Download miễn phí Luận văn Một số tính chất của hàm tựa lồi
MỤC LỤC
Trang
Mở đầu . 1
Chương I
HÀM TỰA LỒI KHÔNG TRƠN
1.1. Các khái niệm và định nghĩa . 3
1.2. Hai tính chất đặc trưng của hàm tựa lồi, nửa liên tục dưới . 7
1.3. Các hàm tựa lõm và tựa affine . 15
1.4. Hàm giả lồi 19
1.5. Hàm không hằng số radian . . 25
Chương II
CÁC HÀM TỰA LỒI CHẶT VÀ BÁN CHẶT KHÔNG TRƠN
2.1. Dưới vi phân Clarke – Rockafellar . 30
2.2. Tính chất đặc trưng cho hàm tựa lồi bán chặt . 36
2.3. Tính chất đặc trưng cho hàm tựa lồi chặt . 43
2.4. Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân . 46
KẾT LUẬN . 50
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . 51
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
liệu – Đại học Thái Nguyên10
Giả thiết (ii) kéo theo
n
, mọi điểm
,nz x y
xác định bởi
1nz x y
thoả mãn
f z f y
.
Do đó theo tính chất nửa liên tục dưới ta có
f z f y
.
Kết quả sau đây chỉ ra rằng một hàm liên tục hay liên tục radian (có nghĩa
là liên tục trên mỗi đoạn ) hai tính chất (Q) và (
Qs
) là tương đương.
Mệnh đề 1.2
Giả sử X là không gian Banach với chuẩn mới
trơn. Mọi hàm liên tục
radian, nửa liên tục dưới thoả mãn tính chất (Q) là hàm tựa lồi.
Chứng minh
Giả sử
, , ,x y X z x y
thoả mãn
,f z max f x f y
.
Áp dụng mệnh đề 1.1 cho các điểm x, z ta nhận được hai dãy
na
và
*na
,
với
na
hội tụ về
,a x z
,
*n na f a
và
* , 0, n na c a n
và
,c x z
. Khi đó, theo tính chất (Q) ta suy ra
nf a f c
.
Vì vậy, sử dụng tính chất nửa liên tục dưới của hàm f ta có
,c z y
f a f c
min
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
Lý luận tương tự như trên thì do
f z f y
ta suy ra
,b z y
sao
cho
,c z y
f b f c
min
.
Vì vậy,
,c x y
f a f b f c
min
.
Vì hàm f là hàm liên tục radian cho nên tồn tại
_
0,1 :
2
f a f z
t t f a t z a
max
.
Áp dụng mệnh đề 1.1 cho điểm
_ _
,a a t z a a z
và y, sử dụng tính
chất (Q) ta suy ra
' ,a a z
sao cho
'f a f b
.
Điều mâu thuẫn nhận được do
'
2
f a f z
f a f b f a
.
Nhắc lại, ánh xạ đa trị
: *A X X
là tựa đơn điệu nếu
,x y X
,
* * * *: , 0 : , 0x A x x y x y A y y y x
.
Sự tương tự giữa tính chất tựa lồi của hàm và tựa đơn điệu của dưới vi phân
của nó đã được nghiên cứu trong [2] cho trường hợp CR .
Mục đích của hai kết quả tiếp theo chỉ ra rằng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
f là hàm tựa lồi
f
là tựa đơn điệu.
và suy luận ngược lại là hệ quả của định lý 1.1.
Mệnh đề 1.3
Giả sử X là không gian Banach. Khi đó dưới vi phân Clarke – Rockafellar
và dưới vi phân Dini trên của hàm tựa lồi
:f X
là tựa đơn
điệu.
Chứng minh
Giả sử rằng f là hàm tựa lồi và giả sử
*, , CR CRx y dom f x f x
sao cho
*, 0x y x
.
Ta chỉ cần chứng minh rằng
, 0f y x y
.
Ta có với
0, 0,
sao cho
*, 0, x v x v B y
.
Cố định
_
v B y
. Bởi vì _
,f x v x
là dương chặt cho nên
' '_' 0, : , ( )
v
u B x B f x và 0,1
sao cho
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
_ _
'_
v
v u B v x
,
và
_
_ _ _
v v v
f u v u f u
.
Từ các bất đẳng thức này theo giả thiết tựa lồi của hàm f ta suy ra
_ _ _
_ , 0,1
v
f v t u v f v t
.
Hơn nữa, từ việc chọn
và
'
suy ra
_
_
v
u v B x y
.
Tổng hợp các bước trên ta có :
0; 0 sao cho
v B y
và
B f y
;
f v
và
0,1t
ta tìm được phương
vw u v B x y
sao cho
0
vf v t u v
t
.
Điều này kéo theo
, 0f y x y
.
Trong trường hợp dưới vi phân Dini trên, từ tính tựa lồi của hàm f ta có
, 0Df x y x f x f y
,
hay
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
, 0Df x f y f y x y
.
Vì vậy nếu
* Dx f x
thoả mãn
*, 0x y x
,
thì ta nhận được
f x f y
.
Vì vậy,
, 0Df y x y
.
Như vậy ta đã chỉ ra rằng
D f
là ánh xạ đa trị tựa đơn điệu.
Định lý 1.2
Giả sử X là không gian Banach, với chuẩn mới
trơn và hàm
:f X
nửa liên tục dưới. Khi đó, f là hàm tựa lồi nếu và chỉ
nếu
f
là tựa đơn điệu.
Chứng minh
Bởi vì dưới vi phân trừu tượng
f
được giả thiết nằm trong
CR f
hay
D f
, cho nên phần “chỉ nếu” được chứng minh từ mệnh đề 1.3.
Để chứng minh phần “nếu”, ta giả sử rằng
f
là tựa đơn điệu, ta phải
chứng minh rằng hàm nửa liên tục dưới f thoả mãn tính chất (
Qs
).
Giả sử
, , x dom f y domf x y
và
,z x y
sao cho
f z f y
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Áp dụng mệnh đề 1.1 cho y, z ta có dãy
_
,ny y x y
và dãy
*ny
thoả mãn
*n ny f y
và
* , 0,n ny x y n
.
Do tính tựa đơn điệu của
f
ta có
*, 0, nx x y n
và
*x f x
.
Khi đó,
_
* *
_
, , 0.
y x
x y x x y x
y x
Như vậy hàm f thoả mãn tính chất (
sQ
).
1.3. Các hàm tựa lõm và hàm tựa affine
Hàm f được gọi là hàm tựa lõm nếu (- f) là hàm tựa lồi. Hàm f được gọi
là tựa affine nếu f và (- f) là hàm tựa lồi.
Ví dụ 1.2. Xét hàm số
2 , 0,
1
0, 0 ,
2
1
2 1, .
2
x khi x
f x khi x
x khi x
Khi đó f là hàm tựa lồi và tựa lõm trên . Do đó f là hàm tựa affine trên .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Xét tính chất hỗn hợp sau đây
* * : , 0 , ,sQ x f x x y x f z f y z x y
.
Đặc trưng tính tựa lõm của hàm f bằng tính chất
sQ
nói chung không thể
suy ra được từ định lý 1.1.
Thật vậy, khi xét hàm (- f ) thay cho hàm f trong định lý 1.1 cho ta đặc
trưng của tính tựa lõm của hàm f theo ngôn ngữ của
f
mà
f
nói chung là khác
f
.
Mệnh đề 1.4
Giả sử X là không gian Banach với chuẩn mới
trơn và hàm
:f X
là liên tục. Khi đó, f là hàm tựa lõm nếu và chỉ nếu
,x y X
, hàm f thoả mãn tính chất
sQ
* * : , 0 , ,sQ x f x x y x f z f y z x y
.
Chứng minh
Suy ra đúng như chứng minh của định lý 1.1.
Giả sử f thoả mãn tính chất
sQ
và
, , ,x y X z x y
thoả mãn
f z f y
.
Từ mệnh đề 1.1 ta suy ra tồn tại hai dãy
,na a z y
và dãy
* *, nn na a f a
thoả mãn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
*
, 0,n na y a n
.
Cho
1 2, t t
là hai số dương thoả mãn
1 20 t t
, sao cho
1 2, z a t a y x a t a y
;
Và xác định hai dãy
, n n...