nguyetletuongtu1
New Member
Download miễn phí Một số vấn đề cơ sở về phương trình nghiệm nguyên
Trong chương trình toán THCS và THPT thì phương trình nghiệm nguyên vẫn luôn là một đề tài hay và khó đối với học sinh .
Các bài toán nghiệm nguyên thường xuyên có mặt tại các kì thi lớn , nhỏ , trong và ngoài nước .
Trong bài viết này tôi chỉ muốn đề cập đến các vấn đề cơ bản của nghiệm nguyên ( các dạng ; các phương pháp giải ) chứ không đi sâu ( vì vốn hiểu biết có hạn ). Tôi cũng sẽ không nói về phương trình Pell ( vì nó có nhiều trong các sách ) và phương trình Pythagore ; Fermat ( cũng có nhiều trong sách ; khái niệm rất đơn giản )
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ VỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆm NGUYÊN Trong chương trình toán THCS và THPT thì phương trình nghiệm nguyên vẫn luôn là một đề tài hay và khó đối với học sinh . Các bài toán nghiệm nguyên thường xuyên có mặt tại các kì thi lớn , nhỏ , trong và ngoài nước . Trong bài viết này tui chỉ muốn đề cập đến các vấn đề cơ bản của nghiệm nguyên ( các dạng ; các phương pháp giải ) chứ không đi sâu ( vì vốn hiểu biết có hạn ). tui cũng sẽ không nói về phương trình Pell ( vì nó có nhiều trong các sách ) và phương trình Pythagore ; Fermat ( cũng có nhiều trong sách ; khái niệm rất đơn giản ) Chú ý : các bạn có thể tìm đọc thêm cuốn “ phương trình và bài toán nghiệm nguyên “ của thầy Vũ Hữu Bình . Phương Pháp 1 Áp Dụng Tính Chia Hết Dạng 1
hương trình dạng Ví dụ 1:: giải phương trình nghiệm nguyên sau : Giải: Có thể dễ dàng thấy chẵn . Đặt . Phương trình trở thành : Từ đó ta có nghiệm phương trình này : Chú ý : Ta còn có cách thứ để tìm nghiệm của phương trình trên . Đó là phương pháp tìm nghiệm riêng để giải phương trình bậc nhất ẩn Ta dựa vào định lí sau : Nếu phương trình với có tập nghiệm là thì mọi nghiệm của phương trình nhận từ công thức : Định lí này chứng minh không khó ( bằng cách thế trực tiếp vào phương trình ) Dựa vào định lý này ; ta chỉ cần tìm nghiệm riêng của phương trình . Đối với các phương trình có hệ số nhỏ thì việc tìm nghiệm khá đơn giản nhưng với các phương trình có lớn thì không dễ dàng chút nào . Do đó ta phải dùng đến thuật toán ơ cơ lit ( các bạn có thể tìm đọc các sách ; tui sẽ không nói nhiều về thuật toán này ) . Ngoài ra còn có thêm phương pháp hàm Euler . Dạng 2 : Đưa về phương trình ước số : Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : Giải : Lập bảng dễ dàng tìm được nghiệm phương trình trên . Ví dụ 3:Giải phương trình nghiệm nguyên sau : Giải : là số chưa biết ; sẽ được xác định sau . Xét phương trình : Chọn Từ đó ta có phương trình ước số : Dạng 3hương pháp tách các giá trị nguyên Ví dụ 4: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : Giải : Phương Pháp 2 : Phương Pháp Lựa Chọn Modulo ( hay còn gọi là xét số dư từng vế ) Trước tiên ta có các tính chất cơ bản sau : số chính phương chia dư ; chia dư ; chia dư Ví Dụ 5 : Giải phương trình nghiệm nguyên sau : Giải: Còn Do đó phương trình trên vô nghiệm. Có thể mở rộng thêm cho nhiều modulo như và mở rộng cho số lập phương ; tứ phương ; ngũ phương....... Ta đến với Ví Dụ sau : Ví dụ 6: Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau : Giải: Dễ thấy Mặt khác : chẵn thì ; lẻ thì Còn ( vô lí) Do đó phương trình trên vô nghiệm. Chú ý : Nhiều bài toán nghiệm nguyên trong đề thi vô địch toán các nước đôi khi phải xét đến modulo khác lớn ; ta xét đến ví dụ sau : Ví Dụ 7 Balkan1998) Giải phương trình nghiệm nguyên sau : Giải: ( vô lí) Do đó phương trình này vô nghiệm. Chỉ dòng ; thật ngắn gọn và đẹp phải không nào. Nói chung để xét modulo hiệu quả còn phải tùy thuộc vào sự nhạy bén của người làm toán. Nói thêm : Đối với các phương trình nghiệm nguyên có sự tham gia của các số lập phương thì modulo thường dùng là vì ( hãy tự chứng minh ) Ta xét Ví Dụ sau . Ví Dụ 8 : Giải phương trình nghiệm nguyên sau : Dựa vào nhận xét trên : Còn ( vô lí). Do đó phương trình trên vô nghiệm .Phương Pháp 3 : Dùng Bất Đẳng Thức Dạng 1 : Đối với các phương trình mà các biến có vai trò như nhau thì người ta thường dùng phương pháp sắp xếp thứ tự các biến . Ví Dụ 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau : Giải : Không mất tính tổng quát có thể giả sử Nghiệm phương trình là Dạng 2 : Đối với các phương trình nghịch đảo các biến ta cũng có thể dùng phương pháp này ( nếu vai trò các biến cũng như nhau ) Cách giải khác dành cho Ví Dụ 9: Chia vế phương trình trên cho ta được : Giải: Không mất tính tổng quát có thể giả sử và . Ta xét đến Ví Dụ tiếp theo để thấy sự hiệu quả của phương pháp này Ví Dụ 10 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau : Giải: Không mất tính tổng quát có thể giả sử . Lần lượt thử : phương trình vô nghiệm nguyên Xét Mặc khác . Ta thử lần lượt. phương trình vô nghiệm nguyên Xét Mặc khác . Vậy nghiệm phương trình là và các hoán vị. Dạng 3 : Áp Dụng Các Bất Đẳng Thức Cổ Điển. Ví Dụ 11 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau : Giải: Áp Dụng BDT Cauchy cho 3 số ; ta được Dấu xảy ra Từ phương trình ( phương trình ước số ; dễ dàng tìm được rồi tìm ra ) Đáp số : nghiệm phương trình là Ghi chú : Việc Áp Dụng BDT vào bài toán nghiệm nguyên rất ít dùng vì ẩn ý dùng BDT rất dễ bị "lộ" nếu người ra đề không khéo léo. Tuy nhiên cũng có vài trường hợp dùng BDT khá hay . Ta đến với Ví Dụ sau. Ví Dụ 12 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau với là các số đôi khác nhau. Giải: Áp dụng BDT quen thuộc sau : Vì khác nhau Lần lượt thử các giá trị của ta tìm được Đáp số : và các hoán vị . Dạng 4 : Áp dụng tính đơn điệu của bài toán . Ta chỉ ra hay vài giá trị của biến thoả phương trình rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất . Ví Dụ 13 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau Giải: phương trình vô nghiệm nguyên ; thoả mãn . Do đó là nghiệm duy nhất của phương trình . Còn phương trình này thì sao nhỉ : Bằng cách tương tự ; dễ dàng nhận ra là nghiệm duy nhất . Nói thêm : Đối với phương trình trên ; ta có bài toán tổng quát hơn . Tìm các số nguyên dương thoả : . Đáp số đơn giản là nhưng cách giải trên vô tác dụng với bài này . Để giải bài này thì hữu hiệu nhất là xét modulo ( các phương trình chứa ẩn ở mũ thì phương pháp tốt nhất vẫn là xét modulo ) . Phần này chỉ nói thêm nên chúng ta tạm thời không giải bài toán này bây giờ mà sẽ để lại dịp khác . Dạng 5 : Dùng điều kiện hay để phương trình bậc có nghiệm . Ví Dụ 14 : Giải phương trình nghiệm nguyên sau : Giải: Giải bất phương trình trên không khó ; dễ dàng suy ra được : Do nguyên nên dễ dàng khoanh vùng được giá trị của và thử chọn. Nói chung thì phương pháp này được dùng khi có dạng ( hay ) với hệ số . Còn khi thì dùng phương pháp đã nói đến trong ví dụ để đưa về phương trình ước số cách nhanh chóng.
Phương Pháp 4: Phương pháp chặn hay ta có thể gọi nó bằng cái tên khác là đẹp hơn là phương pháp đánh giá. Phương pháp đánh giá cơ bản dựa vào nhận xét sau : 1/ không tồn tại thoả với 2/ nếu với thì Ta đến với Ví Dụ sau Ví Dụ 15: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : Xét hiệu Xét hiệu Theo nhận xét trên Thế vào phương trình ban đầu Nhận xét trên có thể mở rộng với số lập phương ; ta đến với ví dụ tiếp theo : Ví Dụ 16: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : Giải: Bằng cách trên ta có được : hay hay lần lượt xét ta tìm được các nghiệm phương trình là: Phương Pháp 5: Dùng tính chất của số chính phương . Dạng 1 : Trước tiên ta đến với mệnh đề sau : với thì Chứng minh mệnh đề này không khó ; ta chứng minh bằng phản chứng : Giả sử không là số chính phương nên trong phân tích thành ước nguyên tố của hay tồn tại 1 số chứa ít nhất 1 ước nguyê...