụ Noguchi . . 19
2.2. Một số định lý thác triển hội tụ qua các siêu mặt . 25
Kết luận . . . . 46
Tài liệu tham khảo . . . 47
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
điểm trên( )kS r
, thì
( )kf z y
khi
k
.
Ta viết
1( ,..., ) :
N
Nf f f U
. Không mất tính chất tổng quát ta có thể
giả thiết
1 1
1 1
1 1
lim ( ) 0,
lim ( ) 0,
lim ( ) 0.
k
k
k
k
k
k
f y
f y
f z y
Từ đó, với mọi
0k k
ta có
1 1 1( ) ( ) ( ).k k kf z f f
Nói cách khác,
1( )kf z
không nằm trong ảnh của hai đường tròn
,k k
qua
các ánh xạ f.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Vì vậy ta có thể tìm được một lân cận đơn liên của
1 1( ) ( )k kf f
mà
không giao với một đĩa tâm 0, bán kính đủ nhỏ trong
.
Giả sử
1( ,..., )N
là các hàm tọa độ trong N , khi đó
1 1f f
. Với
cách chọn các lân cận ở trên, với k đủ lớn ta có
1
1 1 1 1
( )
log( ( )) 0 log( ( ))
k k
k k
f
d f z d f f z
,
1
1 1 1 1
( )
log( ( )) 0 log( ( ))
k k
k k
f
d f z d f f z
.
Do đó,
1 1log( ( )) 0
k k
kd f f z
. (*)
Mặt khác, theo định lý Rouche [11], ta có
1 1
1
log( ( ))
2 k k
kd f f z N P
i
,
trong đó N là số các không điểm và P là số các cực điểm của
1 1( )kf f z
trong vành khuyên
kA
. Rõ ràng
0P
, và
1N
vì có ít nhất một không điểm
tại
kz
. Do đó,
1N P
. Điều này mâu thuẫn với (*). Vậy định lý được
chứng minh.
,
Với các kết quả của Kwack và Kobayashi, năm 1972 Kiernan ([6]) đã mở
rộng được định lý Picard lớn lên trường hợp nhiều chiều bởi 3K -định lý. Để
trình bày 3K -định lý ta cần một số khái niệm và kết quả sau.
1.3.3. Bổ đề. Giả sử X là không gian con phức compact tương đối, nhúng
hyperbolic trong không gian phức Y. Giả sử
{ : * }kf X
là dãy các ánh xạ
chỉnh hình và
{ },{ }k kz z
là các dãy trong
Δ*
hội tụ tới 0 trong thỏa mãn
( )k kf z y Y
.
Khi đó
(i)
( )k kf z y
khi
k
;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
(ii)
(0)kf y
khi
k
.
Chứng minh. Theo tính chất của giả khoảng cách Kobayashi, ta có mỗi ánh xạ
chỉnh hình
: *kf X
đều có thác triển chỉnh hình qua điểm 0. Do đó
(0)kf
cũng xác định.
Như vậy ta suy ra điều phải chứng minh.
,
1.3.4. Định nghĩa. Giả sử M là một đa tạp phức và A là một divisor. Ta nói A
có giao chuẩn tắc nếu tại mỗi điểm, tồn tại một hệ tọa độ phức
1,..., mz z
trong
M sao cho về địa phương
*\ r sM A
với
r s m
.
Từ đó, về địa phương A được xác định bởi phương trình
1... 0rz z
.
Ta nói rằng A có giao chuẩn tắc đơn nếu sau khi biểu diễn
jA A
như
là tổng các thành phần bất khả quy, tất cả các
jA
không có kỳ dị và A có giao
chuẩn tắc.
1.3.5. Định lý ( 3K -định lý). Giả sử A là divisor có giao chuẩn tắc trong đa
tạp phức M. Giả sử X là không gian con phức compact tương đối, nhúng
hyperbolic trong không gian phức Y. Khi đó mỗi ánh xạ chỉnh hình
: \f M A X
thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình
:f M Y
.
Chứng minh. Theo giả thiết ta có thể giả sử
mM và *\ r sM A với r s m .
Ta chứng minh quy nạp theo
dimm M
. Ta chia thành 3 bước
1. Nếu
\ *M A
thì kết quả là định lý 1.3.2.
2. Giả sử ta có thể thác triển f với *\ nM A với n nào đó. Ta sẽ chứng
minh f có thác triển với *\ n sM A với mọi s.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Ta viết
1 1( , ) ( ,..., , ,..., )n st t t
là các biến trong n s . Giả sử
*: n sf X
là ánh xạ chỉnh hình.
Với mỗi t ta đặt
( ) ( , )tf f t
. Theo giả thiết quy nạp, ta có thể thác triển
tf
thành ánh xạ chỉnh hình trên n với mỗi t. Theo hệ quả của định lý thác
triển Riemann, ta chỉ cần chứng minh ánh xạ
( , ) ( , )t f t
là liên tục.
Giả sử ngược lại, f không liên tục tại một điểm nào đó, giả sử là
( ,0)
.
Khi đó, tồn tại dãy các điểm
*
k{( , )}
n s
kt
hội tụ về
( ,0)
mà
( , ) ( ,0)k kf t y f
.
Ta chỉ cần chỉ ra mâu thuẫn trong trường hợp
1s
. Định nghĩa ánh xạ
: * ; ( ) ( , )k k kf X f z f z
.
Vì
0kt
và
( ) ( , )k k k kf t f t y
, theo bổ đề 1.3.3, ta có
(0) ( ,0)k kf f y
.
Nhưng
tf
liên tục với mỗi t, nên
(0) ( ,0) ( ,0)k kf f f y
. Điều này
là vô lý. Vậy f liên tục.
3. Giả sử f có thác triển nếu *\ n sM A với mọi s. Ta chứng minh f
thác triển được nếu * 1\ nM A .
Theo giả thiết quy nạp, f thác triển được trên
1 \{(0,...,0)}n
. Do đó ánh
xạ
: *g X
, xác định bởi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
( ) ( ,...,z)g z f z
thác triển được lên toàn bộ . Ta định nghĩa
(0,...,0) (0)f g
.
Theo định lý thác triển Riemann ta chỉ cần chứng minh f liên tục trên 1n .
Giả sử f không liên tục. Khi đó tồn tại dãy
1 * 1( , ) ( ,..., , )n nk k k k kt t
thỏa mãn
( , ) (0,0)k kt
và
( , ) (0,...,0)k kf t y f
.
Áp dụng bổ đề 1.3.3 cho dãy hàm số
( ) ( , )kk k
k
z
f z f t
và dãy điểm
k kz
ta có
( ) ( , )k k k kf z f t y
khi
k
.
Do đó
(0) (0, )k kf f t y
khi
k
. (*)
Mặt khác, lại áp dụng bổ đề 1.3.3 cho dãy
( ) ( ,..., , )k kk k
k k
zt zt
f z f t
t t
và dãy điểm
k kz t
ta có
( ) ( ,..., ) (0,...,0)k k k kf z f t t f
khi
k
.
Do đó
(0) (0, ) (0,...,0)k kf f t f y
khi
k
.
Điều này mâu thuẫn với (*). Vậy f liên tục.
,
Chú ý. Định lý được chứng minh đầu tiên bởi Kwack khi
X Y
là
compact và A là tùy ý (không có điều kiện gì về kỳ dị). Sau khi đưa ra khái
niệm nhúng hyperbolic, Kobayashi đã chứng minh trong trường hợp X là
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
nhúng hyperbolic trong Y và A không có kỳ dị. Kết quả trên của Kiernan
chứng minh trong trường hợp A có giao chuẩn tắc. Ví dụ sau là của Kiernan
chứng tỏ rằng nếu X không là compact thì các điều kiện về kỳ dị là cần thiết.
1.3.6. Ví dụ
Xét
1 1( \{1, 1}) P ( ) P ( )X
.
Vì và
\ {1, 1}
đều là nhúng hyperbolic trong
1P ( )
, nên X là nhúng
hyperbolic trong
1 1P ( ) P ( )
. Đặt
M
và
{( , ) 0A z z
hay
}z
.
Ta có A không phải là có giao chuẩn tắc. Xét ánh xạ
: \f M A X
bởi
( , ) ( , / )f z z z
.
Khi đó f không thác triển được lên toàn bộ M vì
(0,0)f
không xác định.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Chương 2
MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ
Trong chương này trước tiên chúng tui trình bày chứng minh định lý thác
triển hội tụ của Noguchi bằng ngôn ngữ họ chuẩn tắc đều. Tiếp theo là một số
kết quả gần đây của Đỗ Đức Thái về việc chứng minh định lý thác triển hội tụ
kiểu Noguchi đối với các siêu mặt không nhất thiết có giao chuẩn tắc.
2.1. Định lý thác triển hội tụ Noguchi
2.1.1. Định lý (Noguchi [9]). Giả sử A là divisor có giao chuẩn tắc trong đa
tạp phức m chiều M. X là không gian con compact tương đối, nhúng
hyperbolic trong không gian phức Y. Giả sử
: \nf M A X
là dãy các ánh xạ chỉnh hình, hội tụ đều trên các tập con compact của
\M A
tới ánh xạ chỉnh hình
: \f M A X
.
Giả sử
,nf f
là các thác triển chỉnh hình của
,nf f
tương ứng, từ M vào Y.
Khi đó
( , )nf f Hol M Y
trong
( , )Hol M Y
.
Để chứng minh trước hết ta cần một số khái niệm và kết quả sau
2.1.2. Định nghĩa. Giả sử X, Y là các không gian phức. Họ
Hol( , )X YF
được gọi là họ chuẩn tắc đều nếu
Hol( , )M XF
là compact tương đối trong
( , )C M Y
với mỗi đa tạp phức M, trong đó
{ }Y Y
là compact hóa một
điểm của Y.
Nếu
0X
,
0Y
là các ...