hhungcodon123
New Member
Download miễn phí Tuyển chọn các bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình trong đề thi học sinh giỏi các tỉnh, thành phố năm học 2010 - 2011
Ở bài phương trình l ượng gi ác, đến lúc rút gọn được thành một phương trình chỉ chứa
sin , cos x x ; ta thường dùng cách đặt ẩn phụ như trên để đại số hóa việc giải bài toán, không phải
dễ dàng để có thể tìm ra cách phân tí ch nhân t ử như trên, nhất l à những bài toán dài dòng hơn.
Nếu đặt sin t x không thành công, ta hoàn toàn có thể chuyển sang cos t x để thử vì chẳng
hạn, như bài toán ở trên, nếu đặt cos t x thì lời giải sẽ không còn dễ dàng nữa.
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
Do đó
1 1 1 6 1 33 14
6 8 7 14 337( ) 6
3 1 1 1 45 1412 12
4 4 14 45
7( ) 45 149 1 1 45 1 123
1245 16 7 14
x y
xx y xy x y xx y xy
y z y z yz y
y z yz y z y
z x zx
z x z
z x zx z x z
Vậy hệ đã cho có nghiệm là 14 14 14( , , ) ( , , )
33 45 123
x y z .
Nhận xét. Bài này có hình thức khá phức tạp và các hệ số xem ra rất khác nhau; tuy nhiên, nếu
quan sát kĩ, chúng ta sẽ dễ dàng tìm ra các ẩn phụ cần thiết để làm đơn giản hóa bài toán.
Bài 22.
1/ Giải phương trình 12 1 3 2 ( 11)
2
x y z x y z
2/ Giải hệ phương trình
2 2
2 2
1212 27
9
3 4 4 0
x
x x
x y xy x y
(Đề thi HSG tỉnh Quảng Nam)
Lời giải.
1/ Điều kiện 0, 1, 2x y z . Phương trình đã cho tương đương với
2 2
2 4 1 6 2 11
( 1) ( 1 2) ( 2 3) 0
1 1 2 2 3 0 1, 5, 11
x y z x y z
x y z
x y z x y z
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là ( , , ) (1,5,11)x y z .
29
2/ Phương trình thứ hai của hệ tương đương với 2 2( 4) 3 4 0y x y x x .
Đây là phương trình bậc hai theo biến y nên cần có điều kiện
2 2 2 4( 4) 4( 3 4) 3 4 0 0
3
x x x x x x .
Do đó
2
2 2 32 4 4 16 24 1212 27 ( ) 2. 27 9
3 3 9 9 9
x
x x
Từ bất đẳng thức trên và phương trình thứ nhất của hệ, ta suy ra 4
3
x .
Do đó 2 2 2 2
4 4 4 8 16 4 4( 4) ( ) 3.( ) 4 0 0 ( ) 0
3 3 3 3 9 3 3
y y y y y y
Vậy hệ đã cho có nghiệm là 4
3
x y .
Bài 23.
1/ Tìm tất cả các giá trị của ,a b để phương trình
2
2
2
2 1
x ax b m
bx ax
có hai nghiệm phân biệt với
mọi tham số m.
2/ Giải hệ phương trình
2 2
3 3 3
6
1 19
y xy x
x y x
(Đề thi HSG vòng tỉnh Bình Phước)
Lời giải.
1/Trước hết, ta sẽ tìm nghiệm chung, nếu có, của hai phương trình bậc hai sau:
2 2 0x ax b và 2 2 1 0bx ax . Giả sử 0x là nghiệm chung đó, ta có:
2
0 02 0x ax b và
2
0 02 1 0bx ax . Trừ từng vế hai phương trình này, ta được:
2
0 0(1 )( 1) 0 1 1b x b x .
-Nếu 1b thì phương trình đã cho trở thành
2
2
2
2 1 1 , 2 1 0
2 1
x ax m m x ax
x ax
. Dễ thấy
nếu 1m thì phương trình này vô nghiệm, nếu 1m thì phương trình này có vô số nghiệm,
không thỏa mãn đề bài.
30
-Nếu 1b thì 0 1x , tương ứng với 1 2 0a b hay 1 2 0a b .
Do đó, khi 1 2 0a b hay 1 2 0a b thì tương ứng hai phương trình đã cho có nghiệm
chung là 0 1x và 0 1x .
Phương trình ban đầu tương đương với
2 2 2
2 2
2 2 ( 2 1) 0
2 1 2 1
x ax b x ax b m bx axm
bx ax bx ax
hay 2(1 ) 2( ) 0bm x a am x b m (*) và 2 2 1 0bx ax .
Ta thấy rằng phương trình (*) có không quá hai nghiệm nên muốn phương trình đã cho có hai
nghiệm phân biệt với mọi m thì hai phương trình 2 2 0x ax b và 2 2 1 0bx ax không có
nghiệm chung, đồng thời phương trình (*) phải có đúng hai nghiệm phân biệt, tức là
2
1 2 0,1 2 0
1 0,
( ) (1 )( ) 0,
a b a b
bm m
a am bm b m m
Từ điều kiện thứ hai, ta thấy 0b , khi đó, hệ điều kiện trên trở thành
2
2 2 2 2 2 2 4
2
1 11 2 0,1 2 0
2 2
( ) 0, (2 1) 0, (2 1) 4 0, 0
1 , 0 1 1
2
2 24 1 0
a a a a
a am m m a m a m a m a a a
a a
a a
a
Vậy các giá trị ,a b thỏa mãn đề bài là 1 1
2 2
a a và 0b .
2/ Giải hệ phương trình
2 2
3 3 3
6
1 19
y xy x
x y x
Ta thấy 0y không là nghiệm của hệ phương trình nên ta chỉ xét 0y , ta có biến đổi sau
2 2
3 3 3 3
3
1 16( ) 6( )
1 1 3 119( ) ( ) ( ) 19( )
x xx x
y y y y
x x xx x x
y y y y y y
31
Thay 21 6( )xx
y y
vào phương trình thứ hai, ta được
6 3 3 6 3 1216( ) 18( ) 19( ) 216( ) ( ) 0
6
x x x x x x x
y y y y y y y
.
-Nếu 0 0x x
y
, thay vào hệ đã cho, ta thấy không thỏa mãn.
-Nếu 6y x , thay vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được
3 2 3 2 1 16 36 6 6 0 (3 1)(2 1) 0
3 2
x x x x x x x x x x x .
Với 1
3
x , ta có 6 2y x ; với 1
2
x , ta có 6 3y x .
Thử lại đều thấy thỏa.
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt là 1 1( , ) ( , 2), ( ,3)
3 2
x y .
Nhận xét. Ở bài 1, bước tìm nghiệm chung của hai phương trình để làm đơn giản hóa việc xét
điều kiện của nghiệm xem có thỏa mãn phương trình hay không, vì rõ ràng
( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) 0
( ) 0( ) ( )
f x mg xf x f x mg xm
g xg x g x
nên nếu x là nghiệm của phương trình đã
cho mà lại không thỏa mãn điều kiện xác định của mẫu thì nó là nghiệm chung của ( ), ( )f x g x (ở
đây là xét với mọi m nên có cả những giá trị m khác 0). Bài 2 xuất hiện khá nhiều trong các tài
liệu luyện thi ĐH và việc tìm ra cách chia như thế cũng khá là mò mẫn, chúng ta có thể rút y từ
phương trình ở dưới để thay lên rồi đánh giá phương trình một ẩn x thu được.
Bài 24.
1/ Giải hệ phương trình:
2 2 2 2
3 3 3 3
2010
2010
x y z
x y z
2/ Giải phương trình:
3 32 2 2 33 3 3 2 0x x x x x x
(Đề thi chọn đội tuyển Ninh Bình)
Lời giải.
1/ Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có , , 2010x y z .
32
Suy ra 3 3 3 3 3 3 2 2 2 32010( ) 2010x y z x y z x y z .
Từ phương trình thứ hai suy ra đẳng thức phải xảy ra, tức là
2
2
2
(2010 ) 0 0 2010
(2010 ) 0 0 2010
0 2010(2010 ) 0
x x x x
y y y y
z zz z
Kết hợp với phương trình thứ nhất, ta thấy hệ đã cho có ba nghiệm phân biệt là
( , , ) (2010,0,0), (0, 2010,0), (0,0,2010)x y z .
2/ Phương trình đã cho tương đương với
3 32 2 3 2 33 2 2 3 2x x x xx x x x
Xét hàm số ( ) 3 ,tf t t t , ta có ( ) 3 .ln 3 1 0,tf t t nên đây là hàm đồng biến.
Phương trình trên chính là
3 3 3 3
3 2
(2 2) ( 2 ) 2 2 2
3 2 0 ( 2)( 1) 0 2 1
f x x f x x x x x x
x x x x x x
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 2, 1x x .
Bài 25.
1/ Giải bất phương trình sau
2
2
2 1 2( 1) 2(2 )
4 1 17 0
x y x x x y
y x x
2/ Với n là số nguyên dương, giải phương trình 1 1 1 1... 0
sin 2 sin 4 sin8 sin 2nx x x x
.
(Đề thi HSG tỉnh Khánh Hòa)
Lời giải.
1/ Điều kiện 1x . Bình phương...