Download miễn phí Lý thuyết Vật lý thống kê
Đối với hệ gồm Nhạt đồng nhất thì việc hoán vị các hạt không làm thay đổi trạng thái của hệ
mặc dù chúng được biểu diễn bằng các điểm pha khác nhau trong không gian pha. Do đó, đối với hệ
Nhạt đồng nhất ta phải loại bỏ các điểm không gian pha ứng với phép hoán vị khác nhau của các hạt.
Với hệ Nhạt đồng nhất ta có N!hoán vị khác nhau nên khi đó phân bố chính tắc được viết lại là :
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
0
jdiv
t
(1)
trong đó là hàm phân bố thống kê và vj
với ),...,,,...,( 11 ss ppqqv
là vận tốc của
điểm pha trong không gian pha 2s chiều.
Do đó ta có :
s
i i
i
i
i
s
i
i
i
i
i
s
i
i
i
i
i p
p
q
q
p
p
q
q
p
p
q
q
jdiv
111
)()(
(2)
Mặt khác, khi di chuyển dọc theo quỹ đạo pha của hệ thì các iq và ip thỏa mãn phương trình
chính tắc Hamilton :
i
i
i
i
q
H
p
p
H
q
, với ),( pqHH là hàm Hamilton của hệ.
Suy ra :
s
i iiii
s
i
i
i
i
i q
H
pp
H
q
p
p
q
q 11
(3)
0
1
22
1
s
i iiii
s
i i
i
i
i
qp
H
pq
H
p
p
q
q
(4)
Thay (3) và (4) vào (2), rồi thay vào (1) ta được :
0,
H
t
(5)
trong đó
s
i iiii q
H
pp
H
q
H
1
,
gọi là ngoặc Poisson giữa và H
Mặt khác, ta lại có : nếu ),,( tpq thì H
tdt
d
,
(6)
Từ (5) và (6) ta có : 0
dt
d
hay const (7)
Vậy dọc theo quỹ đạo pha thì hàm phân bố của hệ là không đổi theo thời gian.
Phương trình (5) được viết lại là :
H
t
,
hay ,H
t
(8)
(8) là phương trình định lí Liouville
Trong trạng thái cân bằng thống kê thì giá trị các đại lượng nhiệt động sẽ không phụ thuộc
thời gian. Do đó hàm phân bố thống kê sẽ không phụ thuộc tường minh vào thời gian. Khi đó ta có :
0
t
. Kết hợp với (8) suy ra : 0, H . Theo cơ học lí thuyết, một đại lượng không phụ thuộc
tường minh vào thời gian và ngoặc Poisson giữa hàm Hamilton với đại lượng đó là bằng 0 thì đại
lượng đó được gọi là tích phân chuyển động. Mặt khác ta lại biết rằng đối với một hệ cơ thì chỉ có 7
tích phân chuyển động độc lập, đó là : năng lượng E của hệ; 3 thành phần px, py và pz của xung lượng
p
; 3 thành Lx, Ly và Lz của mômen động lượng L
. Đối với các hệ nhiệt động, ta thường không xét
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
2
chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay của toàn bộ hệ. Do đó ta chỉ cần chú ý đến năng lượng E
của hệ. Mặt khác, ta lại biết rằng hàm Hamilton không phụ thuộc vào thời gian H(q,p) chính là năng
lượng của hệ H(q,p)=E. Vậy đối với hệ cân bằng nhiệt động thì hàm phân bố thống kê của hệ chỉ phụ
thuộc vào năng lượng của hệ :
)()()( XHEX
2. Phân bố chính tắc Gibbs
Xét hệ đẳng nhiệt tức là hệ nằm cân bằng với hệ điều nhiệt. Chia hệ thành hai hệ con C1 và C2
sao cho C1 và C2 vẫn là hệ vĩ mô. Khi đó năng lượng của hệ bằng tổng năng lượng thành phần của
mỗi hệ với năng lượng tương tác giữa hai hệ :
122211 )()()( UXHXHXH
Vì C1 và C2 vẫn là hệ vĩ mô nên năng lượng tương tác giữa hai hệ là 12U rất bé so với năng
lượng của từng hệ là )( 11 XH và )( 22 XH . Do đó năng lượng của hệ là :
)()()( 2211 XHXHXH
Điều này có nghĩa là hai hệ con C1 và C2 là hai hệ độc lập với nhau nên áp dụng định lí nhân
xác suất ta có :
221121 )(.)(.)( dXHdXHdXdXH
Suy ra )().()( 21 HHH
Lấy lôgarit Nêpe hai vế ta được :
)(ln)(ln)(ln 21 HHH
Lấy vi phân hai vế phương trình trên ta được :
2
2
'
2
1
1
'
1
'
)(
)(
)(
)(
)(
)(
dH
H
H
dH
H
H
dH
H
H
Hay
2
2
'
2
1
1
'
1
21
'
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
dH
H
H
dH
H
H
dHdH
H
H
Cho 1dH và 2dH tiến đến 0 một cách độc lập ta được :
Khi 01 dH thì
2
2
'
2
2
'
)(
)(
)(
)(
dH
H
H
dH
H
H
hay
)(
)(
)(
)(
2
'
2
'
H
H
H
H
Khi 02 dH thì
1
1
'
1
1
'
)(
)(
)(
)(
dH
H
H
dH
H
H
hay
)(
)(
)(
)(
1
'
1
'
H
H
H
H
Suy ra
1
)(
)(
)(
)(
2
'
2
1
'
1
H
H
H
H
với 0
Vậy hàm phân bố )()( HX thỏa phương trình :
1
)(
)(
H
dH
Hd
hay
dH
H
Hd
)(
)(
Lấy tích phân hai vế phương trình trên ta được :
C
aXH
H ln
),(
)(ln
hay
),(
)()(
aXH
CeHX
Đây chính là phân bố chính tắc Gibbs, đại lượng gọi là môđun của phân bố.
Hệ số C được xác định từ điều kiện chuẩn hóa :
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3
1)(
)(
X
dXX hay 1
)(
),(
X
aXH
dXeC
Đặt 1
)(
),(
X
aXH
dXeZ thì
Z
C
1
và khi đó ta có :
),(
1
)(
aXH
e
Z
X
.
Bằng cách so sánh với kết quả của nhiệt động lực học ta có :
kT và ZkT ln
trong đó k là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ tuyệt đối,
là năng lượng tự do và Z là tích phân trạng thái
Khi đó biểu thức của phân bố chính tắc Gibbs được viết lại là :
kT
aXH
eX
),(
)(
Đối với hệ gồm N hạt đồng nhất thì việc hoán vị các hạt không làm thay đổi trạng thái của hệ
mặc dù chúng được biểu diễn bằng các điểm pha khác nhau trong không gian pha. Do đó, đối với hệ
N hạt đồng nhất ta phải loại bỏ các điểm không gian pha ứng với phép hoán vị khác nhau của các hạt.
Với hệ N hạt đồng nhất ta có N! hoán vị khác nhau nên khi đó phân bố chính tắc được viết lại là :
kT
aXH
e
N
X
),(
!
1
)(
3. Phân bố chính tắc lớn Gibbs
Khảo sát hệ đẳng nhiệt có số hạt thay đổi. Tại mỗi thời điểm, số hạt của hệ là không đổi nên ta
có thể áp dụng phân bố chính tắc Gibbs cho hệ và khi đó hàm phân bố của hệ à :
kT
aXHa
e
N
X
),(),(
!
1
)(
(1)
Đối với hệ có số hạt thay đổi, thay cho năng lượng tự do ),( a (với kT ) người ta dùng
thế nhiệt động được xác định bởi công thức :
N (2)
trong đó
VTN ,
là thế hóa học của hạt
Từ (2) ta viết lại (1) là : kT
aXHN
e
N
X
),(
!
1
)(
(3)
Biểu thức (3) là hàm phân bố chính tắc lớn Gibbs.
Điều kiện chuẩn hóa hàm phân bố chính tắc lớn Gibbs là :
0 )(
),(
1
!
1
N X
kT
aXHN
dXe
N
hay
0 )(
),(
1
!
1
N X
kT
aXH
kT
N
kT dXee
N
e
Đại lượng
0 )(
),(
!
1
N X
kT
aXH
kT
N
dXee
N
Z
được gọi là tổng thống kê của hệ.
Khi đó ta có : ZkT ln
Đối với hệ có số hạt thay đổi, trị trung bình của một đại lượng bất kì ),( XNFF được xác
định theo công thức :