Download miễn phí Phép tính vi phân của hàm số
§3.2. CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
CỦA CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN
1. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TÍNH ĐẠO HÀM
Việc chứng minh các mệnh đề sau đây dành cho sinh viên
như là bài tập.
Mệnh đề 3.2.1. Nếu hàm số f khả vi (có đạo hàm) tại x thì f liên tục tại x
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
CHƯƠNG 3PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
§3.1. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
1. ĐẠO HÀM
Cho hàm số
:f D
và x là điểm trong của D, nghĩa là có
lân cận
( , )V x x
của x chứa trong D. Nếu tỉ số
( ) ( )f s f x
s x
có giới hạn khi
s x
thì giá trị của giới hạn này được gọi là đạo
hàm của f tại x và được ký hiệu là
( )f x
, nghĩa là,
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) lim lim .
hs x
f s f x f x h f x
f x
s x h
Ta cũng hay viết
( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x h f x f s f x
và
( ) ,x s x x h x
do đó
0
( )
( ) lim .
x
f x
f x
x
Nếu đặt
( )y f x
thì
( )f x
còn được ký hiệu là
dy
dx
hay
x
D y
.
Nếu hai giới hạn sau đây tồn tại
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
lim và lim
s x s x
f s f x f s f x
k k
s x s x
thì hai giá trị k1 và k2 lần lượt được gọi là đạo hàm bên trái và đạo
hàm bên phải của f tại x. Dĩ nhiên rằng f có đạo hàm tại x khi và chỉ
khi f có đạo hàm hai bên tại x, đồng thời giá trị đạo hàm hai bên
bằng nhau.
Trường hợp mọi điểm thuộc D đều là điểm trong của D thì ta
nói D là tập hợp mở trong , và lúc đó nếu f có đạo hàm tại mọi
điểm x thuộc D thì ta có đạo hàm bậc nhất
:
( ),
f D
x f x
và khi hàm số
f
cũng có đạo hàm thì ta có đạo hàm bậc hai của f là
:
( ) ( ) ( ),
f D
x f x f x
lúc đó
( )f x
cũng được viết là
2
2
d y
dx
hay
2
x
D y
(nếu đặt
( )y f x
).
Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung
2
Tổng quát, ta có định nghĩa đạo hàm bậc n của f theo kiểu qui nạp
1
( 1) ( ) 1
1
( ) ( ) ( ) hay hay ( ).
n n
n n n n
x x xn n
d y d d y
f x f x D y D D y
dxx x
2. Ý NGHĨA ĐẠO HÀM & ĐỊNH NGHĨA SỰ KHẢ VI
Giả sử hàm số
:f D
có đạo hàm tại x.
a) Khái niệm tiếp tuyến
Gọi (C) là đồ thị của hàm số f, nghĩa là
2
( ) ; ( )C x f x x D
. Xét các điểm thuộc (C) là
; ( )M x f x
và
; ( )M s f s
thì tỉ số
( ) ( )f s f x
s x
là hệ số góc cát tuyến MM’ của đường
cong (C), tức là giá trị tan của góc lượng giác hợp bởi tia Ox với tia
MM’:
Theo định nghĩa đạo hàm, khi
s x
thì M’ tiến về M trên (C), hệ số
góc của cát tuyến MM’ tiến về một giá trị giới hạn k, cũng có nghĩa
là cát tuyến MM’ di chuyển đến một vị trí giới hạn Mt mà ta gọi là
tiếp tuyến tại M của (C). Hệ số góc của tiếp tuyến chính là
( ).k f x
Giá trị
( )k f x
cũng nói lên độ dốc của (C) tại M, hay độ biến
f(s)
f(x)
M’
M
t
x s
x
O
y
Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến
3
thiên của hàm số f tại x. Do đó, tiếp tuyến Mt của (C) tại điểm
; ( )
M M
M x f x
có phương trình là
( ) : ( ) ( ).( )
M M M
Mt y f x f x x x
.
b) Khái niệm vận tốc tức thời
Trong cơ học, giả sử một động tử chuyển động thẳng trên trục
x’Ox sao cho tại thời điểm x, động tử ở vị trí M định bởi
( ).OM f x
Tại thời điểm x + h, động tử ở vị trí M’ định bởi
( ).OM f x h
Vậy
trong khoảng thời gian h, động tử di chuyển được quãng đường có độ
dài đại số là
( ) ( )MM f x h f x
và vận tốc trung bình của động
tử trong khoảng thời gian đó là
( ) ( )f x h f x
h
. Khi h tiến về 0, vận
tốc trung bình tiến về một giá trị giới hạn
( )f x
mà ta gọi là vận tốc
tức thời của động tử tại thời điểm x.
c) Khái niệm khả vi và vi phân
Nếu ta đặt
( ) ( )
( ) ( )
f x h f x
h f x
h
thì ta có
( ) 0h
khi
0,h
đồng thời
( ) ( ) ( ). . ( )f x h f x f x h h h
(1)
Từ đẳng thức (1), ta có khái niệm khả vi sau đây
Định nghĩa. Hàm số f được gọi là khả vi tại x, với x là điểm trong
của tập xác định D, có nghĩa là tồn tại hàm số
: ( , )
và một
số thực kx thỏa hai điều sau:
(i)
( , ),h x h D
(ii)
0
lim ( ) 0
h
h
và
( , ), ( ) ( ) . . ( ).
x
h f x h f x k h h h
Dễ thấy rằng f khả vi tại x tương đương với f có đạo hàm tại
x. Hơn nữa, khi f khả vi tại x thì số kx trong (ii) cũng là
( ).f x
Đẳng thức (1) có thể được viết lại dưới dạng
( ) ( ) ( ).( ) ( ). ( ),f s f x f x s x s x s x
Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung
4
trong đó
( ) 0s x
khi
.s x
Nếu ký hiệu
,x s x
được gọi là
số gia của x, và ký hiệu
( ) ( ),y f s f x
được gọi là số gia của
( )y f x
thì đẳng thức trên được viết lại như sau
( ). . ( ).y f x x x x
Khi số gia x “rất là nhỏ” thì ta thấy
( ). ,y f x x
và ý
nghĩa của sự xấp xỉ này được ký hiệu bởi đẳng thức
( )dy f x dx
, ký
hiệu dy được gọi là vi phân của hàm số
( )y f x
tại x. Đẳng thức
( )dy f x dx
cũng giải thích cho ý nghĩa của ký hiệu
dy
dx
để chỉ đạo
hàm của
( )y f x
tại điểm x, nói cách khác
0
lim ( ).
x
dy y
f x
dx x
Bài tập
1. Dùng định nghĩa đạo hàm, chứng minh rằng
a) Nếu
2( ) thì ( ) 2 ;f x x f x x
b) Nếu
3 2( ) thì ( ) 3 ;f x x f x x
c) Nếu
1
( ) thì ( ) (với 0);
2
f x x f x x
x
d) Nếu
3
3 2
1
( ) thì ( ) (với 0).
3
f x x f x x
x
2. Sử dụng định nghĩa đạo hàm và chấp nhận kết quả
0
sin
lim 1,
u
u
u
hãy chứng minh đạo hàm của sin là cos; đạo hàm
của cos là
sin
.
3. Khảo sát đạo hàm bên trái và bên phải tại x = 2 của hàm số f
định bởi
( ) 2 3.f x x
4. Khảo sát đạo hàm bên trái và bên phải tại x = 1 của hàm số f
định bởi
2
( ) 2 1 .f x x x x
Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến
5
5. Khảo sát sự khả vi tại x = 0 của hàm số
:f
định bởi
1
sin khi 0,
( )
0 khi 0.
x x
f x x
x
6. Cho hàm số
:f
định bởi
2 1
sin khi 0,
( )
0 khi 0.
x x
f x x
x
Chứng minh f có đạo hàm tại x = 0 và tính
( ).f x
7. Cho hàm số
:f
định bởi
3 1
sin khi 0,
( )
0 khi 0.
x x
f x x
x
Chứng minh f có đạo hàm cấp hai tại x = 0.
Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung
6
§3.2. CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
CỦA CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN
1. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TÍNH ĐẠO HÀM
Việc chứng minh các mệnh đề sau đây dành cho sinh viên
như là bài tập.
Mệnh đề 3.2.1. Nếu hàm số f khả vi (có đạo hàm) tại x thì f liên tục
tại x.
Mệnh đề 3.2.2. Cho
, :f g D
là hai hàm số khả vi tại
.x D
Ta
có các hàm số
, ( )f g f
và f.g là các hàm khả vi tại x và
(i)
( ) ( ) ( ) ( ),f g x f x g x
(ii)
( ) ( ) ( ),f x f x
(iii)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).fg x f x g x f x g x
Hơn nữa, khi
( ) 0g x
thì hàm số
1
g
xác định trên một lân
cận của x và là hàm khả vi tại x với
2
1 ( )
( ) ,
( )
g x
x
g g x
hệ quả là
2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) .
( )
f f x g x f x g x
x
g g x
Mệnh đề 3.2.3 [Đạo hàm của hàm hợp]
Xét các hàm số
1 2
.
f g
D D
Nếu f khả vi tại
1
x D
và g
khả vi tại
2
( )y f x D
thì hàm hợp
( )g f g f
khả vi tại x và
( ) ( ) ( ). ( ) ( ) . ( ).g f x g y f x g f x f x
Mệnh đề 3.2.4 [Đạo hàm của hàm ngược] Cho
:f D
là một đơn
ánh. Nếu f khả vi tại
x D
và
( ) 0f x
thì hàm ngược
1
: ( )f f D
khả vi tại
( ) ( )y f x f D
và
1
1
1 1
( ) ( ) .
( ) ( )
f y
f x f f y
Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến
7
2. CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN
Sử dụng giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản trong chương
trước và các mệnh đề ở mục trên, sinh viên có thể chứng minh kết
quả sau
f(x) f ’(x)
1)
,
x
e x
x
e
2)
ln , 0x x
1
x
3)
, 0 và x x
1
x
4)
, với 0 1xa a
. ln
x
a a
5)
log ,...